資源簡介

(共36張PPT)
5.3　函數的單調性（第二課時）
函數的最大(小)值
課標要求 素養要求
借助函數圖象，會用符號語言表達函數的最大值、最小值，理解它們的作用和意義. 通過圖象經歷函數最值的抽象過程，發展學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算素養.
新知探究
科考隊對“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候進行科學考查，如圖是某天氣溫隨時間的變化曲線.請根據曲線圖說說氣溫的變化情況？
問題　(1)該天的最高氣溫和最低氣溫分別是多少？
(2)設該天某時刻的氣溫為f(x)，則f(x)在哪個范圍內變化？
(3)從函數圖象上看，氣溫的最大值(最小值)在什么時刻取得？
提示　(1)該天的最高氣溫為25 ℃，最低氣溫為－5 ℃.
(2)該天某時刻的氣溫變化范圍是[－5 ℃，25 ℃].
(3)氣溫的最大值在t＝17處取得，氣溫的最小值在t＝6時取得.
函數的最大值與最小值
設函數y＝f(x)的定義域是A，如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A.都有_________.那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為______________；如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有_________，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為___________.
f(x)≤f(x0)
ymax＝f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymin＝f(x0)
基礎自測
[判斷]
1.若對任意x∈I，都有f(x)≤M，則M是函數f(x)的最大值.( )
提示　M是存在的，并且 x0∈I，使得f(x0)＝M.
2.一個函數可能有多個最小值.( )
提示　最大(小)值至多有1個.
3.如果函數有最值，則最值一定是其值域中的一個元素.( )
4.如果函數的值域是確定的，則它一定有最值.( )
提示　值域確定，但不一定有最值.
5.因為不等式x2>－1總成立，所以－1是f(x)＝x2的最小值.( )
提示　f(x)＝x2的最小值為0.
×
×
√
×
×
[基礎訓練]
1.函數f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，則f(x)的最大值為________.
解析　根據圖象可知f(x)max＝3.
答案　3
3.函數y＝－3x2＋2在區間[－1，2]上的最大值為________.
解析　函數y＝－3x2＋2的對稱軸為x＝0，又0∈[－1，2]，∴f(x)max＝f(0)＝2.
答案　2
[思考題]
任何函數都有最大(小)值嗎？
題型一　利用函數圖象求最值
解　作出f(x)的圖象如圖：
規律方法　用圖象法求最值的三個步驟
解　 y＝f(x)的圖象如圖所示，y＝f(x)的單調增區間是(－∞，0)和[0，＋∞)，函數的最小值為f(0)＝－1.
題型二　利用單調性求最值
(1)求證f(x)在[1，＋∞)上是增函數；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
(1)證明　任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1∵1≤x11，∴x1x2－1>0，
∴f(x)在[1，＋∞)上是增函數.
(2)解　由(1)可知f(x)在[1，4]上單調遞增，
∴當x＝1時，f(x)取得最小值，最小值為f(1)＝2，
規律方法　1.利用單調性求最值：
首先判斷函數的單調性；然后利用單調性寫出最值.
2.函數的最值與單調性的關系：
(1)若函數在閉區間[a，b]上是減函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；
(2)若函數在閉區間[a，b]上是增函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a).
(1)判斷函數f(x)的單調性，并證明；
(2)求函數f(x)的最大值和最小值.
解　(1)f(x)是增函數，證明如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1因為3≤x10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在[3，5]上為增函數.
(2)由(1)知，f(x)在[3，5]上為增函數，
題型三　二次函數的最值
【例3】　已知函數f(x)＝x2－ax＋1.
(1)求f(x)在[0，1]上的最大值；
(2)當a＝1時，求f(x)在閉區間[t，t＋1](t∈R)上的最小值.
所以區間[0，1]的哪一個端點離對稱軸遠，則在哪個端點取到最大值，
∴f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1；
規律方法　1.含參數的二次函數最值問題的解法
解決含參數的二次函數的最值問題，首先將二次函數化為y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符號確定拋物線的開口方向，依對稱軸x＝－h得出頂點的位置，再根據x的定義區間結合大致圖象確定最大或最小值.
2.對于含參數的二次函數的最值問題，一般有如下幾種類型：
(1)區間固定，對稱軸變動(含參數)，求最值；
(2)對稱軸固定，區間變動(含參數)，求最值；
(3)區間固定，最值也固定，對稱軸變動，求參數.
通常都是根據區間端點和對稱軸的相對位置進行分類討論.
【訓練3】　已知二次函數f(x)＝x2－2x＋3.
(1)當x∈[－2，0]時，求f(x)的最值；
(2)當x∈[－2，3]時，求f(x)的最值；
(3)當x∈[t，t＋1]時，求f(x)的最小值g(t).
解　f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其對稱軸為x＝1，開口向上.
(1)當x∈[－2，0]時，f(x)在[－2，0]上是減函數，
故當x＝－2時，f(x)有最大值f(－2)＝11；
當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝3.
(2)當x∈[－2，3]時，f(x)在[－2，3]上先遞減后遞增，
故當x＝1時，f(x)有最小值f(1)＝2.又|－2－1|>|3－1|，
∴f(x)的最大值為f(－2)＝11.
(3)①當t>1時，f(x)在[t，t＋1]上是增函數，所以當x＝t時，f(x)取得最小值，
此時g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.②當t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時，
f(x)在[t，t＋1]上先遞減后遞增，故當x＝1時，f(x)取得最小值，此時g(t)＝f(1)＝2.
③當t＋1<1，即t<0時，f(x)在[t，t＋1]上是減函數，
所以當x＝t＋1時，f(x)取得最小值，
此時g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
一、課堂小結
1.通過函數圖象經歷函數最值的抽象過程、發展數學抽象素養、邏輯推理素養和數學運算素養.
2.求函數最大(小)值的常用方法有：
(1)觀察法，對于簡單的函數，可以依據定義域觀察求出最值；
(2)配方法，對于“二次函數”類的函數，一般通過配方法求最值；
(3)圖象法，對于圖象較容易畫出來的函數，可借助圖象直觀地求出最值；
(4)單調性法，對于較復雜的函數，分析單調性(需給出證明)后，依據單調性確定函數最值.
二、課堂檢測
1.函數f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分別為(　　)
A.3，5 B.－3，5
C.1，5 D.5，－3
解析　因為f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是減函數，所以當x＝2時，函數的最小值為－3.當x＝－2時，函數的最大值為5.
答案　B
2.函數f(x)在區間[－2，5]上的圖象如圖所示，則此函數的最小值、最大值分別是(　　)
A.－2，f(2)
B.2，f(2)
C.－2，f(5)
D.2，f(5)
答案　C
答案　1　0
解析　作出函數f(x)的圖象(如圖).由圖象可知，當x＝±1時，f(x)取最大值f(±1)＝1；當x＝0時，f(x)取最小值f(0)＝0.
故f(x)的最大值為1，最小值為0.
4.若函數y＝ax＋1在[1，2]上的最大值與最小值的差為2，則實數a的值是________.
解析　由題意a≠0，當a>0時，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；當a<0時，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.綜上知a＝±2.
答案　±2
解　任取2≤x1∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.
∴f(x2)三、審題答題
示范(一)　利用函數的單調性求最值
看到①想到利用函數單調性的定義，證明f(x)在(－1，＋∞)上的單調性.
看到②首先利用(1)的結論首先判斷f(x)在[0，3]上的單調性→求f(x)在[0，3]上的最值→得到f(x)在[0，3]上的值域.
∴函數f(x)在(－1，＋∞)上是減函數.6分

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