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蘇教版2019高一數學（必修一）第四章 指數與對數
4.1.2 指數冪的拓展
4.1　指　數
學習目標
觀察下面的變形：
(25)2 ＝ 210 ，


······
情景導入
這表明，當 m 被 n 整除時，就有
一般地，我們規定
新知探究
仿照負整數指數冪的意義，我們規定
一、分數指數冪的意義 ( a＞0，m，n 均為正整數)
正分數指數冪
負分數指數冪
0的分數指數冪 0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.
二、有理數指數冪的運算性質
asat ＝as＋t，
(as)t ＝ast，
(ab)t ＝atbt，
其中 s，t∈Q，a＞0，b＞0.

課本例題
課本例題
利用計算器，可以計算出表中的數值：
x 2x 用計算器計算 2x的值
1 21 2
1.4 21.4 2.639 015 821 ···
1.41 21.41 2.657 371 628 ···
1.414 21.414 2.664 749 650 ···
1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ···
··· ··· ···
？ ？
一般地，當 a＞0 且x是一個無理數時，ax也是一個確定的實數有理數指數冪的運算性質對無理數指數冪同樣適用.
這樣，指數冪的概念從有理指數冪推廣到實數指數冪.
以后可以證明，當a＞0，a≠1，N＞0時，一定有唯一的實數 x ，滿足 ax＝N.
1. 用根式的形式表示下列各式 (a＞0)：
課本練習
2. 用分數指數冪表示下列各式：
＝m－n，(m＞n)
3. 求下列各式的值：
4. 化簡下列各式 ( a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)：
D
分層練習-基礎
B
A
C
＝a2·a2＝a4.
A.a16 B.a8 C.a4 D.a2
BD
5.(多選題)下列各式中一定成立的有(　　)
C中當x＝y＝1時，等式不成立；D正確.故選BD.
二、填空題
6.已知3a＝2，3b＝5，則32a－b＝________.
三、解答題
9.求下列各式的值：
解析　因為m＝2，n＝3，
所以原式＝
分層練習-鞏固
3
13.(1)已知2x＋2－x＝a(常數)，求16x＋16－x的值；
解　∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，
∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
a，b，c均為正整數，∴abc＝70＝2×5×7，
又a，b，c為正整數且a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.
解　∵ax＝70w且x，w為非零實數，
分層練習-拓展
感受·理解
1. 求下列各式的值：
＝ 102－100
＝ －0.1
＝∣x－y∣ ＝ x－y
＝－(2x＋y) ＝－2x－y
習題4.1
2. 用分數指數冪表示下列各式(a＞0，b＞0)；
＝a

＝a

＝a

＝a

＝a

＝a

＝a

＝a b


3. 求下列各式的值：
(1) 36 ；



(3) 10 000 ；



(5) 4 ；



＝10
4. 用計算器計算下列各式的值：
(1) 5 ；

(2) 321 ；

(3) 25.8 ；

(4) 723 ；

5. 化簡下列各式(a＞0，b＞0)：
(1) a a a ；



(2) a a ÷a ；



(3) ( a a )12；


(4) ( a b )12；











(7) (2a ＋3b )(2a －3b )；




(8) (a2－2＋a－2) ÷(a2－a－2).
6. 設a，b是正數，下列各題中的兩個代數式是否恒等
為什么
(am)n與aman；




(4) (a＋b)n 與 an＋bn.
思考·運用
8. 已知 a＋a－1＝3，求下列各式的值：
(1) a －a ；


(2) a －a ；


9. 解下列方程：


(2) 2x －1 ＝15；

1.掌握2個知識點
(1)分數指數冪的意義；(2)分數指數冪的運算性質.
2.掌握2種方法
(1)對根式進行運算時，一般先將根式化成分數指數冪，這樣可以方便使用同底數冪的運算律.
(2)解決較復雜的條件求值問題時，“整體思想”是簡化求解的“利器”.
3.規避1個易錯點
在運用分數指數冪的運算性質化簡時，其結果不能同時含有根式和分數指數，也不能既含有分母又含有負指數.
課堂小結

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