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(共35張PPT)
8.1二分法與求方程近似解（第二課時(shí)）用二分法求方程的近似解
課標(biāo)要求 素養(yǎng)要求
1.探索用二分法求方程近似解的思路.
2.能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解. 通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會“逐步逼近”的方法，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
新知探究
在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障，這是一條10 km長的路線，如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多.每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子，10 km長的線路大約有200多根電線桿子.
可是維修線路的工人師傅只要至多爬7次電線桿子就能把故障排除了，你知道他是如何做到的嗎？
如圖所示，他首先從中點(diǎn)C查，用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時(shí)，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，則可斷定故障在BC段，再到BC段中點(diǎn)D，這次若發(fā)現(xiàn)BD段正常，則故障在CD段，再到CD中點(diǎn)E來查.
每查一次，可以把待查的線段縮減一半，要把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50～100 m左右，即一兩根電線桿附近，只要7次就夠了.
問題　(1)上述情景中，工人師傅是通過什么方法縮小故障范圍的？
(2)工人師傅選擇下次在哪個(gè)范圍內(nèi)爬電線桿子的關(guān)鍵是什么？
(3)如果把故障可能發(fā)生的范圍縮小在200 m左右，至多需要爬幾次電線桿子？
提示　(1)二分法.　(2)確立故障的范圍.　(3)6次.
1.二分法是求一元方程__________的常用方法；運(yùn)用二分法的前提是要先判斷某解所在的________.
近似解
區(qū)間
2.用二分法求方程的一個(gè)近似解的操作流程是：
在上述操作過程中如果存在c，使得f(c)＝0，那么c就是方程f(x)＝0的一個(gè)精確解.
基礎(chǔ)自測
[判斷題]
1.二分法所求出的方程的解都是近似解.( )
提示　如函數(shù)f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精確解.
2.函數(shù)f(x)＝|x|可以用二分法求零點(diǎn).( )
提示　對于函數(shù)f(x)＝|x|，不存在區(qū)間(a，b)，使f(a)·f(b)<0，所以不能用二分法求其零點(diǎn).
3.用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值時(shí)，每次等分區(qū)間后，零點(diǎn)必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi).( )
提示　函數(shù)的零點(diǎn)也可能是區(qū)間的中點(diǎn)或在左側(cè)區(qū)間內(nèi).
4.二分法可求所有函數(shù)的近似零點(diǎn).( )
提示　當(dāng)零點(diǎn)左右兩側(cè)附近函數(shù)值同號時(shí)，不能用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn).
×
×
×
×
[基礎(chǔ)訓(xùn)練]
1.二分法求函數(shù)的零點(diǎn)的近似值適合于(　　)
A.零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值異號的函數(shù)
B.零點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)值同號的函數(shù)
C.所有函數(shù)都適合
D.所有函數(shù)都不適合
解析　由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知選A.
答案　A
2.下列圖象表示的函數(shù)能用二分法求零點(diǎn)的是(　　)
解析　對于A，圖象與x軸無交點(diǎn)，不存在零點(diǎn)；對于B，圖象與x軸有公共點(diǎn)，但零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值同號，不能用二分法求零點(diǎn)；對于C，函數(shù)零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值異號，可用二分法求零點(diǎn)；對于D，零點(diǎn)兩邊的函數(shù)值同號，不能用二分法求零點(diǎn).故選C.
答案　C
3.用二分法求函數(shù)f(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，則函數(shù)的一個(gè)精確到0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為(　　)
A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4
解析　由題意可知函數(shù)的零點(diǎn)在(0.68，0.72)內(nèi)，四個(gè)選項(xiàng)中只有0.7，故選B.
答案　B
[思考]
1.用二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)應(yīng)滿足哪些條件？
提示　前提條件：
(1)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷.
(2)在區(qū)間[a，b]端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)·f(b)<0.
2.二分法的解題原理是什么？
提示　函數(shù)零點(diǎn)存在定理.
3.已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，采用什么方法能進(jìn)一步有效縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間？
提示　可采用“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的區(qū)間.
題型一　二分法概念的理解
【例1】　(1)下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是(　　)
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1，3)內(nèi)的根，取區(qū)間的中點(diǎn)為x0＝2，那么下一個(gè)有根的區(qū)間是________.
解析　(1)觀察圖象與x軸的交點(diǎn)，若交點(diǎn)附近的函數(shù)圖象連續(xù)，且在交點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值符號相異，則可用二分法求零點(diǎn)，而B不能用二分法求零點(diǎn).
(2)設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是(1，2).
答案　(1)B　(2)(1，2)
規(guī)律方法　運(yùn)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)具備的條件
(1)函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)不斷.
(2)在該零點(diǎn)左右函數(shù)值異號.
只有滿足上述兩個(gè)條件，才可用二分法求函數(shù)零點(diǎn).
【訓(xùn)練1】　已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為(　　)
A.4，4 　　　　B.3，4 C.5，4　　 D.4，3
解析　圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；左、右函數(shù)值異號的有3個(gè)零點(diǎn)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3.
答案　D
題型二　用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)
【例2】　用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)(精確到0.1).
解　經(jīng)計(jì)算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數(shù)在[1，1.5]內(nèi)存在零點(diǎn)x0.
取區(qū)間(1，1.5)的中點(diǎn)x1＝1.25，經(jīng)計(jì)算f(1.25)<0，因?yàn)閒(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).
如此繼續(xù)下去，得到函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間，如下表：
因?yàn)?.312 5與1.343 75精確到0.1的近似值都有1.3，所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1的精確到0.1的近似零點(diǎn)可取為1.3.
(a，b) (a，b)的中點(diǎn) 中點(diǎn)函數(shù)值符號
(1，1.5) 1.25 f(1.25)<0
(1.25，1.5) 1.375 f(1.375)>0
(1.25，1.375) 1.312 5 f(1.312 5)<0
(1.312 5，1.375) 1.343 75 f(1.343 75)>0
(1.312 5，1.343 75)
規(guī)律方法　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值應(yīng)遵循的原則
(1)需依據(jù)圖象估計(jì)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間[m，n](一般采用估計(jì)值的方法完成).
(2)取區(qū)間端點(diǎn)的平均數(shù)c，計(jì)算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)符合要求，終止計(jì)算，得到函數(shù)零點(diǎn)的近似值.
【訓(xùn)練2】　用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下：
據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(精確到0.01)為________.
f(1.600 0)≈0.200 f(1.587 5)≈0.133 f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
解析　由參考數(shù)據(jù)知f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.556 25與1.562 5精確到0.01的近似值都為1.56，所以函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為1.56.
答案　1.56
題型三　用二分法求方程的近似解
【例3】　在用二分法求方程x＝3－lg x在區(qū)間(2，3)內(nèi)的近似解時(shí)，先將方程變形為lg x＋x－3＝0，構(gòu)建f(x)＝lg x＋x－3，然后通過計(jì)算以判斷f(2)及f(3)的正負(fù)號，再按步驟取區(qū)間中點(diǎn)值，計(jì)算中點(diǎn)的函數(shù)近似值，如此往復(fù)縮小零點(diǎn)所在區(qū)間，計(jì)算得部分?jǐn)?shù)據(jù)列表如下：
步驟 區(qū)間左端點(diǎn)a 區(qū)間右端點(diǎn)b a、b中點(diǎn)c的值 中點(diǎn)c的函數(shù)近似值f(c)
1 2 3 2.5 －0.102
2 0.189
3 2.625 0.044
4 2.5 2.625 2.562 5 －0.029
5 2.562 5 2.625 2.593 75 0.008
6 2.562 5 2.593 75 2.578 125 －0.011
7 2.578 125 2.593 75 2.585 937 5 －0.001
8 2.585 937 5 2.593 75 2.589 843 75 0.003
9 2.585 937 5 2.589 843 75 2.587 890 625 0.001
(1)判斷f(2)及f(3)的正負(fù)號；
(2)請完成上述表格，在空白處填上正確的數(shù)字；
(3)若精確到0.1，則到第幾步驟即可求出近似值？此時(shí)近似值為多少？
(4)若精確到0.01，則需要到第幾步驟才可求出近似值？近似值為多少？
解　(1)f(2)＝lg 2－1＝lg 2－lg 10<0，f(3)＝lg 3>0.
(2)如下表：
步驟 區(qū)間左端點(diǎn)a 區(qū)間右端點(diǎn)b a、b中點(diǎn)c的值 中點(diǎn)c的函數(shù)近似值f(c)
1 2 3 2.5 －0.102
2 2.5 3 2.75 0.189
3 2.5 2.75 2.625 0.044
4 2.5 2.625 2.562 5 －0.029
5 2.562 5 2.625 2.593 75 0.008
6 2.562 5 2.593 75 2.578 125 －0.011
7 2.578 125 2.593 75 2.585 937 5 －0.001
8 2.585 937 5 2.593 75 2.589 843 75 0.003
9 2.585 937 5 2.589 843 75 2.587 890 625 0.001
(3)直到第5步驟時(shí)，2.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，此時(shí)可求出零點(diǎn)的近似值為2.6.
(4)直到第8步驟時(shí)，2.585 937 5與2.593 75精確到0.01的近似值都為2.59，此時(shí)可求出零點(diǎn)的近似值為2.59.
規(guī)律方法　用二分法求方程的近似解，首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡量小，其次要依據(jù)給定的精度，及時(shí)檢驗(yàn)所得區(qū)間是否達(dá)到要求(達(dá)到給定的精度)，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算.
【訓(xùn)練3】　用二分法求2x＋x＝4在[1，2]內(nèi)的近似解(精確到0.1).參考數(shù)據(jù)：
解　令f(x)＝2x＋x－4，則f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0.
x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75
2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36
區(qū)間 區(qū)間中點(diǎn)值xn f(xn)的值及符號
(1，2) x1＝1.5 f(x1)＝0.33>0
(1，1.5) x2＝1.25 f(x2)＝－0.37<0
(1.25，1.5) x3＝1.375 f(x3)＝－0.035<0
(1.375，1.5) x4＝1.437 5 f(x4)＝0.147 5>0
∵1.375與1.437 5精確到0.1的近似值都為1.4.
∴2x＋x＝4在[1，2]內(nèi)的近似解可取為1.4.
一、課堂小結(jié)
1.通過探索用二分法求方程近似解的思路，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，通過借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).
2.二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，直至找到零點(diǎn)附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精度，用此數(shù)值近似地表示真正的零點(diǎn).
3.并非所有函數(shù)都可以用二分法求其零點(diǎn)，只有滿足：
(1)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷；
(2)f(a)·f(b)<0.
上述兩條的函數(shù)，方可采用二分法求得零點(diǎn)的近似值.
二、課堂檢測
1.用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次應(yīng)計(jì)算f(x1)，則x1等于(　　)
A.1 B.－1 C.0.25 D.0.75
答案　C
2.用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3－2x－1的零點(diǎn)時(shí)，若零點(diǎn)所在的初始區(qū)間為(1，2)，則下一個(gè)有解區(qū)間為(　　)
A.(1，2) B.(1.75，2)
C.(1.5，2) D.(1，1.5)
答案　C
答案　(2，3)
4.下列函數(shù)中有零點(diǎn)但不能用二分法求零點(diǎn)近似值的是________(填序號).
答案　④
5.判定方程3x－x2＝0在區(qū)間[1，2]內(nèi)是否有實(shí)數(shù)解？若有，求出精確到0.01的近似解；若沒有，請說明理由.
解　方程3x－x2＝0在區(qū)間[1，2]內(nèi)沒有實(shí)數(shù)解，下面說明理由.設(shè)f(x)＝3x－x2，則f(1)＝2>0，f(2)＝5>0，
又根據(jù)函數(shù)y＝3x，y＝x2增長速度可知，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，3x－x2>0恒成立，
故不存在x∈[1，2]，
使3x－x2＝0，
即方程3x－x2＝0在區(qū)間[1，2]內(nèi)沒有實(shí)數(shù)解.

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