資源簡介

(共38張PPT)
6.2　指數函數（第一課時）
指數函數的圖象與性質
課標要求 素養要求
1.了解指數函數的實際背景，理解指數函數的概念.
2.掌握指數函數的圖象及簡單性質.
3.會用指數函數的圖象與性質解決問題. 通過指數函數的圖象及性質的理解與應用，提升直觀想象素養、邏輯推理素養和數學抽象素養.
新知探究
將一張報紙連續對折，折疊次數x與對應的層數y間存在什么關系？對折后的面積S(設原面積為1)與折疊的次數有怎樣的關系？
提示　(1)冪的形式；(2)冪的底數是一個大于0且不等于1的常數；(3)冪的指數是一個變量.
1.指數函數的概念
2.指數函數的圖象和性質
結合函數的圖象熟記指數函數的性質
a>1 0圖象
(0，＋∞)
(0，1)
00y>1
減函數
R
基礎自測
[判斷題]
1.函數y＝2x＋1是指數函數.( )
提示　因為指數不是x，所以函數y＝2x＋1不是指數函數.
2.函數y＝(－5)x是指數函數.( )
提示　因為底數小于0，所以函數y＝(－5)x不是指數函數.
3.y＝ax(a>0且a≠1)的最小值為0.( )
提示　因為指數函數的圖象都在x軸上方，值域為(0，＋∞)，沒有最小值.
×
×
×
[基礎訓練]
1.下列函數中一定是指數函數的是(　　)
答案　B
2.函數y＝2－x的圖象是(　　)
答案　B
3.若函數f(x)是指數函數，且f(2)＝2，則f(x)＝________.
[思考題]
1.為什么規定指數函數的底數a>0且a≠1
提示　規定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：①當a≤0時，ax可能無意義；②當a>0時，x可以取任何實數；③當a＝1時，ax＝1(x∈R)，無研究價值.因此規定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.若x10且a≠1)大小關系如何？
提示　當a>1時，y＝ax在R上為單調增函數.
所以ax1ax2.
題型一　指數函數的概念
【例1】　(1)給出下列函數：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指數函數的個數是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
解析　(1)①中，3x的系數是2，故①不是指數函數；②中，y＝3x＋1的指數是x＋1，不是自變量x，故②不是指數函數；③中，3x的系數是1，冪的指數是自變量x，且只有3x一項，故③是指數函數；④中，y＝x3的底為自變量，指數為常數，故④不是指數函數.⑤中，底數－2<0，不是指數函數.
答案　(1)B　(2)125
規律方法　1.指數函數的解析式必須具有三個特征：
(1)底數a為大于0且不等于1的常數；(2)指數位置是自變量x；(3)ax的系數是1.
2.求指數函數的關鍵是求底數a，并注意a的限制條件.
【訓練1】　(1)若函數y＝a2(2－a)x是指數函數，則(　　)
A.a＝1或－1 B.a＝1
C.a＝－1 D.a>0且a≠1
(2)已知指數函數f(x)的圖象過點(3，π)，則函數f(x)的解析式為________.
題型二　指數函數的性質
角度1　函數過定點
【例2－1】　函數f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的圖象恒過的定點是________.
解析　因為y＝ax的圖象過定點(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，則f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的圖象過定點(－1，－1).
答案　(－1，－1)
角度2　函數的定義域、值域
【例2－2】　(1)若函數f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，則函數f(x)的值域為________.
(2)函數f(x)＝2－x－1的值域是________.
解析　(1)由題意知函數f(x)＝2x＋3在R上是增函數，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域為[7，11].
∴值域為(－1，＋∞).
答案　(1)[7，11]　(2)(－1，＋∞)
角度3　由單調性比較大小
【例2－3】　比較下列各組數的大小：
規律方法　(1)抓住特殊點：指數函數的圖象過定點(0，1)，求指數型函數圖象所過的定點時，只要令指數為0，求出對應的y的值，即可得函數圖象所過的定點.
(2)合理利用指數型函數的單調性、圖象的變化規律及中間值進行冪的大小判斷.
(3)對于三個(或三個以上)數的大小比較，則應先根據特殊值0，1進行分組，再比較各組數的大小.
【訓練2】　(1)函數y＝a2x＋1－4(a>0，且a≠1)的圖象恒過點________，值域為________.
題型三　指數函數的圖象變換
【例3】　畫出下列函數的圖象，并說明它們是由函數f(x)＝2x的圖象經過怎樣的變換得到的.
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
解　如圖所示.
(1)y＝2x－1的圖象是由y＝2x的圖象向右平移1個單位長度得到的.
(2)y＝2x＋1的圖象是由y＝2x的圖象向上平移1個單位長度得到的.
(3)y＝2|x|的圖象是由y＝2x的y軸右側的圖象和其關于y軸對稱的圖象組成的，包括y軸上的(0，1)點.
(4)y＝|2x－1|的圖象是由y＝2x的圖象向下平移1個單位長度，然后將其x軸下方的圖象翻折到x軸上方得到的.
(5)y＝－2x的圖象與y＝2x的圖象關于x軸對稱.
(6)y＝－2－x的圖象與y＝2x的圖象關于原點對稱.
規律方法　函數圖象的變換規律
(1)平移變換：將函數y＝f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度得函數y＝f(x－m)的圖象(若m<0，就是向左平移|m|個單位長度)，將函數y＝f(x)的圖象向上平移n(n>0)個單位長度，得到函數y＝f(x)＋n的圖象(若n<0，就是向下平移|n|個單位長度).
(2)對稱變換：
①函數y＝f(x)的圖象與函數y＝f(－x)的圖象關于y軸對稱，函數y＝f(x)的圖象與函數y＝－f(x)的圖象關于x軸對稱，函數y＝f(x)的圖象與函數y＝－f(－x)的圖象關于原點對稱；
②函數y＝f(|x|)是一個偶函數，其圖象關于y軸對稱，是將函數y＝f(x)位于y軸右側的圖象保留(左側的擦去)，然后將y軸右側的圖象沿y軸對稱到左側，就得到函數y＝f(|x|)的圖象；
③函數y＝|f(x)|的圖象是將函數y＝f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到上方，x軸上方的部分不變.
【訓練3】　(1)如圖是指數函數①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關系是(　　)
A.aC.1(2)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　)
A.a>1，b<0
B.a>1，b>0
C.00
D.0解析　(1)可先分兩類，③④的底數大于1，①②的底數小于1，再由圖象③④比較c，d的大小，由圖象①②比較a，b的大小.在y軸右側，當指數函數的底數大于1時，圖象上升，且底數越大，圖象越靠近y軸，當指數函數的底數大于0且小于1時，圖象下降，且底數越小，圖象越靠近x軸(即用x＝1截圖，底大圖高)，故選B.
(2)從曲線的變化趨勢，可以得到函數f(x)為減函數，從而有00，即b<0(或令x＝0得a－b<1即a－b0，即b<0).
答案　(1)B　(2)D
一、課堂小結
1.通過指數函數的圖象與性質的學習，提升數學直觀想象素養、邏輯推理素養與數學抽象素養.
2.判斷一個函數是不是指數函數，關鍵是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)這一結構形式，即ax的系數是1，指數是x且系數為1.
3.指數函數的圖象與性質，要注意分a>1與0二、課堂檢測
1.指數函數y＝ax與y＝bx的圖象如圖所示，則(　　)
A.a<0，b<0
B.a<0，b>0
C.01
D.0解析　結合指數函數圖象的特點可知01.
答案　C
2.當x∈[－2，2)時，y＝3－x－1的值域是(　　)
答案　A
3.函數f(x)＝2·ax－1＋1的圖象恒過定點________.
解析　令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的圖象恒過定點(1，3).
答案　(1，3)
4.不等式23－2x<0.53x－4的解集為________.
解析　原不等式可化為23－2x<24－3x，因為函數y＝2x是R上的增函數，所以3－2x<4－3x，解得x<1，則解集為{x|x<1}.
答案　{x|x<1}
5.比較下列各組值的大小：
(1)1.8－0.1，1.8－0.2；
(2)1.90.3，0.73.1；
(3)a1.3，a2.5(a>0，且a≠1).
解　(1)因為函數y＝1.8x是R上的增函數，且－0.1>－0.2，所以1.8－0.1>1.8－0.2.
(2)因為1.90.3>1.90＝1，0.73.1<0.70＝1，
所以1.90.3>0.73.1.
(3)當a>1時，函數y＝ax是R上的增函數，又1.3<2.5，故a1.3當0a2.5.

展開更多......

收起↑