資源簡介

(共29張PPT)
8.2函數與數學模型（第一課時）
幾個函數模型的比較
課標要求 素養要求
1.理解直線上升、指數爆炸、對數增長的含義.
2.區分指數函數、對數函數以及冪函數增長速度的差異.
3.會選擇適當的函數模型分析和解決一些實際問題. 通過本節的學習，使學生認識函數模型的作用，提升學生數學建模、數據分析等素養.
新知探究
理財的方式有很多，如儲蓄、債券、股票、保險、外匯、基金、P2P等，因為不同的理財方式有不同的特點，要選擇自己合適的理財方式，一定要了解理財產品的收益與風險情況，根據我們所學習的數學知識，并結合自己的經濟實力和需求進行選擇，最好是多掌握一些理財知識和科學的理財技巧.如果你需要理財的話，你選擇理財方式的依據是風險低，相同時間內收益最大化.
問題　函數與我們的日常生活聯系密切，不同的函數模型可以刻畫不同的自然現象，我們怎樣選擇函數模型去擬合呢？
提示　不同的函數，變化趨勢不同，我們根據實際問題選擇擬合效果較好的函數.
比較三種函數模型的性質，填寫下表：
　　　　函數
性質　　　　 y＝ax
(a>1) y＝logax
(a>1) y＝xα
(α>0)
在(0，＋∞)上的增減性 _________ ____________ ___________
圖象的變化 隨x的增大逐漸變“陡” 隨x的增大逐漸趨于穩定 隨α值而不同
增長速度 ax的增長_______xα的增長，xα的增長_______logax的增長
增長后果 當x足夠大時，有_____________ (a>1)
增函數
增函數
增函數
快于
快于
ax>xα>logax
基礎自測
[判斷題]
1.當x增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數.( )
2.一個好的函數模型，既能與現有數據高度符合又能很好地推演和預測.( )
4.由于指數函數模型增長速度最快，所以對于任意x∈R恒有ax>x2(a>1).( )
提示　當x趨于無窮大時ax>x2(a>1)恒成立.
√
√
√
×
[基礎訓練]
1.已知函數為y＝1＋2x，當x減少1個單位時，y的變化情況是(　　)
A.y減少1個單位 B.y增加1個單位
C.y減少2個單位 D.y增加2個單位
解析　結合函數y＝1＋2x的變化特征可知C正確.
答案　C
3.某商場在銷售空調旺季的4天內的利潤如下表所示.
時間 1 2 3 4
利潤(千元) 2 3.98 8.01 15.99
現構建一個銷售這種空調的函數模型，應是下列函數中的(　　)
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
解析　逐個檢驗可得答案為B.
答案　B
[思考]
對數函數y＝logax(a>1)，指數函數y＝ax(a>1)與冪函數y＝xn(n>0)在區間(0，＋∞)上都是增函數，哪個函數的增長速度最快？
提示　在描述現實問題的變化規律時，常用“指數爆炸”、“直線上升”、“對數增長”等術語表示指數函數、一次函數、對數函數的增長方式，當x足夠大時，總有ax>xn>logax(a>1).
題型一　函數模型的增長差異
【例1】　(1)下列函數中，增長速度最快的是(　　)
A.y＝2 019x B.y＝x2 019
C.y＝log2 019x D.y＝2 019x
則關于x呈指數型函數變化的變量是________.
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
(2)四個自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數據如下表：
解析　(1)比較一次函數、冪函數、指數函數與對數函數可知，指數函數增長速度最快，故選A.
(2)以爆炸式增長的變量呈指數函數變化.從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關于x呈指數型函數變化.
答案　(1)A　(2)y2
規律方法　指數函數、對數函數和冪函數增長差異的判斷方法
(1)根據函數的變化量的情況對函數增長模型進行判斷.
(2)根據圖象判斷增長型的指數函數、對數函數和冪函數時，通常是觀察函數圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數是指數函數；圖象趨于平緩的函數是對數函數.
【訓練1】　函數f(x)＝2x和g(x)＝3x的圖象如圖所示，設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數；
(2)結合函數圖象，比較f(3)，g(3)，f(2 021)，g(2 021)的大小.
解　(1)C1對應的函數為g(x)＝3x，C2對應的函數為f(x)＝2x.
(2)∵f(3)＝8，g(3)＝9，∴f(3)又f(4)>g(4)，∴3從圖象上可以看出，當x>x2時，f(x)>g(x)，∴f(2 021)>g(2 021).
又g(2 021)>g(3)，∴f(2 021)>g(2 021)>g(3)>f(3).
題型二　函數模型的選取
【例2】　科技創新在經濟發展中的作用日益凸顯.某科技公司為實現9 000萬元的投資收益目標，準備制定一個激勵研發人員的獎勵方案：當投資收益達到3 000萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金 y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，獎金總數不低于100萬元，且獎金總數不超過投資收益的20%.
(1)現有三個獎勵函數模型：①f(x)＝0.03x＋8，②f(x)＝0.8x＋200，③f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000].試分析這三個函數模型是否符合公司要求？
(2)根據(1)中符合公司要求的函數模型，要使獎金額達到350萬元，公司的投資收益至少要達到多少萬元？
解　(1)由題意符合公司要求的函數f(x)在[3 000，9 000]為增函數，
①對于函數f(x)＝0.03x＋8，當x＝3 000時，f(3 000)＝98<100，不符合要求；
②對于函數f(x)＝0.8x＋200為減函數，不符合要求；
③對于函數f(x)＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，
顯然f(x)為增函數，且當x＝3 000時，f(3 000)>100log2020＋50＝150≥100；又因為f(x)≤f(9 000)
＝100log209 000＋50<100log20160 000＋50＝450；
(2)由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000，
所以公司的投資收益至少要達到8 000萬元.
規律方法　不同的函數增長模型的特點
對于函數模型選擇的問題，熟悉各種函數模型的增長特點是關鍵.一次函數模型的增長是勻速的，二次函數模型是對稱的，一側增，一側減；指數型函數模型適合描述增長速度很快的變化規律；對數型函數模型比較適合描述增長速度平緩的變化規律；冪型函數模型介于指數型函數模型和對數型函數模型之間，適合描述不快不慢的變化規律.
【訓練2】　某汽車制造商在2019年初公告：公司計劃2019年生產目標定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產量如下表所示：
如果我們分別將2016，2017，2018，2019年定義為第一、二、三、四年，現在你有兩個函數模型：二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數函數模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1).哪個模型能更好地反映該公司生產量y與年份x的關系？
年份 2016 2017 2018
產量(萬) 8 18 30
解　建立生產量y與年份x的函數，可知函數必過點(1，8)，(2，18)，(3，30).
(1)構造二次函數模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點的坐標代入，
解得a＝1，b＝7，c＝0，
則f(x)＝x2＋7x，
故f(4)＝44，與計劃誤差為1.
(2)構造指數函數模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，
由(1)(2)可得f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映該公司生產量y與年份x的關系.
一、課堂小結
1.通過對函數增長模型的選取，提升數學建模、數據分析素養.
2.四類不同增長的函數模型
(1)增長速度不變的函數模型是一次函數模型.
(2)增長速度最快即呈現爆炸式增長的函數模型是指數型函數模型.
(3)增長速度較慢的函數模型是對數型函數模型.
(4)增長速度平穩的函數模型是冪函數模型.
3.函數模型的應用
(1)可推演原則：建立模型一定要有意義，既能作理論分析又能計算、推理且能得出正確結論.
(2)反映性原則：建立模型應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題.
二、課堂檢測
1.三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表所示：
則關于x分別呈對數函數、指數函數、冪函數變化的變量依次為(　　)
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
解析　通過指數函數、對數函數、冪函數等不同函數模型的增長規律比較可知，對數函數的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規律；指數函數的增長速度越來越快，變量y2隨x的變化符合此規律；冪函數的增長速度介于指數函數與對數函數之間，變量 y1隨x的變化符合此規律.故選C.
答案　C
2.下列函數中增長速度越來越慢的是(　　)
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x6 D.y＝6x
解析　D增長速度不變，A，C增長速度越來越快，只有B符合題意.
答案　B
3.下列選項是四種生意預期的收益y關于時間x的函數，從足夠長遠的角度看更為有前途的生意是________(填序號).
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；
③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.
解析　增長速度最快的函數為y＝10×1.05x，故選①.
答案　①
4.現測得(x，y)的兩組對應值分別為(1，2)，(2，5)，現有兩個待選模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應值為(3，10.2)，則應選用________作為函數模型.
解析　將x＝3分別代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以選用甲模型.
答案　甲
5.某學校為了實現60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？
解　作出函數y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示 ).
觀察圖象可知，在區間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求.

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