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5.1　函數(shù)的概念與圖象（第二課時）
函數(shù)的圖像
課標(biāo)要求 素養(yǎng)要求
1.理解用函數(shù)圖象表示函數(shù).
2.會畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象求函數(shù)值域. 通過函數(shù)圖象的畫法及圖象的應(yīng)用提升數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)與邏輯推理素養(yǎng).
新知探究
如圖，艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們，學(xué)習(xí)中的遺忘是有規(guī)律的，遺忘的進程是不均衡的，記憶的最初階段遺忘的速度很快，后來就逐漸慢了，這條曲線表明了遺忘的發(fā)展規(guī)律是“先快后慢”.
問題　根據(jù)初中學(xué)習(xí)的知識，你能說出以上問題是用什么方法表示函數(shù)的嗎？
提示　圖象法.
函數(shù)的圖象
將自變量的一個值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為________，就得到坐標(biāo)平面上的一個點(x0，f(x0))，當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點組成的集合(點集)為{(x，f(x))|x∈A}，即_______________________，所有這些點組成的______就是函數(shù)y＝f(x)的圖象.
縱坐標(biāo)
{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}
圖形
基礎(chǔ)自測
[判斷題]
1.任何一個函數(shù)都可以畫出圖象.( )
3.函數(shù)f(x)＝x＋1與g(x)＝x＋1(x∈N)的圖象相同.( )
×
2.函數(shù)的圖象一定是其定義域上的一條連續(xù)不斷的曲線.( )
×
×
提示　兩函數(shù)的定義域不同，則圖象不同.
4.函數(shù)y＝f(x)圖象上所有的點組成的集合是{y|y＝f(x)，x∈A}.( )
提示　集合應(yīng)為{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}.
×
[基礎(chǔ)訓(xùn)練]
1.函數(shù)f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的圖象是(　　)
A.直線 B.射線
C.線段 D.離散的點
解析　∵f(x)＝3x－1為一次函數(shù)，圖象為一條直線，而x∈[1，5]，則此時圖象為線段.故選C.
答案　C
2.下列可以作為函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(　　)
解析　看圖象中x軸上任意一個x是否有唯一的y與之對應(yīng).
答案　B
[思考題]
函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等，那么判斷一個圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？
提示　要檢驗一個圖形是否為函數(shù)的圖象，其法則為：在定義域內(nèi)任取一個x對應(yīng)的點作垂直于x軸的直線，若此直線與圖形有唯一交點，則圖形為函數(shù)圖象；若無交點或多于1個交點，則不是函數(shù)圖象.
題型一　畫函數(shù)圖象
【例1】　畫出下列函數(shù)的圖象：
(1)y＝x2＋x，x∈{－1，0，1，2，3}；
(2)y＝x2＋x，x∈R；
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1).
解　(1)列表：
x －1 0 1 2 3
y 0 0 2 6 12
描點得該函數(shù)的圖象如圖：
又y＝x2＋x開口向上，且與x軸，y軸分別交于點(－1，0)，(0，0).故圖象如圖.
(3)y＝x2＋x，x∈[－1，1)的圖象是y＝x2＋x，x∈R的圖象上x∈[－1，1)的一段，其中點(－1，0)在圖象上，用實心點表示；點(1，2)不在圖象上，用空心點表示.
規(guī)律方法　(1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點、連線.作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖象.
(2)函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖象與坐標(biāo)軸的交點、區(qū)間端點，二次函數(shù)的頂點等等，還要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.
【訓(xùn)練1】　作出下列函數(shù)圖象：
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3).
解　(1)∵x∈Z且|x|≤2，∴x∈{－2，－1，0，1，2}.
所以圖象為一直線上的孤立點(如圖①).
(2)∵y＝2(x－1)2－5，∴當(dāng)x＝0時，y＝－3；
當(dāng)x＝3時，y＝3；當(dāng)x＝1時，y＝－5.所畫函數(shù)圖象如圖②.
題型二　函數(shù)圖象的應(yīng)用
【例2】　畫出函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題：
(1)比較f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函數(shù)f(x)的值域.
解　因為函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的定義域為R，
列表：
x －1 0 1 3
y 0 3 4 0
描點，連線，得函數(shù)圖象如圖：
(1)根據(jù)圖象，
容易發(fā)現(xiàn)f(0)＝3，
f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)x1(3)根據(jù)圖象，可以看出函數(shù)的圖象是以(1，4)為頂點，開口向下的拋物線，因此，函數(shù)的值域為(－∞，4].
【訓(xùn)練2】　(1)已知f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的定義域為________，值域為________.
(2)若函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的圖象與y＝m有兩個交點，求實數(shù)m的取值范圍.
(1)解析　函數(shù)的定義域?qū)?yīng)圖象上所有點橫坐標(biāo)的取值集合，值域?qū)?yīng)縱坐標(biāo)的取值集合.
答案　[－2，4]∪[5，8]　[－4，3]
(2)解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的圖象如圖所示，
f(x)的圖象與直線y＝m有2個不同交點，
由圖易知－1題型三　由函數(shù)圖象求值域
【例3】　作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域.
解　(1)列表：
x 0 1 2
y 1 2 3 4 5
當(dāng)x∈[0，2]時，圖象是直線y＝2x＋1的一部分，觀察圖象可知，其值域為[1，5].
(2)列表：
X 2 3 4 5 …
y 1 …
(3)列表：
畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分.由圖可得函數(shù)的值域是[－1，8].
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
規(guī)律方法　數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)值域要注意找函數(shù)的最高點與最低點，并注意定義域的影響.
【訓(xùn)練3】　已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)畫出f(x)圖象的簡圖；
(2)根據(jù)圖象寫出f(x)的值域.
解　(1)f(x)圖象的簡圖如圖所示.
(2)觀察f(x)的圖象可知，f(x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)的取值范圍是[－1，3]，則f(x)的值域是[－1，3].
一、課堂小結(jié)
1.利用函數(shù)圖象直觀分析數(shù)學(xué)問題，提升直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).
2.作圖象時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，然后列表描點，畫出圖象，并在畫圖象的同時注意一些關(guān)鍵點，如與坐標(biāo)軸的交點、最高點或最低點，要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點.
3.在利用圖象研究函數(shù)時，準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖象是解決問題的關(guān)鍵，只有這樣，對性質(zhì)的研究才更準(zhǔn)確.
二、課堂檢測
1.下列四個圖形中是函數(shù)圖象的是(　　)
A.① B.①③④
C.①②③ D.③④
解析　由每一個自變量x對應(yīng)唯一一個f(x)可知②不是函數(shù)圖象，①③④是函數(shù)圖象. 答案　B
2.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列圖形中能表示以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是(　　)
解析　A中值域為{y|0≤y≤2}，故錯誤；C，D中值域為{1，2}，故錯誤，故選B.
答案　B
3.函數(shù)y＝2x＋1，x∈[1，5]的值域為________.
解析　當(dāng)x∈[1，5]時，3≤2x＋1≤11，∴值域為[3，11].
答案　[3，11]
4.函數(shù)f(x)的定義域為[－1，3]，則y＝f(x)的圖象與x＝1的交點個數(shù)為________個，與x＝－2的交點個數(shù)為________個.
解析　∵定義域為[－1，3]，∴1∈[－1，3]，即y＝f(x)的圖象與x＝1有一個交點而－2 [－1，3]，即x＝－2與圖象無交點.
答案　1　0
5.2019年是中國高鐵發(fā)展迅速的一年，山東某一高鐵站1～12月份的客流量走勢如圖所示.
(1)求對應(yīng)關(guān)系為圖中曲線的函數(shù)的定義域與值域；
(2)根據(jù)圖象，求9月份所對應(yīng)的客流量.
解　(1)由走勢圖可知，函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤12且x∈N*}，值域為{y|100≤y≤160}.
(2)由圖形知，9月份所對應(yīng)的客流量約為100萬人次.

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