資源簡介

(共48張PPT)
6.3 對數(shù)函數(shù)（第二課時）
課標要求 素養(yǎng)要求
1.進一步理解對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).
2.能運用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關問題. 結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象理解反函數(shù)的概念，掌握對數(shù)型函數(shù)的有關性質(zhì)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學抽象素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng).
新知探究
觀察圖形，回答下列問題：
圖(1)　　　　　　　　圖(2)
問題　(1)觀察圖(1)所示的函數(shù)y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x圖象，你能得出什么結(jié)論？
(2)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的圖象如圖(2)所示，那么a，b，c的大小關系如何？
提示　(1)對于底數(shù)a>1的對數(shù)函數(shù)，在(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸；對于底數(shù)0(2)由圖象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝logbx的圖象在(1，＋∞)上比y＝logcx的圖象靠近x軸，所以b反函數(shù)
(1)當a>0，a≠1時，y＝logax稱為______的反函數(shù)，反之，y＝ax也稱為________的反函數(shù).一般地，如果函數(shù)y＝f(x)存在反函數(shù)，那么反函數(shù)記作____________.
(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)，圖象關于y＝x對稱.
y＝ax
y＝logax
y＝f－1(x)
基礎自測
[判斷題]
2.ln x<1的解集為(－∞，e).( )
提示　由ln x<1，解得03.y＝ax與x＝logay的圖象相同(a>0且a≠1).( )
4.由函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移1個單位可得y＝log2x＋1的圖象.( )
提示　向左平移1個單位可得y＝log2(x＋1)的圖象.
×
×
√
×
[基礎訓練]
2.已知log7(2x)解析　由0<2x答案　(0，2)
答案　(－∞，0)
[思考]
1.不同底的對數(shù)函數(shù)y＝logax與y＝logbx，a≠b的圖象之間有何相對位置關系？
提示　作直線y＝1，與各圖象會有交點，底數(shù)越大，交點越靠右，簡稱“底大圖右”.
2.y＝ax與y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，它們的性質(zhì)有何關系？
提示　①y＝ax的定義域為y＝logax的值域，y＝ax的值域為y＝logax的定義域.
②y＝ax上任一點為(m，n)，則點(n，m)必在其反函數(shù)y＝logax的圖象上，即互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于y＝x對稱.
③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同，但單調(diào)區(qū)間不一定相同.
題型一　對數(shù)函數(shù)的圖象及應用
【例1】　(1)當a>1時，在同一坐標系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖象為(　　)
(2)已知f(x)＝loga|x|，滿足f(－5)＝1，試畫出函數(shù)f(x)的圖象.
答案　C
對數(shù)函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，過定點(1，0).故選C.
(2)解　∵f(x)＝loga|x|，
∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，
∴f(x)＝log5|x|，
∴f(x)是偶函數(shù)，其圖象如圖所示.
【遷移1】　(變換條件)將本例(1)的條件“a>1”去掉，函數(shù)“y＝logax”改為“y＝loga(－x)”，則函數(shù)y＝a－x與y＝loga(－x)的圖象可能是(　　)
解析　∵在y＝loga(－x)中，－x>0，∴x<0，
∴圖象只能在y軸的左側(cè)，故排除A，D；
當a>1時，y＝loga(－x)是減函數(shù)，
答案　C
【遷移2】　(變換條件)將本例(2)中的函數(shù)改為f(x)＝loga|x＋1|，且滿足f(－5)＝1，求解析式并畫其圖象.
解　由f(－5)＝loga|－5＋1|＝1得a＝4，
即f(x)＝log4|x＋1|.
其圖象畫法：①先作y＝log4x的圖象，②將y＝log4x的圖象向左平移1個單位得y＝log4(x＋1)的圖象，③再將y＝log4(x＋1)的圖象關于x＝－1對稱，如圖所示.
規(guī)律方法　有關對數(shù)函數(shù)圖象間的變換規(guī)律
(1)一般地，函數(shù)y＝f(x＋a)＋b(a，b為實數(shù))的圖象是由函數(shù)y＝f(x)的圖象沿x軸向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位長度，再沿y軸向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個單位長度得到的.
(2)含有絕對值的函數(shù)的圖象是一種對稱變換，一般地，y＝f(|x－a|)的圖象是關于直線x＝a對稱的軸對稱圖形；函數(shù)y＝|f(x)|的圖象與y＝f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分關于x軸對稱.
【訓練1】　作出下列函數(shù)的大致圖象：
(1)y＝|log2x|；(2)y＝|log2(x－1)|；
(3)y＝|log2(1－x)|.
解　(1)第一步：作函數(shù)y＝log2x的圖象；
第二步：把函數(shù)y＝log2x的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折(位于x軸和x軸上方的不變)，即得y＝|log2x|的圖象(如圖①).
(2)第一步和第二步同(1)；
第三步：把y＝|log2x|的圖象向右平移1個單位長度即得y＝|log2(x－1)|的圖象(如圖②).
(3)第一步：作函數(shù)y＝log2x的圖象；
第二步：把函數(shù)y＝log2x的圖象沿y軸翻折，
得y＝log2(－x)的圖象；
第三步：把y＝log2(－x)的圖象向右平移1個單位長度，得函數(shù)y＝log2(1－x)的圖象；
第四步：把y＝log2(1－x)的圖象位于x軸下方的部分沿x軸翻折(x軸上及x軸上方的不變)，即得y＝|log2(1－x)|的圖象(如圖③).
題型二　對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性
角度1　解對數(shù)不等式
【例2－1】　解下列不等式.
(2)因為log3x<1＝log33，
所以原不等式的解集為{x|0所以原不等式的解集為{x|0當a>1時，函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
當0所以x2<1，所以－1因此函數(shù)的定義域為(－1，1).
令t＝1－x2，x∈(－1，1).
單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1).
角度3　由單調(diào)性求參數(shù)
【例2－3】　(1)若函數(shù)f(x)＝loga(6－ax)在[0，2]上為減函數(shù)，則a的取值范圍是(　　)
A.(0，1) B.(1，3)
C.(1，3] D.[3，＋∞)
解析　(1)函數(shù)由y＝logau，u＝6－ax復合而成，因為a>0，所以u＝6－ax是減函數(shù)，那么函數(shù)y＝logau就是增函數(shù)，所以a>1，因為[0，2]為定義域的子集，所以當x＝2時，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1答案　(1)B　(2)(－8，－6]
規(guī)律方法　1.對數(shù)不等式的三種類型及解法
(1)形如logax>logab的不等式，借助函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)的形式，再借助函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求解.
(3)形如logax>logbx的不等式，利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解或利用圖象求解.
2.若a>1，則y＝logaf(x)的單調(diào)性與y＝f(x)的單調(diào)性相同，若0【訓練2】　(1)已知log0.3(3x)答案　A
題型三　對數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題
角度1　值域問題
【例3－1】　求下列函數(shù)的值域.
(1)y＝log2(x2－4x＋6)；
(2)y＝log2(x2－4x－5).
解　(1)令u＝x2－4x＋6.∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，
又f(x)＝log2u在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴l(xiāng)og2(x2－4x＋6)≥log22＝1，
∴函數(shù)的值域是[1，＋∞).
(2)∵x2－4x－5＝(x－2)2－9≥－9，∴x2－4x－5能取到所有正實數(shù)，
∴函數(shù)y＝log2(x2－4x－5)的值域是R.
角度2　奇偶性判斷
所以f(－x)＝－f(x)，
角度3　綜合應用
解得x>1或x<－1，故此函數(shù)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞).
規(guī)律方法　(1)對于y＝logaf(x)型函數(shù)，在函數(shù)定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.
(2)含對數(shù)式的奇偶性判斷，一般用f(x)±f(－x)＝0來判斷，運算相對簡單.
【訓練3】　已知f(x)＝log4(4x－1).
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的單調(diào)性；
解　(1)由4x－1>0，解得x>0，
因此f(x)的定義域為(0，＋∞).
(2)設0因此log4(4x1－1)即f(x1)一、課堂小結(jié)
1.由對數(shù)函數(shù)的圖象，反函數(shù)概念，研究對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)，數(shù)學抽象素養(yǎng)及數(shù)學運算素養(yǎng).
2.比較兩個對數(shù)值的大小及解對數(shù)不等式問題，其依據(jù)是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.若對數(shù)的底數(shù)是字母且范圍不明確，一般要分a>1和03.解決與對數(shù)函數(shù)相關的問題時要樹立“定義域優(yōu)先”的原則，同時注意數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想在解決問題中的應用.
4.y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)的研究
(1)定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.
(2)值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.
(3)單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定(或運用單調(diào)性定義判定).
(4)奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.
(5)最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最后確定最值.
二、課堂檢測
1.函數(shù)y＝ax與y＝－logax(a>0，且a≠1)在同一坐標系中的圖象形狀可能是(　　)
解析　函數(shù)y＝－logax恒過定點(1，0)，排除B；當a>1時，y＝ax是增函數(shù)，y＝－logax是減函數(shù)，當0答案　A
答案　D
3.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，則a的取值范圍為________.
解　設t＝－x2＋2x＋1，則t＝－(x－1)2＋2.

展開更多......

收起↑