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7.3.2三角函數的圖像與性質（第二課時）正、余弦函數的圖象與性質(二)
課標要求 素養要求
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值與最小值，并會求簡單三角函數的值域和最值.
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的單調性，并能利用單調性比較大小.
3.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調區間. 借助y＝sin x與y＝cos x的圖象，理清單調區間和取得最值的條件，構建直觀模型，重點提升學生的直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學運算素養.
新知探究
過山車是一項富有刺激性的娛樂工具.那種風馳電掣、有驚無險的快感令不少人著迷.過山車的運動包含了許多物理學原理，人們在設計過山車時巧妙地運用了這些原理.如果能親身體驗一下由能量守恒、加速度和力交織在一起產生的效果，那感覺真是妙不可言.一個基本的過山車構造中，包含了爬升、滑落、倒轉(兒童過山車沒有倒轉)，幾個循環路徑.
問題　(1)函數y＝sin x與y＝cos x也像過山車一樣“爬升”，“滑落”，這是y＝sin x，y＝cos x的哪些性質？
(2)過山車爬升到最高點，然后滑落到最低點，然后再爬升，對應y＝sin x，y＝cos x的哪些性質？y＝sin x，y＝cos x在什么位置取得最大(小)值？
提示　(1)單調性.　(2)最值，波峰和波谷.
正弦函數、余弦函數的圖象和性質(表中k∈Z)
正弦函數 余弦函數
圖象
[－1，1]
[－1，1]
[－π＋2kπ，2kπ]
[2kπ，π＋2kπ]
2kπ
π＋2kπ
基礎自測
[判斷題]
1.正弦函數、余弦函數在定義域內是單調函數.( )
提示　正弦函數、余弦函數在定義域內不單調.
提示　余弦函數最大值為1.
3.余弦函數y＝cos x在[0，π]上是減函數.( )
×
×
√
[基礎訓練]
答案　[1，3]
2.函數y＝2－sin x取得最大值時x的值為________.
3.比較sin 250°與sin 260°的大小.
解　∵sin 250°＝sin (180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin (180°＋80°)＝－sin 80°，而sin 70°－sin 80°.∴sin 250°>sin 260°.
[思考]
2.正弦函數y＝sin x是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.
(1)除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是多少？
(2)正弦函數是軸對稱圖形嗎？如果是，對稱軸的方程是什么？
(3)余弦函數y＝cos x呢？有以上的性質嗎？
提示　(1)y＝sin x還有其他對稱中心，它們為點(kπ，0)(k∈Z).
(3)y＝cos x既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.
題型一　求正弦、余弦函數的單調區間
要求y＝－2sin z的單調遞增區間，即求sin z的單調遞減區間，
規律方法　用整體替換法求函數y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的單調區間時，如果式子中x的系數為負數，先利用誘導公式將x的系數變為正數再求其單調區間.求單調區間時，需將最終結果寫成區間形式.
題型二　利用正弦、余弦函數的單調性比較大小
【例2】　利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小.
規律方法　用正弦函數或余弦函數的單調性比較大小時，應先將異名化同名，把不在同一單調區間內的角用誘導公式轉化到同一單調區間，再利用單調性來比較大小.
【訓練2】　比較下列各組數的大小：
題型三　正弦、余弦函數的最值(值域)問題
【例3】　求下列函數的值域：
(2)y＝cos2x－4cos x＋5，令t＝cos x，則－1≤t≤1.
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，當t＝－1，函數取得最大值10；
t＝1時，函數取得最小值2，所以函數的值域為[2，10].
規律方法　求三角函數值域或最值的常用方法
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函數，令t＝ωx＋φ，根據題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數的單調性求出y＝sin t的最值(值域).
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函數，可先設t＝sin x，將函數y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化為關于t的二次函數y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根據二次函數的單調性求值域(最值).
(3)對于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函數的最值還要注意對a的討論.
解　∵y＝a－bcos x(b>0)，
∴y＝－4acos bx＝－2cos x，
所以函數y＝－4acos bx的最大值為2，最小值為－2，最小正周期為2π.
一、課堂小結
3.比較三角函數值的大小，先利用誘導公式把問題轉化為同一單調區間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單調性作出判斷.
4.求三角函數值域或最值的常用方法：
將y表示成以sin x(或cos x)為元的一次或二次等復合函數，再利用換元或配方或利用函數的單調性等來確定y的范圍.
通過上述問題，不斷提高學生的數學運算、邏輯推理的素養.
二、課堂檢測
A.[－2，2] B.[0，2]
C.[－2，0] D.[－1，1]
答案　A
2.下列關系式中正確的是(　　)
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°解析　因為sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，由正弦函數的單調性得sin 11°答案　C

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