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(共38張PPT)
6.1　冪函數
新知探究
給出下列五個問題：①如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，這里p是w的函數.
②如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S＝a2，這里S是a的函數.
③如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V＝a3，這里V是a的函數.
(3)冪函數y＝xα在區間(0，＋∞)上為增函數時，α滿足的條件是什么？在區間(0，＋∞)上為減函數時，α滿足的條件是什么？
(2)依據是冪函數的定義，即解析式符合冪函數解析式的形式.
(3)當α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上為增函數；
當α<0時，y＝xα在(0，＋∞)上為減函數.
1.冪函數的概念
我們把形如__________的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數.
2.冪函數y＝xα的性質
(1)當α>0時，冪函數y＝xα具有如下性質：
①函數的圖象過點________________________.
②在第一象限內，函數的圖象隨x的增大而______，即函數在區間______________上是增函數.
y＝xα
(0，0)，(1，1)
上升
[0，＋∞)
(2)當α<0時，具有的性質為：
①函數的圖象都過點____________.
②在第一象限內，函數的圖象隨x的增大而______，即函數在區間______________上是減函數.
(1，1)
下降
(0，＋∞)
基礎自測
[判斷題]
1.函數y＝－x2是冪函數.( )
提示　根據冪函數的定義.
2.冪函數y＝x2是偶函數.( )
3.冪函數y＝x－1是增函數.( )
提示　y＝x－1在(0，＋∞)和(－∞，0)上為減函數.
4.冪函數的圖象不過第四象限.( )
×
√
×
√
×
[基礎訓練]
1.下列所給的函數中是冪函數的為(　　)
A.y＝2x5 B.y＝x3＋1
C.y＝x－3 D.y＝3x
解析　選項C符合y＝xα的形式，對于A系數不為1，B中含有常數項，而D不符合y＝xα的形式.
答案　C
2.已知冪函數y＝xα的圖象經過點(2，4)，則f(－3)＝________.
解析　由于冪函數y＝xα的圖象經過點(2，4)，即2α＝4，解得α＝2，故f(－3)＝
(－3)2＝9.
答案　9
3. 3.17－1與3.71－1的大小關系為_____________.
答案　3.17－1>3.71－1
[思考]
冪函數y＝xα的定義域，值域等性質在α取不同的數值時都一樣嗎？
題型一　冪函數的概念
【例1】　(1)在函數y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，冪函數的個數為(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是冪函數，則m＝________.
解析　(1)根據冪函數定義可知，只有y＝x－2是冪函數，所以選B.
(2)因為f(x)是冪函數，所以m2－4m－4＝1，
即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案　(1)B　(2)5或－1
規律方法　判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，需滿足：①指數為常數，②底數為自變量，③xα系數為1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數都不是冪函數.反過來，若一個函數為冪函數，則該函數也必具有這一形式.
【訓練1】　(1)若函數f(x)是冪函數，且滿足f(4)＝16，則f(－4)的值等于________.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數，則a＋b＝(　　)
解析　(1)設f(x)＝xα，因為f(4)＝16，
∴4α＝16，解得α＝2，
∴f(－4)＝(－4)2＝16.
(2)因為f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數，
所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，則a＋b＝2.
答案　(1)16　(2)A
題型二　冪函數的圖象及應用
答案　(1)B　(2)B
【訓練2】　(1)如圖是冪函數y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象，則(　　)
A.－1B.n<－1，0C.－11
D.n<－1，m>1
解析　(1)在(0，1)內取同一值x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點，如圖所示.根據點低指數大，有0答案　(1)B　(2)C
題型三　由冪函數單調性比較大小
【例3】　比較下列各組數中兩個數的大小：
解　(1)因為冪函數y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函數，
規律方法　比較冪值大小的兩種基本方法
【訓練3】　比較下列各組數的大?。?br/>(2)∵y＝x3是R上的增函數，且3.14<π，
∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
解　因為函數在(0，＋∞)上單調遞減，
所以3m－9<0，
解得m<3.又因為m∈N*，所以m＝1，2.
因為函數的圖象關于y軸對稱，
所以3m－9為偶數，故m＝1.
(0，＋∞)上單調遞減，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a規律方法　冪函數y＝xα中只有一個參數α，冪函數的所有性質都與α的取值有關，故可由α確定冪函數的定義域、值域、單調性、奇偶性，也可由這些性質去限制α的取值.
【訓練4】　已知冪函數y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是區間(0，＋∞)上的增函數；
(2)對任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同時滿足(1)，(2)的冪函數f(x)的解析式，并求x∈[0，3]時f(x)的值域.
解　因為m∈{x|－2所以m＝－1，0，1.因為對任意x∈R，
都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數.
當m＝－1時，
f(x)＝x2只滿足條件(1)而不滿足條件(2)；
當m＝1時，f(x)＝x0條件(1)，(2)都不滿足.
當m＝0時，f(x)＝x3條件(1)，(2)都滿足，
且在區間[0，3]上是增函數，
f(0)＝03＝0，f(3)＝33＝27，所以x∈[0，3]時，
函數f(x)的值域為[0，27].
一、課堂小結
1.結合常見冪函數的圖象，歸納冪函數的圖象與性質，提升學生的數學抽象素養，邏輯推理素養.
2.冪函數在第一象限內指數變化規律
在第一象限內直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的冪的指數由大變小；在直線x＝1的左側，圖象從下到上，相應的冪的指數由大變小.
3.簡單冪函數的性質
(1)所有冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且當自變量為1時，函數值為1，即f(1)＝1.恒過點(1，1).
(2)如果α>0，冪函數在[0，＋∞)上有意義，且是增函數.
(3)如果α<0，冪函數在x＝0處無意義，在(0，＋∞)上是減函數.
4.(1)五個冪函數的圖象：
(2)五個冪函數的性質：
二、課堂檢測
A.1，3 B.－1，1
C.－1，3 D.－1，1，3
解析　可知當α＝－1，1，3時，y＝xα為奇函數，又∵y＝xα的定義域為R，則α＝1，3.
答案　A
2.下列不等式成立的是(　　)
答案　A
3.冪函數y＝f(x)的圖象過點(2，m)，且f(m)＝16，則實數m的值為________.
答案　(1，1)

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