資源簡介

(共36張PPT)
7.1角與弧度（第二課時）弧度制
課標要求 素養要求
1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉換.
2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數集的一一對應關系.
3.掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式. 1.借助單位圓建立弧度制的概念，體會引入弧度制的必要性，重點提升學生的數學抽象素養.
2.應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式解決相關問題，重點提升數學運算素養.
新知探究
攝氏度與華氏溫度
“在一個標準大氣壓下，把冰水混合物的溫度定為零度，把沸水的溫度定為100度，它們之間分成100等份，每一等份是攝氏度的一個單位，叫做1攝氏度.”
攝氏度的發明者是安德斯·攝爾修斯(Anders Celsius 1701～1744)，其結冰點是0 ℃，沸點為100 ℃.1714年德國人法勒海特(Fahrenheit)以水銀為測溫介質，制成玻璃水銀溫度計，選取氯化銨和冰水的混合物的溫度為溫度計的零度.
人體溫度為溫度計的100度，把水銀溫度計從0度到100度按水銀的體積膨脹距離分成100份，每一份為1華氏度，記作“1 ?”.按照華氏溫標，則水的冰點為32 ?，沸點為212 ?.“華氏溫標”是經驗溫標之一.在美國的日常生活中，多采用這種溫標.規定在一大氣壓下水的冰點為32度，沸點為212度，兩個標準點之間分為180等份，每等份代表1度.華氏溫度用字母“F”表示.
攝氏溫度(℃)和華氏溫度(?)之間的換算關系為：
華氏度(?)＝32＋攝氏度(℃)×1.8，攝氏度(℃)＝(華氏度(?)－32)÷1.8.
問題　溫度可以用攝氏溫度與華氏溫度來表示，測量角除了角度外，是否還有其他單位？它是怎樣定義的？
提示　弧度，弧長等于半徑的弧所對的圓心角即為1弧度的角.
1.度量角的兩種單位制
在用弧度制表示角時，單位可以省略
度
弧度
半徑長
rad
2.弧度數
(1)正角：正角的弧度數是______.
(2)負角：負角的弧度數是______.
(3)零角：零角的弧度數是____.
(4)如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是
|α|＝______.
正數
負數
0
3.角度制與弧度制的換算
2π rad
360°
π rad
180°
4.扇形的弧長和面積公式
如圖：(1)則有l＝____________.
若r＝1，則有l＝________.
5.角與實數的關系
在弧度制下，角的集合與弧度數的集合之間建立起__________關系.
如圖所示：
|α|·r
|α|
一一對應
正實數
負角
基礎自測
[判斷題]
1.1弧度就是1°的圓心角所對的弧.( )
提示　1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角.
2.“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關.( )
4.扇形的半徑為1 cm，圓心角為30°，則扇形的弧長l＝r|α|＝1×30＝30(cm).( )
提示　扇形的弧長公式l＝|α|r，α的單位為弧度.
×
√
√
×
[基礎訓練]
1.下列命題中的假命題是(　　)
解析　根據1度、1弧度的定義可知只有D為假命題，故選D.
答案　D
2.將2 340°轉化為弧度為________.
答案　13π
4.若θ＝－5，則角θ的終邊在第________象限.
解析　2π－5與－5的終邊相同，
答案　一
[思考]
1.對于角度制和弧度制，在具體的應用中，兩者可混用嗎？如何書寫才是規范的？
2.角α的弧度數與α所在的圓的半徑有關嗎？
提示　α的弧度數由角α的大小唯一確立，而與其所在圓的大小(半徑)無關.
題型一　角度與弧度的互化及應用
【例1】　將下列角度與弧度進行互化：
題型二　用弧度制表示角的集合
【例2】　用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分內的角的集合(不包括邊界，如圖).
規律方法　根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟
(1)仔細觀察圖形.
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示.
(3)用不等式表示區域范圍內的角.
(4)按逆時針方向書寫.
【訓練2】　已知角α＝2 010°.
(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第幾象限角；
(2)在區間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角.
又－5π≤γ<0，
解　如圖所示，
根據題意可知，當⊙O1是扇形AOB內切圓時，廣場的占地面積最大，
設⊙O1與OA切于C點.連接O1O，O1C.
OO1＝OA－O1C＝300－O1C，
解得O1C＝100 m.
這時⊙O1的面積為π·1002＝10 000 π(m2).
規律方法　扇形弧長公式及面積公式的應用類問題的解決方法
首先，將角度轉化為弧度表示，弧度制的引入使相關的弧長公式、扇形面積公式均得到了簡化，所以解決這類問題時通常采用弧度制.一般地，在幾何圖形中研究的角，其范圍是(0，2π)，其次，利用α，l，R，S四個量“知二求二”代入公式.在求解的過程中要注意：
(1)看清角的度量制，選用相應的公式；
(2)扇形的周長等于弧長加兩個半徑長，對于扇形周長或面積的最值問題，通常轉化為某個函數的最值問題.
∴OD＝OA＋AD＝100＋20＝120，
一、課堂小結
1.通過本節課的學習，重點提升學生的數學抽象、數學運算素養.
2.本節課主要講述角度制與弧度制的互化和利用弧長公式、面積公式解決有關計算問題.
二、課堂檢測
1.下列各命題中，真命題是(　　)
A.1弧度就是1°的圓心角所對的弧
B.1弧度是長度等于半徑的弧
C.1弧度是1°的弧與1°的角之和
D.1弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角
解析　根據弧度制和角度制的規定可知A，B，C均錯誤，D正確.
答案　D
2.將－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
答案　D
4.中國扇文化有著深厚的文化底蘊，文人雅士喜在扇面上寫字作畫.如圖是書畫家唐寅(1 470—1 523)的一幅書法扇面，其尺寸如圖所示，則該扇面的面積為________cm2.
解析　如圖，設∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，
答案　704
5.已知一個扇形的周長為a，求當扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求這個最大值.
解　設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∵r>0，l＝a－2r>0，

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