資源簡介

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8.2函數與數學模型（第二課時）
函數的實際應用
課標要求 素養要求
1.會利用已知函數模型解決實際問題.
2.能建立函數模型解決實際問題. 通過本節內容的學習，使學生認識函數模型的作用，提升學生數學建模、數據分析等素養.
新知探究
愛因斯坦說過，復利的威力比原子彈還可怕.若每月堅持投資100元，40年之后將成為百萬富翁.也就是說隨著變量的增長，指數函數值的增長是非常迅速的，可以根據這一特點來進行資金的管理.例如，按復利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，設本利和為y，存期為x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要寫出本利和y關于存期x的函數式.假設存入的本金為1 000元，每期的利率為2.25%.
問題　五期后的本利和是多少？
提示　解決這一問題，首先要建立一個指數函數關系式，即y＝a(1＋r)x，將相應的數據代入該關系式就可得到五年期的本利和.
1.常見的函數模型
常用函數模型 (1)一次函數模型 y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)
(2)二次函數模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
(3)指數函數模型 y＝bax＋c(a，b，c為常數，b≠0，a>0且a≠1)
(4)對數函數模型 y＝mlogax＋n(m，a，n為常數，m≠0，a>0且a≠1)
(5)冪函數模型 y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
(6)分段函數模型
2.解決實際問題的一般程序：
實際問題→建立數學模型→求解數學模型→解決實際問題
基礎自測
[判斷題]
1.實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數關系.( )
提示　兩個變量之間可以有關系，但不一定是確定的函數關系.
2.函數模型中，要求的定義域只需使函數式有意義.( )
提示　函數模型中定義域必須滿足實際意義.
3.用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了.( )
提示　擬合函數預測的結果近似的符合實際結果即可.
4.利用函數模型求實際應用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符.( )
×
×
×
√
[基礎訓練]
1.一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是(　　)
A.分段函數　　　　 B.二次函數
C.指數函數 D.對數函數
答案　A
2.若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是(　　)
答案　A
3.2014年我國人口總數約為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則預計________年我國人口將首次超過20億(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1).
答案　2043
[思考]
在冪函數模型的解析式中，n的正負如何影響函數的單調性？
提示　當x>0，n>0時，函數的圖象在第一象限內是上升的，在(0，＋∞)上為增函數；當x>0，n<0時，函數的圖象在第一象限內是下降的，在(0，＋∞)上為減函數.
(1)將利潤表示為月產量的函數(用f(x)表示)；
(2)當月產量為何值時，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收入＝總成本＋利潤)
解　(1)設每月產量為x臺，則總成本為t＝10 000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
(2)當0≤x≤200時，f(x)＝－(x－150)2＋12 500，
所以當x＝150時，有最大值12 500；
當x>200時，f(x)＝30 000－100x是減函數，
f(x)<30 000－100×200<12 500.
所以當x＝150時，f(x)取最大值，最大值為12 500.
所以每月生產150臺儀器時，利潤最大，最大利潤為12 500元.
規律方法　1.利用二次函數求最值的方法及注意點
(1)方法：根據實際問題建立函數模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數的單調性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.
(2)注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符.
2.應用分段函數時的三個注意點
(1)分段函數的“段”一定要分得合理，不重不漏.
(2)分段函數的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集.
(3)分段函數的值域求法為：逐段求函數值的范圍，最后比較再下結論.
【訓練1】　在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生產100臺報警系統裝置，生產x臺(x∈N*)的收入函數為R(x)＝3 000x－20x2(單位：元)，其成本函數為C(x)＝500x＋4 000(單位：元)，利潤是收入與成本之差.
(1)求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；
(2)利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)是否具有相同的最大值？
解　(1)由題意知，x∈[1，100]，且x∈N*.
P(x)＝R(x)－C(x)＝3 000x－20x2－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x－4 000，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.
因為MP(x)＝2 480－40x是減函數，當x＝1時，MP(x)的最大值為2 440(元).
因此，利潤函數P(x)與邊際利潤函數MP(x)不具有相同的最大值.
求a和m的值.
(2)為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強弱等級一般不能超過50分貝，求此時聲音強度I的最大值.
(1)已知生活中幾種聲音的強度如表：
聲音來源
聲音大小 風吹落葉沙沙聲 輕聲耳語 很嘈雜的馬路
強度I(瓦/平方米) 1×10－11 1×10－10 1×10－3
強弱等級L(分貝) 10 m 90
規律方法　指數型、對數型函數問題的類型及解法
(1)指數函數模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題都可用指數型函數模型來表示.
(2)對數函數模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，對數函數模型一般給出函數關系式，然后利用對數的運算求解.
(3)指數型、對數型函數應用題的解題思路：①依題意找出或建立數學模型，②依實際情況確立解析式中的參數，③依題設數據解決數學問題，④得出結論.
(1)求p%的值；
(2)到今年為止該森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多還能砍伐多少年？
故今后最多還能砍伐15年.
一、課堂小結
1.通過利用已知函數模型解決實際問題，提升數學建模素養；通過建立函數模型解決實際問題，提升數據分析素養.
2.函數模型的應用實例主要包括三個方面：
(1)利用給定的函數模型解決實際問題；
(2)建立確定性的函數模型解決實際問題；
(3)建立擬合函數模型解決實際問題.
3.在引入自變量建立函數解決函數應用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結果，必要時運用估算和近似計算，以使結果符合實際問題的要求.
二、課堂檢測
1.某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表：
則下面的函數關系式中擬合效果最好的是(　　)
A.y＝2x－1 B.y＝x2－1
C.y＝2x－1 D.y＝1.5x2－2.5x＋2
x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
解析　將數值代入各選項中，三個點均與D項吻合，故選D.
答案　D
2.已知國內郵寄1 000 g以內的包裹的郵資標準如下表：
如果某人在西安要郵寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他應付的郵資是(　　)
A.5.00元 B.6.00元
C.7.00元 D.8.00元
答案　C
運送距離x(km) 0≤500 500< x≤
1 000 1 0001 500 1 500≤2 000 …
郵資y(元) 5.00 6.00 7.00 8.00 …
3.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震級，其計算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅，M為震級.則7級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍.
答案　100
4.有一位商人從北京向上海的家中打電話，通話m分鐘的電話費(單位：元)由函數f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)決定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數，則從北京到上海通話時間為5.5分鐘的電話費為________元.
解析　由于f(m)＝1.06×(0.5[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整數，則當m＝5.5時，[m]＝6，
即有f(5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案　4.24
解　設可獲得總利潤為R(x)萬元，
∵R(x)在[0，210]上是增函數，
∴當x＝210時，
∴年產量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元.

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