資源簡介

(共32張PPT)
7.4　三角函數應用
課標要求 素養要求
1.會用三角函數解決簡單的實際問題.
2.體會可以利用三角函數構建刻畫事物周期變化的數學模型. 通過實際問題，構建三角函數數學模型，重點提升學生的數學抽象、數學運算和數學建模素養.
新知探究
溫州市區著名景點——江心嶼，江心嶼上面有座寺廟——江心寺，在江心寺中題了一副非常知名的對聯.上聯是：云朝朝　朝朝朝　朝朝朝散；下聯是：潮長長　長長長　長長長消.該對聯巧妙地運用了疊字詩展現了甌江潮水漲落的壯闊畫面.下面是甌江江心嶼碼頭在某年某個季節每天的時間與水深的關系表：
江心嶼
問題　(1)仔細觀察表格中的數據，你能從中得到一些什么信息？
(2)以時間為橫坐標，水深為縱坐標建立平面直角坐標系，將上面表格中的數據對應點描在直角坐標系中，你能得到什么結論？
提示　(1)水深隨時間的變化呈周期變化.
(2)若用平滑的曲線連結各點，則大致呈正弦曲線.
時間 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24
水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5
簡諧運動(單擺、彈簧振子等)是一種周期運動，其運動規律可以用三角函數表達為y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示______，y表示相對于__________的偏離；
①A表示物體運動時離開平衡位置的最大距離，稱為______；
時間
平衡位置
振幅
周期
頻率
相位
初相
基礎自測
[判斷題]
1.函數y＝Asin(ωx＋φ)x∈R的最大值為A.( )
提示　當A>0時，ymax＝A；當A<0時，ymax＝－A.
2.函數y＝Asin(ωx－φ)的初相為φ.( )
提示　初相為－φ.
×
×
√
[基礎訓練]
答案　2.5
答案　3πx－π
答案　1
1.現實世界中的周期現象可以用哪種數學模型描述？
提示　三角函數模型.
2.在簡諧運動中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相，振幅、周期分別為多少？
[思考]
③小球來回擺動一次需要多少時間？
列表：
描點畫圖：
(2)①小球開始擺動(t＝0)，離開平衡位置為3 厘米.
②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6 厘米.
③小球來回擺動一次需要1 秒(即周期).
【訓練1】　已知電流I與時間t的關系為I＝Asin(ωt＋φ).
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整數ω＝943.
題型二　三角函數模型在生活中的應用
【例2】　如圖，游樂場中的摩天輪勻速旋轉，每轉一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米.如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時.請解答下列問題.
(1)求出你與地面的距離y與時間t之間的函數解析式；
(2)當你第四次距離地面60.5米時，用了多長時間？
(3)當你登上摩天輪2分鐘后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，問：你的朋友登上摩天輪多長時間后，你和你的朋友與地面的距離之差最大？并求出最大值.
解　(1)可以用余弦型函數來表示該函數解析式，
由已知可設y＝40.5－40cos ωt(t≥0)，
由周期為12分鐘可知，當t＝6分鐘時到達最高點，
即函數取得最大值，
故80.5＝40.5－40cos 6ω，即得cos 6ω＝－1，
解得t＝4＋12k，k∈Z或t＝8＋12k，k∈Z，
又∵t≥0，故第四次距離地面60.5米時，用了12＋8＝20(分鐘).
(3)與地面的距離之差最大，此時你必須在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再過2分鐘后，你恰好在你的朋友的正上方；再過半個周期時，恰相反，故過(6k＋2)(k∈N)分鐘后，你和你的朋友與地面的距離之差最大，最大值為40米.
規律方法　解決三角函數的實際應用問題必須按照一般應用題的解題步驟執行：(1)認真審題，理清問題中的已知條件與所求結論.(2)建立三角函數模型，將實際問題數學化.(3)利用三角函數的有關知識解決關于三角函數的問題，求得數學模型的解.(4)根據實際問題的意義，得出實際問題的解.(5)將所得結論返回、轉譯成實際問題的答案.
一、課堂小結
1.通過本節課的學習，重點提升學生的數學抽象、數學運算、數學建模素養.
2.三角函數模型構建的步驟：
(1)收集數據，觀察數據，發現是否具有周期性的重復現象.
(2)制作散點圖，選擇函數模型進行擬合.
(3)利用三角函數模型解決實際問題.
(4)根據問題的實際意義，對答案的合理性進行檢驗.
二、課堂檢測
答案　A
答案　B
答案　50
5.如圖，某動物種群數量1月1日(t＝0時)低至700，7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化.
(1)求出種群數量y關于時間t的函數表達式(其中t以年初以來的月為計量單位)；
(2)估計當年3月1日動物種群數量.
解　(1)設種群數量y關于t的解析式為y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)，
解得A＝100，b＝800.
又當t＝6時，y＝900，
∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，
(2)當t＝2時，
即當年3月1日動物種群數量約是750.

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