資源簡(jiǎn)介

4.1.1 對(duì)頂角 學(xué)案
班級(jí) 姓名 組別 總分
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解對(duì)頂角的概念，會(huì)識(shí)別對(duì)頂角.
2.探究并掌握對(duì)頂角的性質(zhì)，能利用對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.
【學(xué)習(xí)過(guò)程】
任務(wù)一：對(duì)頂角及鄰補(bǔ)角的概念
如圖，兩條直線AB和CD相交形成了四個(gè)角∠1、∠2、∠3和∠4，它們之間存在什么關(guān)系呢？
觀察∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠1和∠4，它們有什么位置關(guān)系呢？
鄰補(bǔ)角的定義：如果兩個(gè)角既 又 ，那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.
2.觀察∠1和∠3，∠2和∠4，它們有什么位置關(guān)系呢？
對(duì)頂角的定義：有 ，并且兩邊互為 ，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.
練一練
判斷下列各圖中∠1和∠2是否為對(duì)頂角，并說(shuō)明理由？
評(píng)價(jià)任務(wù)一
得分：
任務(wù)二：對(duì)頂角的性質(zhì)
思考：（1）已知圖中∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？你發(fā)現(xiàn)了什么？
你能說(shuō)明具有這種關(guān)系的道理嗎？
【歸納總結(jié)】對(duì)頂角的性質(zhì)： .
例1 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)E，∠AEC=50°，求∠BED、∠AED、∠BEC的度數(shù).
【即時(shí)測(cè)評(píng)】
1. 下列說(shuō)法：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③等角的補(bǔ)角相等；④如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角，其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br/>A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
2. 如圖，直線a，b，c交于點(diǎn)O，若∠1+∠2=70°，則∠3的度數(shù)為（　?。?br/>A．35° B．70° C．100° D．110°
例2 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠DOE＝30°，求∠AOC的度數(shù)．
【即時(shí)測(cè)評(píng)】
3. 如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，射線OE是∠BOD的平分線，已知∠AOD=110°，分別求
∠COB，∠AOC， ∠BOE，∠EOD的度數(shù).
評(píng)價(jià)任務(wù)二
得分：
自我反思：
一節(jié)課的學(xué)習(xí)中，你收獲了什么？
當(dāng)堂訓(xùn)練：（要求：限時(shí)5分鐘，獨(dú)立完成后組內(nèi)訂正，成績(jī)計(jì)入小組量化.）
1. 泰勒斯被譽(yù)為古希臘及西方第一個(gè)自然科學(xué)家和哲學(xué)家，據(jù)說(shuō)“兩條直線相交，對(duì)頂角相等”就是泰勒斯首次發(fā)現(xiàn)并論證的．論證“對(duì)頂角相等”使用的依據(jù)是（　?。?br/>A．等角的補(bǔ)角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的補(bǔ)角相等
2. 如圖，AB、CD相交于O，∠EOB=90°，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角
B．∠AOC與∠COE互為余角
C．∠BOD與∠COE互為余角
D．∠COE與∠AOD互為補(bǔ)角
第2題圖 第3題圖 第4題圖
3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=110°，∠BOE=20°，則∠COE的度數(shù)為（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
4. 如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=75°，∠1=25°，則∠2的度數(shù)是_________.
5. 如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°．
（1）若∠BOE=54°，求∠AOC的度數(shù)；
（2）若∠BOE：∠BOC=2：5，求∠AOE的度數(shù)．
參考答案
即時(shí)測(cè)評(píng)
B 2. D
3. 解：因?yàn)椤螦OD=110°，
所以∠COB=∠AOD=110°（對(duì)頂角相等），
所以∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣110°=70°.
所以∠DOB=∠AOC=70°（對(duì)頂角相等）.
又因?yàn)镺E平分∠DOB，
所以∠BOE=∠EOD=35°.
當(dāng)堂訓(xùn)練
D 2. D 3. B 4.50°
解：（1）因?yàn)椤螩OE=90°，所以∠DOE=90°.
因?yàn)椤螧OE=54°，所以∠BOD=∠DOE﹣∠BOE=90°﹣54°=36°，
所以∠AOC=∠BOD=36°.
（2）設(shè)∠BOE=2x，∠BOC=5x，則∠COE=3x.
因?yàn)椤螩OE=90°，所以3x=90°，解得 x=30°，
所以∠BOE=2×30°=60°，
所以∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣60°=120°．
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新課導(dǎo)入
互余、互補(bǔ)的概念及性質(zhì).
復(fù)習(xí)回顧
新課導(dǎo)入
觀察圖片，說(shuō)一說(shuō)直線與直線的位置關(guān)系有幾種情況？
情境引入
新課導(dǎo)入
講授新知
問(wèn)題1 如圖，兩條直線AB和CD相交形成了四個(gè)角∠1、∠2、∠3和∠4，它們之間存在什么關(guān)系呢？
鄰補(bǔ)角的概念
講授新知
A
B
C
D
O
1
2
3
4
∠1和∠2
∠2和∠3
∠3和∠4
∠1和∠4
互為補(bǔ)角
位置：相鄰
鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角既相鄰又互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.
問(wèn)題2 觀察圖中∠1和∠3，∠2和∠4，它們有什么位置關(guān)系呢？
對(duì)頂角的概念
講授新知
A
B
C
D
O
1
2
3
4
有公共頂點(diǎn)
兩邊互為反向延長(zhǎng)線
對(duì)頂角：像∠1和∠3這樣，有公共頂點(diǎn)，并且它們的兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.
∠2和∠4也是對(duì)頂角.
判斷下列各圖中∠1和∠2是否為對(duì)頂角，并說(shuō)明理由？
√
×
×
×
練一練
即學(xué)即練
【技巧歸納】1. 判斷兩個(gè)角是不是對(duì)頂角，要看它們的位置關(guān)系：有公共頂點(diǎn)，且兩邊互為反向延長(zhǎng)線.
2. 對(duì)頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的.
對(duì)頂角的性質(zhì)
講授新知
思考：（1）已知圖中∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度？你發(fā)現(xiàn)了什么？
（2）你能說(shuō)明具有這種關(guān)系的道理嗎？
∠2=180°﹣∠1=150°
∠3=180°﹣∠2=30°
∠4=180°﹣∠1=150°
發(fā)現(xiàn)：∠1=∠3 ∠2=∠4
由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，
根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得∠1＝∠3.
對(duì)頂角相等
講授新知
想一想：圖中是對(duì)頂角量角器，你能說(shuō)出用它測(cè)量角的度數(shù)的原理嗎？
對(duì)頂角相等
例1 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)E，∠AEC=50°，求∠BED、∠AED、∠BEC的度數(shù).
解： 因?yàn)?∠BED 與∠AEC是對(duì)頂角，
所以 ∠BED=∠AEC＝50°.
因?yàn)?∠AED與∠AEC是鄰補(bǔ)角，
所以 ∠AED=180°﹣∠AEC=180°﹣50°=130°，
范例應(yīng)用
同理，∠BEC=∠AED=130°. (對(duì)頂角相等)
1. 下列說(shuō)法：①對(duì)頂角相等；②相等的角是對(duì)頂角；③等角的補(bǔ)角相等；④如果兩個(gè)角的和等于90°，那么這兩個(gè)角互為余角，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
2. 如圖，直線a，b，c交于點(diǎn)O，若∠1+∠2=70°，則∠3的度數(shù)為（　　）
A．35° B．70°
C．100° D．110°
即時(shí)測(cè)評(píng)
B
D
例2 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠DOE＝30°，求∠AOC的度數(shù)．
解：因?yàn)镺E平分∠BOD，
∠DOE＝30°(已知)，
所以∠BOD＝2∠DOE＝60°.
又因?yàn)椤螦OC=∠BOD(對(duì)頂角相等)，
所以∠AOC＝60°(等量代換)．
范例應(yīng)用
3. 如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，射線OE是∠BOD的平分線，已知∠AOD=110°，分別求∠COB，∠AOC， ∠BOE，∠EOD的度數(shù).
即時(shí)測(cè)評(píng)
解：因?yàn)椤螦OD=110°，
所以∠COB=∠AOD=110°（對(duì)頂角相等），
所以∠AOC=180°﹣∠AOD
=180°﹣110°=70°.
所以∠DOB=∠AOC=70°（對(duì)頂角相等）.
又因?yàn)镺E平分∠DOB，
所以∠BOE=∠EOD=35°.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1. 泰勒斯被譽(yù)為古希臘及西方第一個(gè)自然科學(xué)家和哲學(xué)家，據(jù)說(shuō)“兩條直線相交，對(duì)頂角相等”就是泰勒斯首次發(fā)現(xiàn)并論證的．論證“對(duì)頂角相等”使用的依據(jù)是（　?。?br/>A．等角的補(bǔ)角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的補(bǔ)角相等
2. 如圖，AB、CD相交于O，∠EOB=90°，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　?。?br/>A．∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角
B．∠AOC與∠COE互為余角
C．∠BOD與∠COE互為余角
D．∠COE與∠AOD互為補(bǔ)角
D
當(dāng)堂訓(xùn)練
D
3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=110°，∠BOE=20°，則∠COE的度數(shù)為（　?。?br/>A．120° B．130° C．140° D．150°
4. 如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=75°，∠1=25°，則∠2的度數(shù)是_________.
當(dāng)堂訓(xùn)練
B
50°
5. 如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE=90°．
（1）若∠BOE=54°，求∠AOC的度數(shù)；
（2）若∠BOE：∠BOC=2：5，求∠AOE的度數(shù)．
當(dāng)堂訓(xùn)練
解：（1）因?yàn)椤螩OE=90°，所以∠DOE=90°.
因?yàn)椤螧OE=54°，
所以∠BOD=∠DOE﹣∠BOE=90°﹣54°=36°，
所以∠AOC=∠BOD=36°.
（2）設(shè)∠BOE=2x，∠BOC=5x，則∠COE=3x.
因?yàn)椤螩OE=90°，所以3x=90°，解得 x=30°，
所以∠BOE=2×30°=60°，
所以∠AOE=180°﹣∠BOE=180°﹣60°=120°．
課堂小結(jié)
課堂小結(jié)
對(duì)頂角
定義
具有相同的頂點(diǎn)，且兩邊互為反向延長(zhǎng)線，這樣的角叫做對(duì)頂角
性質(zhì)
注意
1.相等的角不一定是對(duì)頂角；
2.有相同頂點(diǎn)的角不一定是對(duì)頂角；
3.兩條直線相交才能形成對(duì)頂角
對(duì)頂角相等
鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角既相鄰又互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.
課后作業(yè)
基礎(chǔ)題：1.課后練習(xí) 第 1,2,3題。
提高題：2.請(qǐng)學(xué)有余力的同學(xué)采取合理的方式，搜集整理與本節(jié)課有關(guān)的“好題”，被選中的同學(xué)下節(jié)課為全班展示。

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