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(共32張PPT)
7.2.1　任意角的三角函數（第二課時）
課標要求 素養要求
1.會用三角函數線分別表示任意角的正弦、余弦、正切函數值.
2.理解三角函數線的畫法，掌握三角函數值的規律.
3.能利用三角函數線解決一些簡單的三角函數問題. 通過三角函數線的作法和三角函數線的應用提升直觀想象和數學運算素養.
新知探究
角是一個圖形概念，也是一個數量概念(弧度數).作為角的函數——三角函數是一個數量概念(比值)，但它是否也是一個圖形概念呢？能否用幾何方式來表示三角函數呢？
如圖，設角α為第一象限角，其終邊與單位圓的交點為P(x，y)，則sin α＝y，cos α＝x都是正數.
(2)用類似的方法過點P分別向x軸作垂線及過點A(1，0)作單位圓的切線，則有向線段MP、OM、AT就分別等于sin α，cos α，tan α.
1.有向線段：規定了方向(即規定了起點和終點)的線段稱為__________；對于有向線段AB，把它的長度添上正號或負號，這樣所得的數，叫做有向線段的______，即為AB.
有向線段
數量
2.三角函數線
如圖，設單位圓與x軸的正半軸交于點A，與角α的終邊交于P點，過點P作x軸的垂線PM，垂足為M，過A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點.單位圓中的有向線段______、______、______分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線.
記作：sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______.
MP
OM
AT
MP
OM
AT
3.三角函數的定義域
基礎自測
[判斷題]
1.正弦線MP也可寫成PM.( )
提示　三角函數線是有向線段，端點字母不可顛倒.
2.三角函數線表示的值都只能是非負值.( )
提示　三角函數線表示的值也可取負值.
3.當角α的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在.( )
4.當角α的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點.( )
×
×
√
√
[基礎訓練]
A.正弦值 B.余弦值
C.正切線 D.不能確定
答案　C
A.MP與AT的方向相同 B.MP＝AT
C.MP>0，AT<0 D.MP<0，AT>0
答案　C
3.下列角的正切線不存在的是(　　)
答案　B
[思考]
1.若α為任意角，則sin α，cos α的取值范圍是多少？
提示　根據單位圓中正弦線和余弦線的變化規律可得－1≤sin α≤1，－1≤cos α≤1.
2.設α為銳角，你能根據正弦線和余弦線說明sin α＋cos α>1嗎？
提示　設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，則sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1，在Rt△OMP中，由兩邊之和大于第三邊得MP＋OM>OP，即sin α＋cos α>1.
題型一　作三角函數線
解　如圖所示，
規律方法　(1)作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線得到垂足，從而得到正弦線和余弦線.
(2)作正切線時，應從點A(1，0)引單位圓的切線交角的終邊或終邊的反向延長線于一點T，即可得到正切線AT.
【訓練1】　如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是(　　)
A.正弦線為PM，正切線為A′T′
B.正弦線為MP，正切線為A′T′
C.正弦線為MP，正切線為AT
D.正弦線為PM，正切線為AT
答案　C
題型二　利用三角函數線比較大小
規律方法　利用三角函數線比較三角函數值的大小時，一般分三步：
(1)角的位置要“對號入座”.
(2)比較三角函數線的長度.
(3)確定有向線段的正負.
【訓練2】　依據三角函數線作出如下四個判斷：
其中判斷正確的有________.
答案　②④
題型三　利用三角函數線解不等式(組)
【例3】　在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合.
規律方法　利用單位圓中三角函數線，可以非常直觀方便地求出形如sin x≥m或sin x≤m的三角函數的角的范圍，起到“以形助數”的作用.
【訓練3】　已知點P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，在[0，2π)內，求α的取值范圍.
一、課堂小結
1.通過利用三角函數線解決問題，重點提升直觀想象和數學運算素養；
2.不論角的終邊落在第幾象限，sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.
二、課堂檢測
1.若角α(0<α<2π)的正弦、余弦線的長度相等，且正弦、余弦符號相異，那么α的值為(　　)
答案　D
2.使sin x≤cos x成立的x的一個變化區間是(　　)
解析　當x的終邊落在如圖所示的陰影部分時，滿足sin x≤cos x.
答案　A
解析　由圖可知，
答案　AT>MP>OM
5.分別作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線，并利用它們求出各角的正弦、余弦和正切.
解　如圖所示，正弦線、余弦線和正切線分別為MP，OM，AT.

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