資源簡介

(共33張PPT)
7.2.1　任意角的三角函數(shù)（第一課時）
課標要求 素養(yǎng)要求
1.借助圓理解任意角的三角函數(shù)定義.
2.能利用求值，判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內的符號. 通過對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)定義的理解和三角函數(shù)值在各象限內的符號的應用，重點提升學生的數(shù)學運算和邏輯推理素養(yǎng).
新知探究
如圖所示是光明游樂場的一個摩天輪示意圖，它的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2R，逆時針方向勻速運動，轉動一周需要360秒.
問題　(1)若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)，過了30秒后，你離地面的高度h為多少？過了45秒呢？過了t秒呢？
(2)如圖所示建立直角坐標系，設點P(xP，yP)，你能用直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角α的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其他函數(shù)(余弦、正切)？改變終邊上的點的位置，這三個比值會改變嗎？
45秒時h＝h0＋Rsin 45°，t秒時h＝h0＋Rsin t°.
1.任意角的三角函數(shù)的定義
sin α
2.三角函數(shù)
cos α
tan α
正弦
余弦
正切
3.三角函數(shù)值在各象限的符號
口訣概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如圖).
基礎自測
[判斷]
1.角的三角函數(shù)值隨終邊上點的位置變化而變化.( )
提示　角的三角函數(shù)值與點在終邊上的位置無關.
3.終邊在x軸上的角的正切值不存在.( )
提示　終邊在y軸上的角的正切值不存在.
4.若sin α·cos α>0，則角α為第一象限角.( )
提示　sin α·cos α>0，則sin α，cos α同號，則α為第一、三象限角.
5.sin α>0，則α為第一、二象限角.( )
提示　α的終邊位于第一、二象限或y軸正半軸.
×
√
×
×
×
[基礎訓練]
答案　負
3.已知角α的終邊經(jīng)過點(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________.
[思考]
1.三角函數(shù)值的大小與點P在角α終邊上的位置是否有關？
提示　三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，沒有單位，這個實數(shù)大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關，而僅由角α的終邊位置所決定.對于確定的角α，其終邊的位置也唯一確定了，就是說，三角函數(shù)值的大小僅與角有關，它是角的函數(shù).
2.若兩個角α，β的正弦值相等，那么α＝β嗎？
提示　不一定相等，α，β可能相等，也可能為終邊相同的角，還可能終邊關于y軸對稱.
3.三角函數(shù)值在各象限的符號由什么決定？
題型一　利用角α的終邊上任意一點的坐標求三角函數(shù)值
【例1】　已知角α的終邊過點P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限.
②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限，
答案　－1
題型二　求特殊角的三角函數(shù)值
規(guī)律方法　在單位圓中找到角的終邊與單位圓的交點的坐標.然后利用定義，即可得到特殊角的三角函數(shù)值.
【訓練2】　對于表中的角α，計算sin α、cos α、tan α的值，并填寫下表.
題型三　三角函數(shù)值在各象限的符號
【例3】　(1)若角θ同時滿足sin θ<0且tan θ<0，則角θ的終邊一定位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)判斷下列各式的符號：
①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4.
(1)解析　由sin θ<0，可知θ的終邊可能位于第三象限或第四象限，也可能與y軸的負半軸重合.由tan θ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，故θ的終邊只能位于第四象限.故選D.
答案　D
(2)解　①因為191°是第三象限角；
所以tan 191°>0，cos 191°<0.
所以tan 191°－cos 191°>0.
②因為2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角.
所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0.
所以sin 2·cos 3·tan 4<0.
【訓練3】　判斷下列三角函數(shù)值的符號：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
∴3，4，5分別在第二、三、四象限，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
一、課堂小結
1.通過本節(jié)課的學習，重點提升數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng).
2.正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或比值為函數(shù)值的函數(shù).
3.角α的三角函數(shù)值的符號只與角α所在象限有關，角α所在象限確定，則三角函數(shù)值的符號一定確定，規(guī)律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
二、課堂檢測
1.若角α的終邊上一點的坐標為(1，－1)，則cos α為(　　)
答案　C
2.若三角形的兩內角α，β滿足sin αcos β<0，則此三角形必為(　　)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.以上三種情況都可能
解析　∵α、β為三角形的內角，所以0<α，β<π，∴sin α>0，∴cos β<0，∴β為鈍角.
即三角形為鈍角三角形.故選B.
答案　B
3.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－7，a＋4)，且sin α≥0，cos α<0，則實數(shù)a的取值范圍是________.
4.已知點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α的終邊在第________象限.
解析　因為點P(tan α，cos α)在第三象限，則tan α<0且cos α<0，故角α的終邊在第二象限.
答案　二
解　設角α的終邊與單位圓的交點為P(x，y)，

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