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(共34張PPT)
5.4　函數的奇偶性（第二課時）
課標要求 素養要求
1.掌握函數奇偶性的簡單應用.
2.了解函數圖象的對稱軸、對稱中心滿足的條件. 1.通過函數奇偶性的應用，熟悉轉化、對稱等思考方法，提升邏輯推理素養.
2.通過函數圖象的對稱軸、對稱中心條件，提升直觀想象和數學抽象素養.
新知探究
被譽為“上海之鳥”浦東國際機場的設計是一個碩大無比展開雙翅的海鷗，它的兩翼呈對稱狀，看上去舒展優美，它象征著浦東將展翅高飛，一些函數的圖象也有著如此美妙的對稱性.
問題　這種對稱性體現了函數的什么性質？
提示　函數的奇偶性.
奇函數、偶函數性質
(1)奇函數的圖象關于______對稱，若函數的圖象關于原點對稱，則該函數是奇函數.
偶函數的圖象關于______對稱，若函數的圖象關于y軸對稱，則該函數是偶函數.
(2)若f(x)為奇函數且在區間[a，b](a(3)若f(x)為偶函數且在區間[a，b](a原點
y軸
增函數
相同
減函數
相反
基礎自測
[判斷題]
1.若f(x)是偶函數，則f(x)＝f(－x)＝f(|x|).( )
3.若奇函數f(x)在[a，b]上有最大值M，則f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.( )
提示　奇函數的圖象關于原點對稱，在[a，b]上有最大值M，則在[－b，－a]上有最小值－M.
√
√
×
[基礎訓練]
1.定義在R上的偶函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，則(　　)
A.f(3)B.f(－π)C.f(3)D.f(4)解析　∵f(x)是定義在R上的偶函數，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函數，0＜3＜π<4，
∴f(3)答案　C
2.函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝－x＋1，則當x<0時，f(x)＝________.
解析　當x<0時，－x>0，則f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x－1.
答案　－x－1
[思考]
若函數y＝f(x)與y＝g(x)的圖象關于y軸對稱，則f(x)，g(x)是偶函數嗎？
提示　不是偶函數，因為只有自身的圖象關于y軸對稱的函數才是偶函數.
題型一　利用奇偶性求解析式
角度1　求對稱區間上的解析式
【例1－1】　(1)函數f(x)是R上的偶函數，且當x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當x>0時，f(x)＝________.
(2)函數f(x)為R上的奇函數，當x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝________.
解析　(1)設x>0，則－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因為函數f(x)為R上的偶函數，故當x>0時，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0時，f(x)＝x(x＋1).
(2)設x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是R上的奇函數，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝2x2＋3x－1，即當x<0時，f(x)＝2x2＋3x－1.因為f(x)為R上的奇函數，故f(0)＝0.
解　∵f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
用－x代替x，
規律方法　已知函數f(x)的奇偶性及函數f(x)在某區間上的解析式，求該函數在整個定義域上的解析式的方法如下：(1)求哪個區間上的解析式，x就設在那個區間上；(2)把x對稱轉化到已知區間上，代入到已知區間上的函數解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性將f(－x)用－f(x)或f(x)表示，從而求出f(x).
【訓練1】　(1)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x<0時，f(x)＝－x2－x，求函數f(x)的解析式；
(2)設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函數f(x)，g(x)的解析式.
解　(1)設x>0，則－x<0，
∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函數，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.
又∵函數定義域為R，∴f(0)＝0，
(2)∵f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①
用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
題型二　奇偶性與單調性綜合應用
角度1　比較大小
【例2－1】　(1)若對于任意實數x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區間(－∞，－1]上是增函數，則(　　)
(2)設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A.f(π)>f(－3)>f(－2) 　 B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)解析　(1)∵對任意實數x總有f(－x)＝f(x)，
∴f(x)為偶函數，∴f(2)＝f(－2).
(2)因為函數f(x)為R上的偶函數，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).
又當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，且π>3>2，
所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).
答案　(1)B　(2)A
角度2　利用奇偶性、單調性解不等式
【例2－2】　(1)設定義在[－3，3]上的奇函數f(x)在區間[0，3]上是減函數，若f(1－m)(2)定義在[－2，2]上的偶函數g(x)，當x≥0時，g(x)為減函數，若g(1－m)解　(1)因為f(x)是奇函數且f(x)在[0，3]上是減函數，
所以f(x)在[－3，3]上是減函數.
(2)∵g(x)在[－2，2]上為偶函數，且x≥0時為減函數，
規律方法　1.比較大小的方法：
(1)自變量在同一單調區間上，直接利用函數的單調性比較大小；
(2)自變量不在同一單調區間上，需利用函數的奇偶性把自變量轉化到同一單調區間上，然后利用單調性比較大小.
2.利用函數奇偶性和單調性解不等式
解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)已知函數f(x)是奇函數，其定義域為(－1，1)，且在區間[0，1)上為增函數.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，試求a的取值范圍.
(1)解析　∵f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(－∞，0)上是增函數，∴f(x)在區間(0，＋∞)上是減函數.∴f(3)＝f(－3)＝0.
當x>0時，由f(x)<0，解得x>3；
當x<0時，由f(x)>0，解得－3故所求解集為{x|－33}.
答案　{x|－33}
(2)解　因為f(a－2)＋f(3－2a)<0，
所以f(a－2)<－f(3－2a)，
又因為f(x)是奇函數，所以f(a－2)又因為f(x)在區間[0，1)上為增函數，所以f(x)在區間(－1，1)上為增函數.
題型三　奇偶性與對稱性的應用
【例3】　若函數y＝f(x)在(0，2)上是增函數，函數y＝f(x＋2)是偶函數，則下列結論正確的是(　　)
解析　∵y＝f(x＋2)是偶函數，∴f(2－x)＝f(2＋x)，
故y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，
∴f(1)＝f(3).
又f(x)在(0，2)上為增函數，∴f(x)在(2，4)上為減函數.
答案　B
規律方法　(1)要證明函數f(x)的圖象關于x＝h對稱，只需證明對定義域內的任意x，滿足f(h－x)＝f(h＋x).
(2)要證明函數f(x)的圖象關于點(a，b)對稱，只需證明對定義域內的任意x ，滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
證明　函數f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(－1，＋∞).
任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，
∴f(x)的圖象關于點(－1，1)對稱.
一、課堂小結
1.結合圖象的對稱性，通過奇偶性的應用，提升邏輯推理素養、直觀想象素養和數學抽象素養.
2.奇函數在關于原點對稱的兩個區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的兩個區間上有相反的單調性.
3.如果一個奇函數f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0；如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|).
4.利用奇偶性可以簡化研究函數性質的過程，利用奇偶性求函數值、解析式、比較大小、解不等式等核心是轉化.
5.對于抽象函數(未給出解析表達式的函數)可畫出滿足條件的示意圖來幫助分析解決問題.
二、課堂檢測
1.若函數f(x)是R上的偶函數，且在區間[0，＋∞)上是增函數，則下列關系成立的是(　　)
A.f(－3)>f(0)>f(1) B.f(－3)>f(1)>f(0)
C.f(1)>f(0)>f(－3) D.f(1)>f(－3)>f(0)
解析　∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在區間[0，＋∞)上是增函數，∴f(－3)>f(1)>f(0).
答案　B
2.已知函數y＝f(x)在R上為奇函數，且當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則當x<0時，f(x)的解析式是(　　)
A.f(x)＝－x(x＋2) B.f(x)＝x(x－2)
C.f(x)＝－x(x－2) D.f(x)＝x(x＋2)
解析　設x<0，則－x>0，則f(－x)＝x2＋2x＝－f(x)，
所以f(x)＝－x(x＋2)，故選A.
答案　A
3.已知偶函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________.
解析　因為f(x)是偶函數，所以f(x－1)＝f(|x－1|).
又因為f(2)＝0，
所以f(x－1)>0可化為f(|x－1|)>f(2).
又因為f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，
所以|x－1|<2，解得－2所以－1答案　(－1，3)
4.已知偶函數f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，則f(1)和f(－10)的大小關系為________.
解析　∵f(x)是偶函數.∴f(－10)＝f(10).又在[0，＋∞)上單調遞減，所以f(－10)＝f(10)答案　f(－10)5.設定義在[－2，2]上的奇函數f(x)在區間[0，2]上是減函數，若 f(1－m)解　因為f(x)是奇函數且f(x)在[0，2]上是減函數，
所以f(x)在[－2，2]上是減函數.

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