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(共38張PPT)
蘇教版2019高一數學（必修一）第三章 不等式
3.2.1　基本不等式的證明　

學習目標
3.通過學習掌握基本不等式及其簡單應用，重點發展數學運算、邏輯推理素養.
情景導入
把一個物體放在天平的一個盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質量為 a .如果天平制造得不精確，天平的兩臂長略有不同(其他因素不計)，那么 a 并非物體的實際質量. 不過，我們可作第二次測量：把物體調換到天平的另一個盤子上，此時稱得物體的質量為 b. 那么如何合理地表示物體的質量呢

算術平均數與幾何平均數

● 兩個正數 a，b 的算術平均數和幾何平均數之間具有怎樣的大小關系
新知探究

也就是說，兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數，當兩個正數相等時，兩者相等.
下面證明上述猜想是正確的.
證法 1
對于正數 a，b，有
證法 2

證法 3
對于正數 a，b，有
當且僅當 a＝b 時，等號成立.
(1) 公式：
① 條件：a，b是正數；
② 結論：____________；
③ 等號成立：當且僅當 a＝b 時.
一、基本不等式
當 a，b≥0時，這個不等式仍然成立.
歸納總結
(3) 變形式：
當 a＞0，b＞0 時，請用基本不等式證明這兩個不等式.
這兩個不等式通?？梢灾苯邮褂?
例 1
設 a，b 為正數，證明下列不等式成立：
課本例題
課本例題
例 1
設 a，b 為正數，證明下列不等式成立：
例 2
課本例題
1. 計算下列兩個數的算術平均數與幾何平均數 (其中p＞0)：
(1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2.
課本練習
(3) p，9p的算術平均數為5p，幾何平均數為3p；
(4) 2，2p2的算術平均數為1＋p2，幾何平均數為2p；
2. 如圖，我國古代的“弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的. 設直角三角形的直角邊長為 a，b，根據圖示，大正方形的面積與四個小直角三角形的面積之和存在不等關系，用 a，b 表示這種關系.
3. 證明：
證明：∵ 0°＜α＜90°，
∴ 0°＜2α＜180°，
∴ sin2α∈(0，1]，
∴ 1＋sin2α∈ (1，2]，
∴ (sinα＋cosα)2∈ (1，2]，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，得證.
易錯點1　忽略應用基本不等式的前提而致錯
錯因分析
D
分層練習-基礎
故y有最大值為－4.
C
A.最大值為0 B.最小值為0
C.最大值為－4 D.最小值為－4
解析　∵x<0，
3.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為(　　)
A.16 B.25 C.9 D.36
解析　因為x>0，y>0，且x＋y＝8，
B
當且僅當x＝y＝4時“＝”成立，
故(1＋x)(1＋y)的最大值為25.
A
解析　∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab，
A.r>q>p B.q>p>r C.q>r>p D.r＝q>p
BC
5.(多選題)下列求最值正確的是(　　)
解析　A中，沒有考慮x<0的情況，錯誤；
即x＝0時，取等號，正確；
二、填空題
6.已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，則xy的最大值為______.
解析　因為x>0，y>0，2x＋3y＝6，
①②
7.設a，b為非零實數，給出下列不等式：
解析　由不等式a2＋b2≥2ab，可知①正確；
當a＝1，b＝－1時，可知④不正確.
16
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴原不等式成立.
C
11.三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現代數學表述為如圖所示，我們利用該圖證明(　　)
A.如果a>b，b>c，那么a>c
B.如果a>b>0，那么a2>b2
C.對任意正實數a和b，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立
D.如果a>b，c>0那么ac>bc
解析　可將直角三角形的兩直角邊長取作a，b，斜邊為c(c2＝a2＋b2).則外圍的正方形的面積為c2，也就是a2＋b2，四個直角三角形所在的陰影面積之和剛好為2ab.
對任意正實數a和b，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時等號成立.
分層練習-鞏固
ABC
12.(多選題)已知a，b>0，則下列不等式中成立的是(　　 )
當且僅當a＝b時，等號成立，B成立；
當且僅當a＝b時，等號成立，C成立；
當且僅當a＝b時，等號成立，D不成立.
解　4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
當且僅當a－b＝b－c，
即2b＝a＋c時取等號，
當且僅當x＝y＝1時，等號成立，
解　充分條件但不是必要條件，理由如下：
分層練習-拓展
當且僅當x＝y時，等號成立.
課堂小結

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