資源簡(jiǎn)介

(共37張PPT)
7.2.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（第一課時(shí)）誘導(dǎo)公式一、二、三、四
課標(biāo)要求 素養(yǎng)要求
1.了解三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的意義與作用.
2.理解誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過(guò)程.
3.能運(yùn)用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)和證明問(wèn)題. 借助單位圓的對(duì)稱性，利用定義推導(dǎo)誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)提升學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
新知探究
南京眼和遼寧的生命之環(huán)均利用完美的對(duì)稱展現(xiàn)自己的和諧之美.而三角函數(shù)與(單位)圓是緊密聯(lián)系的，它的基本性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的代數(shù)表示，例如，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表明了圓中的某些線段之間的關(guān)系.圓有很好的對(duì)稱性：以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；以任意直徑所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.
問(wèn)題　(1)你能否利用這種對(duì)稱性，借助單位圓，討論任意角α的終邊與π±α，
－α有什么樣的對(duì)稱關(guān)系？
(2)根據(jù)上述的對(duì)稱性，sin(π＋α)、sin(π－α)、sin(－α)與sin α有什么關(guān)系呢？
提示　(1)π＋α的終邊與α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；π－α的終邊與α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱；－α的終邊與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.
(2)根據(jù)對(duì)稱性可知sin(π＋α)＝－sin α；sin(π－α)＝sin α；sin(－α)＝－sin α.
1.誘導(dǎo)公式一
終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.
sin(α＋2kπ)＝______ (k∈Z)，
cos(α＋2kπ)＝cos α(k∈Z)，
tan(α＋2kπ)＝tan α(k∈Z).
sin α
2.誘導(dǎo)公式二
終邊關(guān)系 圖示
角－α與角α的終邊關(guān)于______對(duì)稱
公式 sin(－α)＝_________，cos(－α)＝______________，tan(－α)＝________________
x軸
－sin α
cos α
－tan α
3.誘導(dǎo)公式三
終邊關(guān)系 圖示
角π－α與角α的終邊關(guān)于______
對(duì)稱
公式 sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝_________，tan(π－α)＝________
y軸
sin α
－cos α
－tan α
4.誘導(dǎo)公式四
終邊關(guān)系 圖示
角π＋α與角α的終邊關(guān)于______
對(duì)稱
公式 sin(π＋α)＝_______，cos(π＋α)＝_________，tan(π＋α)＝_______
原點(diǎn)
－sin α
－cos α
tan α
基礎(chǔ)自測(cè)
[判斷題]
1.誘導(dǎo)公式中角α是任意角.( )
提示　正、余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，α為任意角，但是正切函數(shù)的誘導(dǎo)公式中，α的取值必須使公式中角的正切值有意義.
2.sin(α－π)＝sin α.( )
提示　sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α.
×
×
√
4.sin(180°－200°)＝－sin 200°.( )
提示　sin(180°－200°)＝sin 200°.
5.若α，β滿足α＋β＝π，則sin α＝sin β.( )
×
√
[基礎(chǔ)訓(xùn)練]
1.下列式子中正確的是(　　)
A.sin(π－α)＝－sin α B.cos(π＋α)＝cos α
C.cos α＝sin α D.sin(2π＋α)＝sin α
解析　對(duì)于A，sin(π－α)＝sin α，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，cos(π＋α)＝－cos α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，sin α不一定等于cos α，故C錯(cuò)誤.
答案　D
2.化簡(jiǎn)cos(3π－α)＝(　　)
A.cos α B.－cos α
C.sin α D.－sin α
解析　cos (3π－α)＝cos [2π＋(π－α)]＝cos (π－α)＝－cos α.
答案　B
3.計(jì)算：sin 210°＝(　　)
答案　D
4.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，并填在題中橫線上.
(1)sin (1＋π)＝________.
(2)cos 210°＝________.
解析　(1)sin(1＋π)＝－sin 1.
(2)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°.
[思考]
1.由公式二、三你能推導(dǎo)公式四嗎？
提示　由公式二、三能推導(dǎo)公式四.如：
sin(π＋α)＝sin[π－(－α)]＝sin(－α)＝－sin α.
2.公式一、二、三、四有什么共同點(diǎn)嗎？有什么統(tǒng)一記憶方法嗎？
提示　公式一、二、三、四的函數(shù)名稱均沒(méi)有改變.
簡(jiǎn)記為：“函數(shù)名不變、符號(hào)看象限”.
題型一　利用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值
【例1】　(1)sin 750°＝________；cos(－2 040°)＝________；
規(guī)律方法　利用誘導(dǎo)公式求任意角三角函數(shù)值的步驟
(1)“負(fù)化正”：用公式一或三來(lái)轉(zhuǎn)化.
(2)“大化小”：用公式一將角化為0°到360°間的角.
(3)“小化銳”：用公式二或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角.
(4)“銳求值”：得到銳角的三角函數(shù)后求值.
解　(1)法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
題型二　利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題
【例2】　化簡(jiǎn)下列各式：
規(guī)律方法　三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法
(1)合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).
(2)切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).
【訓(xùn)練2】　化簡(jiǎn)下列各式：
(2)原式＝－sin α·cos α＋sin(－α)(－cos α)＋
sin α(－cos α)(－tan α)
＝－sin α·cos α＋sin α·cos α＋sin α·cos α·tan α
題型三　給值(或式)求值問(wèn)題
【遷移1】　(變換條件)將例3題中的“－”改為“＋”，“＋”改為“－”，其他不變，應(yīng)如何解答？
規(guī)律方法　解決條件求值問(wèn)題的策略
(1)解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.
(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.
一、課堂小結(jié)
1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
2.利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)(計(jì)算)的步驟：
負(fù)化正―→大化小―→化成銳角再查表
3.誘導(dǎo)公式的記憶
這四組誘導(dǎo)公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”.其含義是誘導(dǎo)公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號(hào)則是將α看成銳角時(shí)原角所在象限的三角函數(shù)值的符號(hào).α看成銳角，只是公式記憶的方便.
答案　C
答案　B
3.已知600°角的終邊上有一點(diǎn)P(a，－3)，則a的值為_(kāi)_______.
4.函數(shù)f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)是________函數(shù)(填“奇”“偶”).
解析　∵f(x)＝x＋sin(π＋x)cos(π－x)
＝x＋(－sin x)·(－cos x)
＝x＋sin x·cos x，
∴f(－x)＝－x＋sin(－x)cos(－x)＝－x－sin x·cos x＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù).
答案　奇

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