資源簡介

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4.2.2 角的比較
第四章 基本平面圖形
【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
4.2.2 角的比較
一、情境導(dǎo)入
同學(xué)們，上節(jié)課我們深入認(rèn)識了角的世界，了解了角的定義、表示方法以及度量單位 。在生活里，我們經(jīng)常會比較物體的大小，比如比較兩根繩子的長短、兩個盒子的大小 。那在數(shù)學(xué)中，我們該如何比較角的大小呢？比如三角板上不同的角，鐘面上不同時刻指針形成的角，它們誰大誰小？今天就讓我們一起走進4.2.2 角的比較，探尋比較角大小的方法。
二、角的比較方法
（一）度量法
方法講解：使用量角器測量出各個角的度數(shù)，再根據(jù)度數(shù)的大小來判斷角的大小關(guān)系 。量角時，將量角器的中心與角的頂點重合，量角器的\(0\)刻度線與角的一邊重合，角的另一邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數(shù) 。例如，測量出\(\angle A = 45^{\circ}\)，\(\angle B = 60^{\circ}\)，因為\(45^{\circ} < 60^{\circ}\)，所以\(\angle A < \angle B\) 。
操作演示：在黑板或課件上展示使用量角器測量角的詳細過程，強調(diào)測量的注意事項，如量角器的擺放位置要準(zhǔn)確，讀數(shù)時視線要垂直于刻度線等 。同時，通過測量不同大小的角，讓學(xué)生直觀感受度數(shù)與角大小的關(guān)系 。
（二）疊合法
方法講解：把兩個角的頂點及一條邊重合，觀察另一條邊的位置 。如果另一條邊也重合，那么這兩個角相等；如果一個角的另一邊在另一個角的內(nèi)部，那么這個角小于另一個角；如果一個角的另一邊在另一個角的外部，那么這個角大于另一個角 。例如，將\(\angle AOB\)與\(\angle COD\)的頂點\(O\)和邊\(OA\)、\(OC\)重合，若\(OB\)落在\(\angle COD\)內(nèi)部，則\(\angle AOB < \angle COD\) 。
操作演示：通過動畫或教具演示疊合過程，清晰呈現(xiàn)角的大小比較結(jié)果 。可以準(zhǔn)備可活動的角模型，現(xiàn)場操作展示不同角的疊合情況，讓學(xué)生更直觀地理解疊合法的原理和應(yīng)用 。
三、角平分線
（一）定義
從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線 。例如，若\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，則\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\)，\(\angle AOB = 2\angle AOC = 2\angle BOC\) 。
（二）性質(zhì)應(yīng)用
計算角的度數(shù)：已知\(\angle AOB = 80^{\circ}\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可直接得出\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2} 80^{\circ} = 40^{\circ}\) 。
證明角的關(guān)系：在幾何證明題中，若已知某射線是角平分線，可利用其性質(zhì)得到角之間的等量關(guān)系，從而進行推理證明 。比如在證明三角形全等或相似時，角平分線所分的角相等這一性質(zhì)常常能起到關(guān)鍵作用 。
四、典型例題講解
（一）角的比較
例題 1：如圖，比較\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的大小。
（此處插入包含\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的圖形）
解：
方法一：度量法：用量角器測量\(\angle 1\)約為\(50^{\circ}\)，\(\angle 2\)約為\(70^{\circ}\)，因為\(50^{\circ} < 70^{\circ}\)，所以\(\angle 1 < \angle 2\) 。
方法二：疊合法：將\(\angle 1\)和\(\angle 2\)的頂點和一條邊重合，發(fā)現(xiàn)\(\angle 1\)的另一邊落在\(\angle 2\)的內(nèi)部，所以\(\angle 1 < \angle 2\) 。
（二）角平分線的應(yīng)用
例題 2：已知\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，\(\angle AOC = 35^{\circ}\)，求\(\angle AOB\)的度數(shù)。
解：因為\(OC\)是\(\angle AOB\)的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)\(\angle AOB = 2\angle AOC\) 。
已知\(\angle AOC = 35^{\circ}\)，所以\(\angle AOB = 2 35^{\circ} = 70^{\circ}\) 。
（三）綜合應(yīng)用
例題 3：如圖，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(\angle AOD = 30^{\circ}\)，求\(\angle DOC\)的度數(shù)。
（此處插入相應(yīng)圖形）
解：因為\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，所以\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} 120^{\circ} = 60^{\circ}\) 。
又因為\(\angle AOD = 30^{\circ}\)，所以\(\angle DOC = \angle AOC - \angle AOD = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\) 。
五、課堂練習(xí)
填空題
比較角的大小的方法有______ 和______ 。
若\(OD\)平分\(\angle AOC\)，則\(\angle AOD =\)______ \(=\frac{1}{2}\)______ 。
已知\(\angle 1 = 40^{\circ}\)，\(\angle 2 = 65^{\circ}\)，\(\angle 3 = 90^{\circ}\)，則\(\angle 1\)、\(\angle 2\)、\(\angle 3\)從大到小的順序是______ 。
選擇題
用量角器測量角的度數(shù)時，下列操作正確的是（ ）
A. 量角器的中心與角的頂點重合 B. 量角器的\(0\)刻度線與角的一邊可以不重合 C. 讀數(shù)時，視線可以不垂直于量角器 D. 測量完一個角后，不用將量角器復(fù)位
已知\(OE\)是\(\angle AOF\)的平分線，\(\angle AOE = 25^{\circ}\)，則\(\angle AOF\)的度數(shù)為（ ）
A. \(25^{\circ}\) B. \(50^{\circ}\) C. \(75^{\circ}\) D. \(100^{\circ}\)
解答題
如圖，比較\(\angle AOC\)與\(\angle BOD\)的大小。
（此處插入相應(yīng)圖形）
已知\(OB\)平分\(\angle AOC\)，\(OC\)平分\(\angle AOD\)，\(\angle AOB = 20^{\circ}\)，求\(\angle AOD\)的度數(shù) 。
如圖，\(\angle AOB = 150^{\circ}\)，\(\angle AOC = 30^{\circ}\)，\(OD\)平分\(\angle BOC\)，求\(\angle BOD\)的度數(shù) 。
（此處插入相應(yīng)圖形）
六、課堂小結(jié)
回顧角的比較方法，包括度量法和疊合法，明確各自的操作要點和適用場景 。
總結(jié)角平分線的定義和性質(zhì)，強調(diào)其在計算角的度數(shù)和幾何證明中的重要作用 。
提醒同學(xué)們在比較角的大小時要認(rèn)真仔細，利用好量角器和疊合的方法；在涉及角平分線的問題中，要善于運用角之間的等量關(guān)系進行求解 。鼓勵大家課后多做練習(xí)，提高對角的相關(guān)知識的運用能力 。
七、課后作業(yè)
完成課本上對應(yīng)本節(jié)內(nèi)容的練習(xí)題，鞏固角的比較和角平分線的知識 。
制作兩個不同大小的角的紙片，用疊合法比較它們的大小，并嘗試用多種方式描述比較的過程和結(jié)果 。
思考：如果一個角的平分線把這個角分成的兩個角，其中一個角是另一個角的\(2\)倍，如何求出原角的度數(shù)？嘗試通過設(shè)未知數(shù)的方法解決 。
這份課件圍繞角的比較展開教學(xué)，旨在幫助學(xué)生掌握相關(guān)知識與技能。你若對課件的內(nèi)容講解、例題難度、練習(xí)設(shè)置等方面有不同意見，歡迎隨時提出，我們共同完善。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1．會用度量法和疊合法比較兩個角的大小，培養(yǎng)學(xué)生動手操作的能力。
2．理解角平分線的定義，并能借助角平分線的定義解決問題，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。
3．讓學(xué)生經(jīng)歷在現(xiàn)實情境中比較角的大小的數(shù)學(xué)活動過程，感受圖形世界的豐富多彩，增強審美意識，激發(fā)學(xué)生的求知欲。
重點
難點
1．什么是角？
舊知回顧
角是由兩條具有公共端點的射線組成的。角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的
2．角的單位如何進行換算？
1°＝60′，1′＝60″
情境引入
成功永遠屬于肯攀高峰的人，你會選擇從哪一面上山呢？為什么？
1
2
思考：如何比較∠1和∠2的大小？
探究新知
探究點1 角的比較及角的平分線的探究
問題1 你還記得怎樣比較線段的長短嗎？類似地，你能比較下圖中每組角的大小嗎？
（1）
（2）
（3）
Ⅰ. 角的比較
方法一
觀察法
通過觀察得知（1）中的∠AOB＞∠CO′D，
而（2）（3）中的兩個角的大小難以通過觀察得知。
（1）
（2）
（3）
無法直接觀察判斷的角度，可以用什么方法判斷呢？
方法二
度量法
用量角器量出它們的角度，再進行比較
B
C
A
E
F
D
70°
30°
∠ABC ＞∠DEF
方法三
疊合法
將兩個角的頂點及一條邊重合，另一條邊放在重合邊的同側(cè)比較大小
O
B
A
O'
D
C
O C在∠AOB內(nèi)部
O C與OA重合
O C在∠AOB外部
O
B
A
（D）
（O'）
C
O
B
A
（O'）
（D）
（C）
O
B
A
（O'）
（D）
C
∠AOB大于∠CO′D
記作∠AOB＞∠CO′D
∠AOB等于∠CO′D
記作∠AOB=∠CO′D
∠AOB小于∠CO′D
記作∠AOB＜∠CO′D
問題2
想一想，你能結(jié)合下圖說明什么是兩個角的和與差嗎？
O
A
C
B
∠AOC是∠AOB與∠BOC的和
記作 ∠AOC=∠AOB+∠BOC
O
A
C
B
∠AOB是∠AOC與∠BOC的差
記作 ∠AOB=∠AOC－∠BOC
∠BOC是∠AOC與∠AOB的差
記作 ∠BOC=∠AOC－∠AOB
O
A
C
B
共頂點的幾個角，可進行加減
【對應(yīng)訓(xùn)練】
如圖，用“>”“<”或“=”填空：
（1）∠AOC____∠AOB+∠BOC；
（2）∠AOC____∠AOB；
（3）∠BOD-∠BOC____∠COD；
（4）∠AOD____∠AOC+∠BOD；
（5）若∠AOB=∠COD，
則∠AOC____∠BOD。
＞
=
＜
=
=
問題3
（1）比較∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE 的大小，并指出其中的銳角、直角、鈍角、平角；
O
A
B
C
D
E
∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE
∠AOB是銳角，∠AOC是直角，∠AOD是鈍角，∠AOE是平角。
（2）試比較∠BOC和∠DOE的大小；
∠BOC＞∠DOE
Ⅱ. 角的平分線
O
A
B
C
D
E
（3）小亮通過折疊的方法，使 OD 與 OC 重合，OE 落在∠BOC的內(nèi)部，所以∠BOC＞∠DOE。你能理解這種方法嗎？
O
A
B
C
（D）
E
（4）請在圖中畫出小亮折疊的折痕 OF，∠DOF 與∠COF 有什么大小關(guān)系？
O
A
B
C
D
E
F
∠DOF = ∠COF
射線OF把∠COD進行了平分
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線。
角平分線的定義：
幾何語言：
O
B
A
C
如圖，射線 OC 是∠AOB 的平分線
這時，∠AOC =∠BOC = ∠AOB
（或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）
注意：角平分線滿足的三個條件
①從角的頂點引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分。
O
B
A
C
反之也成立：
如圖，∠AOC =∠BOC = ∠AOB
（或 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）
這時，射線 OC 是∠AOB 的平分線
拓展
如圖，射線 OB，OC在∠AOD 的內(nèi)部，若∠1=∠2=∠3。則OB，OC是∠AOD的三等分線。
類似地，還有四等分線、五等分線等。
【對應(yīng)訓(xùn)練】
【教材 P123隨堂練習(xí)第2題】
2. 如圖，OC 是 ∠AOB 的平分線，∠BOD = ∠COD，∠BOD = 15°，則 ∠COD = _____，∠BOC = _____，∠AOB = _____。
45°
30°
60°
操作·思考
問題4 （1）估計下圖中∠AOB，∠DEF的度數(shù)。
估計∠AOB≈60°,∠DEF≈105°
O
B
A
E
D
F
Ⅲ. 角度的估計
（2）量一量，驗證你的估計。
O
B
A
E
D
F
用量角器量得∠AOB≈61°,
∠DEF≈106°
【對應(yīng)訓(xùn)練】
【教材 P123隨堂練習(xí)第1題】
1.如圖，在點陣中有三個角。
（1）先估計每個角的大小，再用量角器量一量；
（2）找出三個角之間的等量關(guān)系。
解:(1)估計這三個角的度數(shù)分別為135°，45°，135°。再用量角器量出這三個角的度數(shù)，驗證估計準(zhǔn)確。
(2)這三個角之間存在著相等或互補的關(guān)系。
探究點2 用尺規(guī)作角
問題1
我們已經(jīng)知道可以通過移動其中一個角的方法比較兩個角的大小。如何移動一個角呢？比如，如何將圖①中的∠AOB 移動到圖②的位置，使 OA 與O′A′重合？
O
B
A
①
O′
A′
②
O
B
A
①
O′
A′
②
（1）請你用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具解決這一問題。
（2）如果只用尺規(guī)，如何解決這個問題？請你試一試，并與同伴進行交流。
圖①中的∠AOB 移動到圖②的位置，使 OA 與O′A′重合，這個角的大小由什么來決定？
這個角的大小由另一條邊的位置決定
例2 如圖，已知∠AOB ，用尺規(guī)作∠A′O′B′ ，使∠A′O′B′ = ∠AOB 。
O
B
A
作法：
①作射線O′A′
②以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于點C ，交OB 于點D
D
C
O′
A′
O
B
A
O′
A′
D
C
③以點O′為圓心，以O(shè)C的長為半徑作弧，交O′A′于點C′
④以點C′為圓心，以CD的長為半徑作弧，交前面的弧于點D′
C′
D′
⑤過點D′作射線O′B′
B′
∠A′O′B′ 就是所要作的角
作一個角等于已知角
操作·思考
如圖，已知∠AOB，∠EO′F，用尺規(guī)作圖比較它們的大小。你是怎樣做的？
O
B
A
O'
F
E
O
B
A
O'
F
可通過作一個角等于已知角的尺規(guī)作圖，將∠AOB移動到∠A′O′B′處，使∠ A′O′B′ =∠AOB，
E
A′
∠A′O′B′＞∠EO′F
∠AOB＞∠EO′F
【教材 P125隨堂練習(xí)第1題】
如圖，已知∠AOB ，請用尺規(guī)作∠A′O′B′ ，使∠ A′O′B′ = 2∠AOB 。
O
B
A
解：如圖，∠A'O'B'即為所求。
【對應(yīng)訓(xùn)練】
例 如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD的度數(shù)。
思路分析：
OB是∠AOC的平分線
∠AOB=40°
OD是∠COE的平分線
∠DOE=30°
∠BOC=40°
∠COD=30°
∠BOC+∠COD=∠BOD
解：因為OB是∠AOC的平分線，
所以∠BOC=∠AOB=40°。
因為 OD 是∠COE 的平分線，
所以∠COD=∠DOE=30°，
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°
例 如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，求∠BOD的度數(shù)。
【對應(yīng)訓(xùn)練】
如圖，∠AOB=60°，射線 OC，OD 是∠AOB 內(nèi)部的兩條射線。若∠AOC=10°：
（1）當(dāng)OD平分∠BOC時，則∠BOD=_______；
（2）當(dāng)∠BOD= ∠BOC 時，求∠AOD 的度數(shù)。
25°
解：因為∠AOB=60°，∠AOC=10°,
所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-10°=50°。
因為∠BOD= ∠BOC，
所以∠BOD=25°。
所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=60°-25°=35°。
知識點1 角的大小比較
1.用疊合法比較與的大小，把它們的頂點和邊 重合，
把它們的另一條邊和放在的同一側(cè)，若在 的內(nèi)部，
則( )
B
A. B.
C. D.無法確定
（第2題）
2.［教材P隨堂練習(xí)T 變式］如圖，正方形網(wǎng)格
中有 和 ，如果每個小正方形的邊長都為1，
估測 和 的大小關(guān)系為( )
A
A. B.
C. D.無法估測
知識點2 角的和差
3.如圖所示，_______， _______。
（第3題）
4.用一副三角尺按如圖方式放置，則 的大小為_____。
（第4題）
（第5題）
5.［教材習(xí)題 變式］如圖，
， ，則
的大小為( )
C
A. B. C. D.
（第6題）
6.如圖，已知點在點的北偏東 方向，點在點
的南偏西 方向，則 的度數(shù)為( )
A
A. B. C. D.
知識點3 角的平分線
（第7題）
7.如圖，是 的平分線，則下列等式中錯誤
的是( )
C
A. B.
C. D.
8.如圖，已知是直線上一點， ，平分，則 的
度數(shù)是( )
B
（第8題）
A. B. C. D.
9.（4分）［教材P隨堂練習(xí)T 變式］如圖，
，，平分 ，
求 的度數(shù)。
解：因為 ， ，
所以 ， 。
因為平分 ，
所以 。
10.如圖，利用一副三角尺比較與 的大小，則下列判斷正確
的是( )
B
A. B.
C. D.無法判斷
11. 已知 ， ，則 等于( )
D
A. B. 或 C. D. 或
12.［教材習(xí)題 變式］下列角度中，不能用一副三角尺畫出來的是
( )
C
A. B. C. D.
13.如圖，為直線上一點，是 的平分
線，在的內(nèi)部， ,
，則 的度數(shù)為( )
B
A. B. C. D.
14.（8分）如圖，射線，分別是和 的平分線，且
。
（1） 的度數(shù)為_____；
（2）當(dāng)在內(nèi)轉(zhuǎn)動時， 的度數(shù)是否會發(fā)生變化？簡單說
明理由。
解：當(dāng)在內(nèi)轉(zhuǎn)動時， 的度數(shù)不會發(fā)生變化。理由:
易得 ,
所以只要的大小不變，無論在內(nèi)怎樣轉(zhuǎn)動， 的度
數(shù)不會發(fā)生變化。
15.（8分）
【問題提出】
（1）如圖①，已知是內(nèi)的一條射線， ，
，則的度數(shù)為____ ；
20
【問題探究】
（2）如圖②，是內(nèi)的一條射線，若 ， 平分
， 。
①求 的度數(shù)；
解：因為，所以 ，
所以。因為平分 ，
所以。因為 ，
所以 ，所以 。
②若，求 的度數(shù)。
解：因為 ，所以 ，
。
如圖①，當(dāng)在 的內(nèi)部時，
；
如圖②，當(dāng)在 的內(nèi)部時，
。
綜上所述，的度數(shù)是 或 。
知識結(jié)構(gòu)
角的比較
角的比較
觀察法
移角
方法
度量法
疊合法
角的估計
用尺規(guī)作圖
角的
平分線
定義
角度數(shù)量關(guān)系及相關(guān)計算
謝謝觀看！

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