資源簡介

(共33張PPT)
7.1角與弧度（第一課時）任意角
課標要求 素養要求
1.結合實例，了解角的概念的推廣及其實際意義.
2.理解象限角的概念，并掌握終邊相同角的含義及其表示. 在角的概念推廣過程中，經歷由具體到抽象，重點提升學生的數學抽象、直觀想象素養.
新知探究
2019年7月15日，在韓國光州舉行的游泳世錦賽男子雙人10米跳臺決賽中，中國組合曹緣、陳艾森以486.93分的成績獲得冠軍；在第六輪比賽中，曹緣、陳艾森的動作是難度系數3.6的5 255B(向前翻騰兩周半轉體兩周半軀體)，動作完美，獲得最高分.
問題　(1)向前翻騰兩周半所轉的角是正角還是負角？
(2)向前翻騰兩周半所轉的角是多少度？
提示　(1)正角，因為是按照逆時針旋轉的；(2)所轉的角為900°.
1.角的分類
注意正角、負角的旋轉方向
類型 定義 圖示
正角 按________方向旋轉所成的角
負角 按________方向旋轉所成的角
零角 不旋轉所成的角
逆時針
順時針
2.角的加法
對于兩個任意角α、β，將角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角稱為α與β的和，記作________；射線OA繞端點O分別按逆時針方向、順時針方向旋轉相同的量所成的兩個角稱為______角、角α的相反角為______，于是α－β＝α＋______.
3.象限角
以角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸建立平面直角坐標系，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是____________；如果角的終邊在坐標軸上，稱這個角為________.
α＋β
－α
(－β)
第幾象限角
軸線角
相反
4.終邊相同角的表示
一般地，與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝____________，k∈Z}.
k·360°＋α
基礎自測
[判斷題]
1.經過1小時，時針轉過30°.( )
提示　因為是順時針旋轉，所以時針轉過－30 °.
2.終邊與始邊重合的角是零角.( )
提示　終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z).
3.終邊在y軸負半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}.( )
4.若α為第四象限，則－α為第一象限角.( )
5.第三象限的角一定比第一象限的角大.( )
提示　例如－120°為第三象限角，60°為第一象限角，故錯誤.
×
×
√
√
×
[基礎訓練]
1.與－457°角的終邊相同的角的集合是(　　)
A.{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
解析　由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故與－457°角的終邊相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}.
答案　C
2.－378°是第________象限角.
解析　－378°＝－360°－18°，因為－18°是第四象限角，所以－378°是第四象限角.
答案　四
[思考]
1.角的概念推廣后角的范圍有怎樣的變化？
提示　角的概念推廣后，角度的范圍不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、負角與零角.
2.終邊相同的角相等嗎？相等的角終邊相同嗎？
提示　終邊相同的角相差360°的整數倍，它們不一定相等，但相等的角終邊一定相同.
題型一　與任意角有關的概念辨析
【例1】　(1)下列說法中正確的是________(填序號).
①終邊落在第一象限的角為銳角；
②銳角是第一象限的角；
③第二象限的角為鈍角；
④小于90°的角一定為銳角；
⑤角α與－α的終邊關于x軸對稱.
(2)如圖，射線OA先繞端點O逆時針方向旋轉60°到OB處，再按順時針方向旋轉820°至OC處，則β＝________.
解析　(1)終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如400°的角是第一象限的角，但不是銳角，故①的說法是錯誤的；同理第二象限的角也不一定是鈍角，故③的說法也是錯誤的；小于90°的角不一定為銳角，比如負角，故④的說法是錯誤的.
(2)∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°.
答案　(1)②⑤　(2)－40°
規律方法　判斷角的概念問題的關鍵與技巧
(1)關鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.
(2)技巧：判斷一種說法正確需要證明，而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可.
【訓練1】　寫出圖(1)，(2)中的角α，β，γ的度數.
解　在圖(1)中，α＝360°－30°＝330°；
在圖(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.
題型二　終邊相同的角
【例2】　在與角10 030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角.
(1)最大的負角；
(2)最小的正角；
(3)[360°，720°)內的角.
解　與10 030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
(1)由－360°(2)由0°(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.
規律方法　(1)求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值.
(2)求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進行合并.
【訓練2】　寫出終邊落在x軸上的角的集合S.
解　S＝{α|α＝k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°，k2∈Z}＝{α|α＝2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°，k2∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}.
題型三　象限角和區間(域)角
【例3】　(1)－2 019°是第________象限角.
(2)已知，如圖所示.
①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；
②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
(1)解析　－2 019°＝－6×360°＋141°，141°是第二象限角，所以－2 019°為第二象限角.
答案　二
(2)解　①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.
②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.
【遷移1】　(變換條件)若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？
解　在0°～360°范圍內、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是：
150°≤α≤225°，則滿足條件的角α為
{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}.
【遷移2】　(變換條件)若將例3(2)題改為如圖所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？
解　由題干圖可知滿足題意的角的集合為{β|k·360°＋60°≤β≤
k·360°＋105°，k∈Z}∪{k·360°＋240°≤β≤k·360°＋285°，k∈Z}
＝{β|2k·180°＋60°≤β≤2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β≤(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}，
即所求的集合為{β|n·180°＋60°≤β≤n·180°＋105°，n∈Z}.
規律方法　表示區域角的三個步驟
第一步：先按逆時針的方向找到區域的起始和終止邊界.
第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α第三步：起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區域角集合.
【訓練3】　(1)已知α是第二象限角，則180°－α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)已知α是銳角，那么2α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
解析　(1)由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z.所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α為第一象限角.
(2)∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.答案(1)A　(2)C
一、課堂小結
1.通過本節課的學習，學會利用圖形描述建立形與數的聯系，提升學生的數學抽象、直觀想象素養.
2.本節主要借助坐標系，加深對角的概念的理解.
3.會寫終邊相同的角、區域角.
二、課堂檢測
1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°這四個角中，屬于第二象限角的是(　　)
A.① B.①②
C.①②③ D.①②③④
解析　②480°＝120°＋360°是第二象限角；
③－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；
④1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角，故選C.
答案　C
2.(多選題)下列說法不正確的是(　　)
A.三角形的內角一定是第一、二象限角
B.鈍角不一定是第二象限角
C.相差180°整數倍的角為終邊相同的角
D.鐘表的時針旋轉而成的角是負角
解析　A錯誤，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限角；
B錯誤，鈍角在90°到180°之間，是第二象限角；
C錯誤，終邊相同的角之間相差360°的整數倍；
D正確，鐘表的時針是順時針旋轉，故是負角.
答案　ABC
3.把－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為________.
解析　－936°＝－3×360°＋144°，故－936°化為α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式為144°＋(－3)×360°.
答案　144°＋(－3)×360°
4.終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝________.
解析　由于直線y＝－x是第二、四象限的角平分線，在0°～360°間所對應的兩個角分別是135°和315°，
從而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}.
答案　{α|α＝n·180°＋135°，n∈Z}
5.如圖所示，
(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；
(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.
解　(1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
(2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.

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