資源簡介

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5.1　函數的概念與圖象（第一課時）
函數的概念
課標要求 素養要求
1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念.
2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用.
3.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域. 1.通過對函數概念的理解，提升數學抽象素養.
2.通過求簡單函數的定義域，提升數學運算素養.
新知探究
問題　(1)時間t和物體下落的距離s有何限制？
(2)時間t(0≤t≤3)確定后，下落的距離s確定嗎？
(3)下落后的某一時刻能同時對應兩個距離嗎？
提示　(1)0≤t≤3，0≤s≤44.1.(2)確定.
(3)不能.
1.函數的概念
給定兩個非空實數集合A和B，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的______________，在集合B中都有______的實數y和它對應.
那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.
記作________，x∈A，其中x叫作自變量，集合A叫做函數的________.
每一個實數x
唯一
y＝f(x)
定義域
2.值域
若A是函數y＝f(x)的________，則對A中的每一個x(輸入值)都有一個y(輸出值)與之對應，我們將所有__________組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數的______.
定義域
輸出值y
值域
基礎自測
[判斷題]
1.函數的定義域和值域一定是無限集合.( )
提示　函數的定義域和值域也可能是有限集，如y＝x2，x∈{1，2}，顯然y∈{1，4}.
2.根據函數的定義，定義域中的任何一個x可以對應著值域中不同的y.( )
提示　根據函數的定義，對于定義域中的任意一個數x，在值域中都有唯一確定的數y與之對應.
3.在函數的定義中，集合B是函數的值域.( )
提示　在函數的定義中，函數的值域是集合B的子集.
×
×
×
[基礎訓練]
答案　(1，＋∞)
解析　由x－1>0，得x>1.
答案　7
[思考題]
1.在函數的概念中，如果函數y＝f(x)的定義域與對應關系確定，那么函數的值域確定嗎？
提示　確定，一一對應.
2.如果函數y＝f(x)的定義域、值域確定，那么對應關系確定嗎？
提示　不確定，例如函數的定義域為A＝{－1，0，1}，值域為B＝{0，1}，則對應關系f(x)＝x2或f(x)＝|x|均可.
題型一　函數關系的判斷
角度1　由定義判斷是否為函數
【例1－1】　判斷下列對應關系是否為集合A到集合B的函數.
解　(1)A中的元素0在B中沒有對應元素，故不是集合A到集合B的函數.
(2)對于集合A中的任意一個整數x，按照對應關系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一個確定的整數x2與其對應，故是集合A到集合B的函數.
(3)集合A中的負整數沒有平方根，在集合B中沒有對應的元素，故不是集合A到集合B的函數.
(4)對于集合A中任意一個實數x，按照對應關系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一個確定的數0和它對應，故是集合A到集合B的函數.
角度2　從圖象判斷是否為函數關系
【例1－2】　下列圖形中不是函數圖象的是(　　)
解析　A中至少存在一處如x＝0，一個橫坐標對應兩個縱坐標，這相當于集合A中至少有一個元素在集合B中對應的元素不唯一，故A不是函數圖象，其余B、C、D均符合函數定義.
答案　A
角度3　同一個函數的判定
【例1－3】　(1)下列各組函數：
(1)解析　①f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數；②f(x)與g(x)的對應關系不同，不是同一函數；③f(x)＝|x＋3|，與g(x)的對應關系不同，不是同一函數；④f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數；⑤f(t)與g(x)的定義域、對應關系分別對應相同，故是同一函數.
答案　⑤
規律方法　(1)判斷一個對應關系是否為函數的方法
①判斷集合A，B是否為非空數集.
②判斷集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素與之對應.
滿足上述兩條，則該對應關系是函數，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一個不滿足便不能構成函數.
(2)判斷兩個函數是否為同一個函數的方法
①一般先求定義域，若定義域不同，則不是同一個函數；若定義域相同，可再化簡函數的解析式，看對應關系是否相同，若對應關系也相同，則是同一個函數.
②因為函數的值域是由定義域和對應關系決定的，所以只要兩個函數的定義域和對應關系都分別相同，值域就一定相同.
【訓練1】　(1)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，則下列對應關系中，不能看作是從A到B的函數的是(　　)
解析　(1)根據函數的定義，對于D，在集合A中的部分元素在集合B中沒有元素與它對應，故不正確.
∴D正確.
答案　(1)D　(2)D
題型二　函數的定義域
角度1　求具體函數的定義域
【例2－1】　求下列函數的定義域：
解得x>－1且x≠1，
所以這個函數的定義域為{x|x>－1且x≠1}.
解得x≤1且x≠－1，
即函數定義域為{x|x≤1且x≠－1}.
角度2　抽象函數的定義域
【例2－2】　已知函數f(x－1)的定義域為[－2，3]，則函數f(2x＋1)的定義域為(　　)
解析　∵函數y＝f(x－1)的定義域為[－2，3]，
∴－2≤x≤3，則－3≤x－1≤2，即函數f(x)的定義域為[－3，2].
∴對函數f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，
答案　D
規律方法　求函數定義域時，要注意應用下列原則：
(1)如果f(x)是整式，那么函數的定義域是實數集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函數的定義域是使分母不等于零的實數的集合.
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數的定義域是使根號內的式子不小于零的實數的集合.
(4)如果f(x)是由幾部分構成的，那么函數的定義域是使各部分都有意義的實數的集合，也就是使各部分有意義的實數的集合的交集.
(5)如果f(x)是根據實際問題列出的，那么函數的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數的集合.
(6)復合函數的定義域就是使所有式子都有意義的自變量的取值范圍，注意相同的對應法則所作用對象的范圍是一致的.
注意　定義域必須用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應用并集符號“∪”連接.
(2)由題意知－2答案　(1)C　(2)C
題型三　函數的值域與函數值
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f[g(3)]的值；
(3)求函數g(x)的值域.
又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，
(3)g(x)＝x2＋2，x∈R，
由于x2＋2≥2，∴函數g(x)的值域為[2，＋∞).
規律方法　求函數值的方法
(1)已知f(x)的解析式時，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值應遵循由里往外的原則.函數的值域即為函數定義域中的每一個x對應的函數值的集合.
【訓練3】　求下列函數的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x＋3，x∈{－1，0，1，2}；
(2)f(x)＝x2＋2x＋3.
解　(1)∵函數定義域為{－1，0，1，2}，
f(x)＝(x＋1)2＋2.
∴f(－1)＝2，f(0)＝3，f(1)＝6，f(2)＝11，
∴函數f(x)的值域為{2，3，6，11}.
(2)f(x)＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，
∵(x＋1)2≥0，∴(x＋1)2＋2≥2，∴f(x)的值域為[2，＋∞).
一、課堂小結
1.理解函數概念，提升數學抽象素養，會求函數的定義域、值域，提升數學運算素養.
2.函數定義中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性.即對于非空數集A中的任意一個(任意性)數x，在非空數集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的數y與之對應.這“三性”只要有一個不滿足，便不能構成函數.
3.函數符號“y＝f(x)”是數學中抽象符號之一，“y＝f(x)”僅為y是x的函數的數學表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象.
二、課堂檢測
1.下表表示函數y＝f(x)的x與y的所有對應值，則此函數的定義域為(　　)
X －1 0 1
f(x) 2 3 5
A.{－1，0，1} B.{2，3，5}
C.{x|－1≤x≤1} D.{x|2≤x≤5}
解析　定義域為x的所有取值構成的集合，故選A.
答案　A
2.下列從集合M到集合N的對應關系中，y是x的函數的是(　　)
解析　對于A，M中的奇數在N中無元素與之對應，y不是x的函數；
對于B，M中的每個元素在N中都有兩個元素與之對應，y不是x的函數；
對于C，M中的每個元素在N中都有唯一元素與之對應，y是x的函數；
對于D，M中x＝0在N中沒有元素對應，y不是x的函數.
答案　C
答案　3a
4.下列各對函數中是同一個函數的是________(填序號).
答案　②④
5.求出函數g(x)＝x2－2的值域A，判斷－5和7是否是A中的元素.
解　g(x)的定義域為R，∵x2≥0，∴x2－2≥－2，
∴A＝[－2，＋∞).故－5 A，7∈A.

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