資源簡介

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8.1二分法與求方程近似解
（第一課時）函數的零點
課標要求 素養要求
1.結合學過的函數圖象與性質，了解函數零點與方程解的關系.
2.了解零點存在性定理、會判斷函數零點的個數. 通過本節內容的學習，使學生體會轉化思想在研究函數中的作用，提升學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象素養.
新知探究
路邊有一條河，小明從A點走到了B點.觀察下列兩組畫面，并推斷哪一組能說明小明的行程一定曾渡過河？
將這個實際問題抽象成數學模型.
問題　如圖，若將河看成x軸，建立平面直角坐標系，A，B是人的起點和終點，則點A，B應該滿足什么條件就能說明小明的行程一定曾渡過河？
提示　只要滿足點A與點B分布在x軸的兩側即可，即圖中A處的函數值與B處的函數值符號相反，這也是我們將要學習的零點的相關知識.
1.函數的零點
注意零點不是點，而是一個實數
(1)概念：一般地，我們把使函數y＝f(x)的值為____的實數x稱為函數y＝f(x)的零點.
(2)函數的零點、函數的圖象與x軸的交點、對應方程根的關系.
0
f(x)＝0
橫坐標
2.零點存在性定理
一般地，若函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且___________，則函數y＝f(x)在區間(a，b)上有零點.
f(a)·f(b)<0
基礎自測
[判斷題]
2.若函數f(x)在(a，b)內有零點，則f(a)f(b)<0.( )
提示　反例：f(x)＝x2－2x在區間(－1，3)內有零點，但f(－1)·f(3)>0.
×
×
3.若函數f(x)的圖象在區間[a，b]上是一條連續不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)內只有一個零點.( )
提示　反例：f(x)＝x(x－1)(x－2)，區間為(－1，3)，滿足條件，但f(x)在(－1，3)內有0，1，2三個零點.
4.若函數y＝f(x)在[a，b]上圖象連續，且f(a)f(b)>0，則y＝f(x)在(a，b)內一定沒有零點.( )
提示　不正確，如函數f(x)＝x2在[－1，1]上有零點為0.
×
×
[基礎訓練]
1.下列各圖象表示的函數中沒有零點的是(　　)
解析　D中函數的圖象與x軸無交點，故函數無零點，故選D.
答案　D
2.二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，則函數的零點個數是(　　)
A.1個 B.2個
C.0個 D.無法確定
解析　∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0有兩個根，故函數有兩個零點.
答案　B
A.(－1，0) B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝0
答案　B
答案　B
[思考]
提示　f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是連續的，不能用零點存在定理判定.
事實上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)無零點.
2.若函數y＝f(x)不滿足零點存在定理的兩個條件，這個函數可能有零點嗎？
提示　可能有零點，也可能沒有零點.
3.在零點存在定理中，若f(a)·f(b)<0，則函數f(x)在(a，b)內存在零點.則滿足什么條件時f(x)在(a，b)上有唯一零點？
提示　滿足f(x)在(a，b)內連續且單調，且f(a)·f(b)<0.
題型一　求函數的零點
【例1】　(1)函數f(x)＝x2－2x－3的零點為________.
(2)若x＝2是f(x)＝x2－mx－3的一個零點，則m的值為________.
解析　(1)令x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1，
∴f(x)＝x2－2x－3的零點為3，－1.
(2)由題意知f(2)＝4－2m－3＝0，
【遷移】　(變換結論)(1)函數f(x)＝x2－mx＋3在R上有兩個不同的零點，則m的取值范圍為________.
(2)函數f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零點，則m的取值范圍為________.
解析　(1)函數f(x)＝x2－mx＋3在R上有兩個不同的零點，等價于方程x2－mx＋3＝0有兩個不等實根.
(2)法一　f(x)＝x2－mx－3在(1，2)上有唯一的零點，
則x2－mx－3＝0在(1，2)上有唯一的實數根，
法二　∵f(x)＝x2－mx－3是開口向上的拋物線且f(0)＝－3.
規律方法　探究函數零點的兩種求法
(1)代數法：求方程f(x)＝0的實數根，若存在實數根，則函數存在零點，否則函數不存在零點.
(2)幾何法：與函數y＝f(x)的圖象聯系起來，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數的零點.
【訓練1】　(1)函數f(x)＝ax＋b有一個零點是2，那么函數g(x)＝bx2－ax的零點是________.
(2)函數f(x)＝(lg x)2－lg x的零點為________.
解析　(1)∵函數f(x)＝ax＋b有一個零點是2，
∴2a＋b＝0 b＝－2a，
∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
題型二　判斷或證明函數零點的存在性
【例2】　求證：函數f(x)＝x3－3x＋2至少有一個零點.
證明　法一　∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，
∴f(x)有兩個零點為－2，1.故f(x)至少有一個零點.
法二　由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)圖象在[－3，0]上是一條連續曲線，∴由函數零點存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一個零點.
規律方法　1.若函數的零點易求，可直接求出零點，否則利用函數零點存在定理判斷.
2.利用函數零點存在定理時，關鍵在于找準區間，且只能判定在區間上零點的存在性，但需注意，不滿足定理的條件，也可能存在零點，另外要判定有幾個零點，需結合函數的性質或圖象進行判定.
【訓練2】　證明：函數f(x)＝2x＋x在R上有零點.
f(0)＝20＋0＝1>0，
且函數f(x)在R上的圖象是不間斷的，所以函數f(x)在(－1，0)上有零點，
從而f(x)＝2x＋x在R上有零點.
題型三　函數零點個數問題
【例3】　求函數f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點個數.
解　法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0，1)上必定存在零點.又顯然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上為增函數.
故函數f(x)有且只有一個零點.
法二　在同一坐標系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草圖.
由圖象知g(x)＝lg(x＋1)的圖象和h(x)＝2－2x圖象有且只有一個交點，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一個零點.
規律方法　判斷函數零點個數的四種常用方法
(1)利用方程根，轉化為解方程，有幾個不同的實數根就有幾個零點.
(2)畫出函數y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點個數，從而判定零點的個數.
(3)結合單調性，利用零點存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零點的個數.
(4)轉化成兩個函數圖象的交點問題.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
題型四　判斷函數零點所在的區間
【例4】　(1)二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的部分對應值如下表：
不求a，b，c的值，判斷方程ax2＋bx＋c＝0的兩根所在區間是(　　)
A.(－3，－1)和(2，4)
B.(－3，－1)和(－1，1)
C.(－1，1)和(1，2)
D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
答案　(1)A　(2)C
解析　(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象是一條連續不斷的曲線，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)內有零點，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)內有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)內有根.故選A.
規律方法　確定函數f(x)零點所在區間的常用方法
(1)解方程法：當對應方程f(x)＝0易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上.
(2)利用函數零點存在定理：首先看函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，則函數y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點.
(3)數形結合法：通過畫函數圖象，觀察圖象與x軸在給定區間上是否有交點來判斷.
【訓練4】　根據表格中的數據，可以斷定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一個根所在的區間是(　　)
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，則f(－1)≈0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)≈2.72－3<0，f(2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一根在(1，2)內.
答案　C
一、課堂小結
1.通過學習函數零點與方程根的關系培養數學抽象素養，通過學習零點存在定理判斷零點的個數及判斷零點所在區間提升邏輯推理、直觀想象素養.
2.在函數零點存在定理中，要注意三點：(1)函數是不間斷的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一個零點.
3.方程f(x)＝g(x)的根是函數f(x)與g(x)的圖象交點的橫坐標，也是函數y＝f(x)－g(x)的圖象與x軸交點的橫坐標.
4.函數與方程有著密切的聯系，有些方程問題可以轉化為函數問題求解，同樣，函數問題有時可以轉化為方程問題，這正是函數與方程思想的基礎.
二、課堂檢測
1.函數f(x)＝4x－2x－2的零點是(　　)
解析　由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.
答案　B
答案　B
3.若函數f(x)＝mx－1在(0，1)內有零點，則實數m的取值范圍是________.
解析　f(0)＝－1，要使函數f(x)＝mx－1在(0，1)內有零點，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
答案　(1，＋∞)
4.已知函數f(x)＝2x－3x，則函數f(x)的零點個數是________.
解析　法一　令f(x)＝0，則2x＝3x，在同一坐標系中分別作出y＝2x和y＝3x的圖象(圖略)，由圖知函數y＝2x和y＝3x的圖象有2個交點，所以函數f(x)的零點個數為2.
法二　因為f(0)>0，f(1)<0，f(2)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以f(x)有2個零點，分別在區間(0，1)和(3，4)上.
答案　2
5.已知函數f(x)＝x2－x－2a.
(1)若a＝1，求函數f(x)的零點；
(2)若f(x)有零點，求實數a的取值范圍.
解　(1)當a＝1時，f(x)＝x2－x－2.
令f(x)＝x2－x－2＝0，得x＝－1或x＝2，
即函數f(x)的零點為－1和2.

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