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(共23張PPT)
2.7 角的和與差
幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)
數(shù)學(xué)冀教版七年級(jí)上冊(cè)
1.通過(guò)類比線段的和與差，理解兩個(gè)角的和與差，會(huì)進(jìn)行角的和、差運(yùn)算，進(jìn)一步發(fā)展抽象能力，提高運(yùn)算能力.
2.理解角平分線的概念，體會(huì)對(duì)稱美，提升空間觀念.
3.通過(guò)對(duì)角的大小關(guān)系的分析，理解余角和補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的過(guò)程，形成一定的推理能力.
情境
我們已經(jīng)學(xué)了哪些幾何圖形？
同學(xué)們，我們生活在一個(gè)千姿百態(tài)的圖形世界里，我們已經(jīng)研究了圖形世界中的兩個(gè)成員--線段和角,請(qǐng)同學(xué)們回想我們都學(xué)習(xí)了線段的哪些知識(shí) 角的哪些知識(shí) 類比線段的學(xué)習(xí)思路，我們將研究角的哪些內(nèi)容
線段、角
我們學(xué)習(xí)了線段的表示方法、線段長(zhǎng)短的比較、線段的和與差；我們還學(xué)習(xí)了角的的表示方法、角大小的比較，所以類比線段的學(xué)習(xí)思路，我們將學(xué)習(xí)角的和與差.
1.如圖，線段AB上有一點(diǎn)M，則圖中線段的關(guān)系是
AM+MB= AB AB－AM=MB AB－MB=AM
A
B
M
2.如果點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，則_____________
情境
規(guī)則：
1.積極發(fā)言 +2分
2.認(rèn)真傾聽 +1分
3.質(zhì)疑 +2分
O
A
C
B
如圖，在∠AOB的內(nèi)部畫射線OC,圖中有哪幾個(gè)角？這些角之間有什么關(guān)系？
O
A
C
B
圖中共有三個(gè)角，
關(guān)系：∠AOC+∠BOC=∠AOB，
∠AOB－∠AOC=∠BOC ，
∠AOB－∠BOC=∠AOC .
如圖，在∠AOB的內(nèi)部畫射線OC,圖中有哪幾個(gè)角？這些角之間有什么關(guān)系？
O
A
C
B
若射線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，這些角之間有什么關(guān)系
在射線OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否會(huì)出現(xiàn)恰好被分成相等的兩部分呢？類比線段中點(diǎn)的定義，你能給此時(shí)的射線起個(gè)名字嗎？
∠AOC＋∠AOB=∠BOC，
∠BOC－∠AOC=∠AOB
∠BOC－∠AOB=∠AOC
可以；角平分線.
圖片替換區(qū)
角的平分線:如果從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，那么,這條射線叫做這個(gè)角的角平分線.
總結(jié)
圖片替換區(qū)
已知一個(gè)角，你能得到這個(gè)角的平分線嗎？用折紙法能得到角的平分線嗎？
按下列步驟進(jìn)行操作：
（1）在半透明的紙上畫出∠AOB；
（2）折紙，使角的兩邊重合；
（3）把紙展開，以點(diǎn)O為端點(diǎn)，沿折痕畫射線OP．
15°可以用45°與30°相減得到,或者60°和45°相減得到.
75°可以用45°與30°相加得到.
還可以得到135°，120°，150°等等，這些角都是15°的倍數(shù).
請(qǐng)嘗試用三角板拼出15°、75°的角 用一副三角板，你還能拼出哪些角呢
例1
已知∠1=103°24′28″，∠2=30°54′.
求（1）∠1＋∠2 的度數(shù)（2）∠1－∠2 的度數(shù).
解：（1）∠1＋∠2=133°25′22″
（2）∠1－∠2=73°23′34″
角度加減運(yùn)算時(shí)，相同單位進(jìn)行相加減，滿60進(jìn)位，不夠減時(shí)，向前一位借.
概念
已知∠α和∠β ．
如果∠α + ∠β =90°，我們就稱∠α與∠β互為余角，簡(jiǎn)稱互余．其中∠α (∠β) 叫做∠β(∠α)的余角．
如果∠α+ ∠β =180 °，我們就稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)．其中∠α (∠β) 叫做∠β(∠α)的補(bǔ)角．
例2
圖片替換區(qū)
（1）如圖所示，∠AOD=64° ，∠DOC=26°，
則 ∠AOC= ，我們就稱∠AOD 與∠DOC互為 .
（2）如圖所示，∠AOD=64°，∠BOD=116°,則∠AOB= ，
我們就稱∠AOD與∠BOD 互為 .
A
O
B
D
C
180°
90°
余角
互補(bǔ)
例2
圖片替換區(qū)
（3）①如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等嗎 說(shuō)明理由.
②已知∠1與∠2互余，∠3與∠4 互余，如果∠1=∠3，那么,∠2與∠4 相等嗎 請(qǐng)?jiān)囍f(shuō)明理由.
解：①相等 理由：因?yàn)椤?+∠α= 90°，∠2+∠α=90°，所以∠1=∠2
②相等 理由：因?yàn)椤? +∠2=90°，∠3+∠4=90°，∠1=∠3，所以∠1=∠4.
同角(或等角)的 余角相等.
總結(jié)
例2
圖片替換區(qū)
（4）若將題中的互余改為互補(bǔ)，有什么結(jié)論 請(qǐng)說(shuō)明理由.
余角和補(bǔ)角的性質(zhì):同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的補(bǔ)角相等.
總結(jié)
同角(或等角)的補(bǔ)角相等.
請(qǐng)同學(xué)們自己畫圖并證明.
練 習(xí)
1.若∠a+∠b=90°，∠b+∠c=90°，則∠a與∠c的關(guān)系是( )
A.互余 B. 互補(bǔ) C. 相等 D.∠a=90°+∠c
2.填空：（1）61°40′的余角的度數(shù)為 .
（2）35°20′的補(bǔ)角的度數(shù)為 .
144°40′
28°20′
C
練 習(xí)
2.如圖，已知∠AOB=180°，OM是∠AOC的平分線，ON是∠COB的平分線.
（1）請(qǐng)指出圖中所有互為補(bǔ)角的角.
（2）求角∠MON的度數(shù).
（3）請(qǐng)指出圖中所有互為余角的角，并說(shuō)明理由.
解：(1)互為補(bǔ)角的角有:∠AOM與∠NOM，∠COM與∠BOM，∠AOC與∠BOC，∠BON與∠AON，∠CON與∠AON
練 習(xí)
2.如圖，已知∠AOB=180°，OM是∠AOC的平分線，ON是∠COB的平分線.
（1）請(qǐng)指出圖中所有互為補(bǔ)角的角.
（2）求角∠MON的度數(shù).
（3）請(qǐng)指出圖中所有互為余角的角，并說(shuō)明理由.
解：（2）因?yàn)镺M是∠AOC的平分線，ON是∠COB的平分線
所以∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠COB
所以∠MON=∠MOC+NOC=∠AOC+∠COB=（∠AOC+∠COB）
又因?yàn)椤螦OC+∠COB=∠AOB=180 所以∠MON=180 =90
練 習(xí)
2.如圖，已知∠AOB=180°，OM是∠AOC的平分線，ON是∠COB的平分線.
（1）請(qǐng)指出圖中所有互為補(bǔ)角的角.
（2）求角∠MON的度數(shù).
（3）請(qǐng)指出圖中所有互為余角的角，并說(shuō)明理由.
解：（3）∠AOM與∠CON互余，理由：∠MOC與∠NOC互余，而∠AOM=∠MOC，∠AOM與∠CON互余；∠AOM與∠BON互余，理由：∠MOC與∠NOC互余，而∠AOM=∠MOC，∠BON=∠CON，∠AOM與∠BON互余;∠MOC與∠BON互余，理由：∠MOC與∠NOC互余，而∠BON=∠NOC，∠MOC與∠BON互余.
練 習(xí)
1．點(diǎn)P在∠MAN內(nèi)，現(xiàn)有如下等式：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分線的等式有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2.如圖，填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB+∠BOC= ; （2）∠BOC=∠BOD－ ;
（3）∠AOD=∠AOB+∠COD+ ;
（4）∠BOD=∠DOA－∠COA+ .
C
D
O
A
B
D
∠AOC
∠DOC
∠BOC
∠BOC
練 習(xí)
3.計(jì)算：
（1）12°59′57″＋57′58″； （2）97°3′12″－1°45′53″.
解：（1）70°55″.（2）95°17′19″.
144°42′
4.已知∠α與∠β互補(bǔ)，且∠α=35 18′，則∠β=________.
練 習(xí)
5.如圖, OD平分∠BOC ， OE平分∠AOC ,若∠BOC=70 °，
∠AOC=50°.
（1）求∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；
（2）求∠DOC的∠COE度數(shù)
O
A
E
C
D
B
①這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？
②我們學(xué)習(xí)這個(gè)知識(shí)經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？你從中學(xué)到了哪些經(jīng)驗(yàn)？
③你認(rèn)為今天的知識(shí)可以解決哪些問(wèn)題？

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