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7.2.2　同角三角函數(shù)關(guān)系
7.2.2　同角三角函數(shù)關(guān)系
課標(biāo)要求 素養(yǎng)要求
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.
2.會(huì)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明. 通過同角三角函數(shù)式的應(yīng)用，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
新知探究
氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點(diǎn)：南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯的一場龍卷風(fēng).這就是理論界聞名的“蝴蝶效應(yīng)”，此效應(yīng)本意是說事物初始條件的微弱變化可能會(huì)引起結(jié)果的巨大變化.蝴蝶扇翅膀成為龍卷風(fēng)的導(dǎo)火索.從中我們還可以看出，南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來是毫不相干的兩種事物，卻會(huì)有這樣的聯(lián)系，這也正驗(yàn)證了哲學(xué)理論中事物是普遍聯(lián)系的觀點(diǎn).
蝴蝶效應(yīng)
問題　既然感覺毫不相干的事物都是相互聯(lián)系的，那么“同一個(gè)角”的三角函數(shù)一定會(huì)有非常密切的關(guān)系！到底是什么關(guān)系呢？
1.同角三角函數(shù)關(guān)系
cos2α
2.同角三角函數(shù)關(guān)系的變形
1－cos2α
1－sin2α
cos αtan α
基礎(chǔ)自測(cè)
[判斷題]
1.sin2α＋cos2β＝1.( )
提示　在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.
×
√
×
×
[基礎(chǔ)訓(xùn)練]
1.下列四個(gè)結(jié)論中可能成立的是(　　)
解析　根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，因?yàn)楫?dāng)α＝π時(shí)，sin α＝0且cos α＝－1，故B成立，而A，C，D都不成立.
答案　B
答案　B
答案　1
[思考]
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式對(duì)任意角都成立嗎？
2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中，“同角”的含義是什么？
提示　“同角”兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)式無關(guān)，如：sin23α＋cos23α＝1；sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1都成立.
3.若已知sin α±cos α＝m，你能求出sin α·cos α嗎？
提示　若sin α＋cos α＝m，
則sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝m2，
若sin α－cos α＝m，則sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝m2，
題型一　利用同角關(guān)系式求值
又sin2α＋cos2α＝1，②
又α是第三象限角，
【遷移2】　(變換結(jié)論)在例1的條件下，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值.
規(guī)律方法　(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解
(2)若沒有給出角α是第幾象限角，則應(yīng)分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能在的象限，再分類求解.
∴α是第二或第三象限角，
(1)當(dāng)α是第二象限角時(shí)，則
(2)當(dāng)α是第三象限角時(shí)，則
由上知θ為第二象限角，
所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ
規(guī)律方法　已知sin α±cos α，sin αcos α求值問題，一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解.涉及的三角恒等式有：
(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；
(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；
(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；
(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.
上述三角恒等式告訴我們，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一個(gè)，則另兩個(gè)式子的值均可求出.
【訓(xùn)練2】　在△ABC中，sin A＋cos A＝ .
(1)求sin Acos A的值；
(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形；
(3)求tan A的值.
題型三　利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡
【例3】　化簡：
規(guī)律方法　三角函數(shù)式的化簡技巧
(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化繁為簡的目的.
(2)對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡的目的.
(3)對(duì)于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡的目的.
題型四　利用同角三角關(guān)系式證明
所以等式成立.
所以等式成立.
規(guī)律方法　證明三角恒等式的思路
(1)從一邊開始證明它等于另一邊，遵循由繁到簡的原則；
(2)證明左右兩邊等于同一個(gè)式子；
(3)證明左邊減去右邊等于零或左、右兩邊之比等于1；
(4)證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立.
∴原等式成立.
一、課堂小結(jié)
答案　B
答案　B
答案　－1

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