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7.3.3函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(第二課時)
課標要求 素養(yǎng)要求
1.能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象確定其解析式.
2.整體把握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質，并能解決有關問題. 通過函數(shù)圖象抽象出數(shù)學模型，并能研究函數(shù)的性質，逐步提升學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模素養(yǎng).
新知探究
在物理和工程技術的許多問題中，經(jīng)常會遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)(其中A，ω，φ為常數(shù))，例如，在簡諧振動中位移與時間的函數(shù)關系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)，其中振子在一段時間內的圖象如圖所示.
問題　(1)你能根據(jù)圖象求出A，ω，φ嗎？
(2)根據(jù)圖象你能寫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間嗎？
(3)圖象對應函數(shù)的對稱中心坐標和對稱軸方程分別是什么？
(2)遞減區(qū)間為[2k，2k＋1](k∈Z)，
遞增區(qū)間為[2k＋1，2k＋2](k∈Z).
函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有關性質
R
[－A，A]
kπ
單調遞增
單調遞減
基礎自測
[判斷題]
1.y＝Asin(ωx＋φ)的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.( )
2.在y＝Asin(ωx＋φ)的圖象中，相鄰的兩條對稱軸的距離為1個周期.( )
提示　相鄰對稱軸間距離為半個周期.
√
×
√
×
[基礎訓練]
答案　π
答案　2
[思考]
1.如何由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象確定A，ω，φ的值？
2.如何求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間、對稱軸和中心呢？
提示　一般將ωx＋φ看作一個整體，然后借助正弦函數(shù)的性質求解.
求單調區(qū)間時，若ω<0，則需利用誘導公式化為正值，求最值時，應先確定ωx＋φ的范圍，再結合圖象求解.
題型一　由圖象求三角函數(shù)的解析式
解　法一(逐一定參法)
法二(待定系數(shù)法)
法三　(圖象變換法)
規(guī)律方法　已知圖象求y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
法一：如果從圖象可確定最值和周期，則可直接確定函數(shù)表達式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)中的參數(shù)A和ω，再選取“第一個零點”(即五點作圖法中的第一個)的數(shù)據(jù)代入“ωx＋φ＝0”(要注意正確判斷哪一個點是“第一零點”)求得φ.
法二：通過若干特殊點代入函數(shù)式，可以求得相關待定系數(shù)A，ω，φ.這里需要注意的是，要認清所選擇的點屬于五個點中的哪一點，并能正確代入列式.
法三：運用逆向思維的方法，先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)＝Asin ωx，根據(jù)圖象平移規(guī)律可以確定相關的參數(shù).
【訓練1】　若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分圖象如圖，則(　　)
答案　C
題型二　y＝Asin(ωx＋φ)性質的應用
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)在[0，2π]上的單調遞增區(qū)間.
方案一：選條件①
方案二：選條件②
方案三：選條件③
規(guī)律方法　研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質的兩種方法
(1)客觀題可用驗證法：x＝θ為對稱軸，則f(θ)＝±A；若(θ，0)為對稱中心，則f(θ)＝0；若[m，n]為函數(shù)單調區(qū)間，則[ωm＋φ，ωn＋φ]為y＝sin x單調區(qū)間的子區(qū)間.
(2)主觀題主要利用整體代換法，令ωx＋φ＝t，則原問題轉化為研究y＝Asin t的性質.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的對稱中心；
(2)當x∈[0，4]時，求f(x)的值域.
由圖象可知函數(shù)f(x)經(jīng)過點(1，2)，
一、課堂小結
二、課堂檢測
答案　A
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
答案　D
3.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖所示，則ω＝________.
(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的最小值及f(x)取到最小值時自變量x的集合.
滿分示范
解　(1)由題意作出f(x)的簡圖如圖.
2.此類問題要求較強的邏輯推理能力和運算能力，解答時應注意規(guī)范性，防止不必要的失分.

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