資源簡介

(共27張PPT)
4.2.3 尺規作角
第四章 基本平面圖形
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
4.2.3 尺規作角
一、情境導入
同學們，在前面的學習中，我們已經學會了角的定義、表示、度量以及比較 。那如果現在只給你一把沒有刻度的直尺和一個圓規，如何作出一個與已知角相等的角呢？這就需要用到我們今天要學習的4.2.3 尺規作角 。尺規作圖是數學中一種非常重要的作圖方法，它有著悠久的歷史和廣泛的應用，讓我們一起開啟這場幾何作圖的奇妙之旅吧！
二、尺規作圖簡介
（一）工具介紹
直尺：在尺規作圖中，直尺沒有刻度，主要用于連接兩點，作出直線、射線或線段 。它的作用是幫助我們確定圖形的方向和位置關系 。
圓規：圓規可以用來畫圓或弧，通過調整圓規兩腳間的距離，能夠確定圓的半徑或弧的半徑 。在作角的過程中，圓規起著關鍵的作用，用于截取相等的線段長度 。
（二）作圖要求
尺規作圖要求只能使用直尺和圓規這兩種工具，不能借助其他帶有刻度的測量工具，如量角器、三角板等 。
作圖過程要保留作圖痕跡，這些痕跡能夠清晰地展示我們的作圖思路和方法，方便檢查和交流 。
作圖要力求準確，雖然不能精確度量，但要盡量保證圖形的準確性 。
三、作一個角等于已知角
（一）作圖步驟
已知\(\angle AOB\)，求作\(\angle A'O'B'\)，使\(\angle A'O'B' = \angle AOB\) 。
步驟一：作射線：作射線\(O'A'\) 。這是新角的起始邊，確定了角的位置方向 。
步驟二：以點\(O\)為圓心：以點\(O\)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交\(OA\)，\(OB\)于點\(C\)，\(D\) 。這里的 “任意長” 要適中，方便后續操作 。
步驟三：以點\(O'\)為圓心：以點\(O'\)為圓心，\(OC\)長為半徑畫弧，交\(O'A'\)于點\(C'\) 。這樣就保證了在新的圖形中截取了與原圖形中相等的線段長度 。
步驟四：以點\(C'\)為圓心：以點\(C'\)為圓心，\(CD\)長為半徑畫弧，與步驟三中所畫的弧相交于點\(D'\) 。
步驟五：作射線：過點\(D'\)作射線\(O'B'\) 。則\(\angle A'O'B'\)就是所求作的角，即\(\angle A'O'B' = \angle AOB\) 。
原理分析：通過圓規截取相等的線段長度，利用全等三角形的判定定理 “邊邊邊”（SSS） 。在\(\triangle OCD\)和\(\triangle O'C'D'\)中，\(OC = O'C'\)，\(CD = C'D'\)，\(OD = O'D'\)（因為都是以相同半徑畫弧得到的），所以\(\triangle OCD\cong\triangle O'C'D'\)，根據全等三角形對應角相等，可得\(\angle AOB = \angle A'O'B'\) 。
（二）易錯點提醒
在使用圓規畫弧時，要注意圓規兩腳間的距離保持不變，否則會導致截取的線段長度不準確，從而影響所作角的準確性 。
作射線時，要注意射線的方向和位置，確保所作的角符合要求 。
保留作圖痕跡要清晰，不要因為作圖過程的混亂而影響最終的結果判斷 。
四、典型例題講解
（一）基本作圖
例題 1：已知\(\angle ABC\)，用尺規作一個角，使它等于\(\angle ABC\) 。
解：
作射線\(DE\)；
以點\(B\)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交\(BA\)，\(BC\)于點\(F\)，\(G\)；
以點\(D\)為圓心，\(BF\)長為半徑畫弧，交\(DE\)于點\(H\)；
以點\(H\)為圓心，\(FG\)長為半徑畫弧，與前面所畫的弧相交于點\(I\)；
過點\(I\)作射線\(DJ\)，則\(\angle EDJ\)就是所求作的角 。
（二）綜合應用
例題 2：已知\(\angle 1\)和\(\angle 2\)，用尺規作一個角，使它等于\(\angle 1 + \angle 2\) 。
解：
作射線\(OA\)；
用尺規作\(\angle AOB = \angle 1\)；
以\(OB\)為一邊，在\(\angle AOB\)的外部，用尺規作\(\angle BOC = \angle 2\)；
則\(\angle AOC\)就是所求作的角，即\(\angle AOC = \angle 1 + \angle 2\) 。
五、課堂練習
填空題
尺規作圖的工具是______ 和______ 。
作一個角等于已知角的依據是______ 。
用尺規作角時，要保留______ 。
選擇題
用尺規作角的過程中，圓規的主要作用是（ ）
A. 畫直線 B. 畫射線 C. 截取相等的線段長度 D. 確定角的頂點
下列關于尺規作圖的說法，錯誤的是（ ）
A. 可以作一條線段等于已知線段 B. 可以作一個角等于已知角 C. 可以作一條直線平分已知角 D. 作圖時要保留痕跡
解答題
已知\(\angle MPN\)，用尺規作一個角，使它等于\(\angle MPN\) 。
已知\(\angle \alpha\)和\(\angle \beta\)，用尺規作一個角，使它等于\(\angle \alpha - \angle \beta\)（\(\angle \alpha > \angle \beta\)） 。
如圖，已知\(\angle AOB\)，在\(\angle AOB\)的內部用尺規作射線\(OC\)，使\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB\) 。
（此處插入相應圖形）
六、課堂小結
回顧尺規作圖的工具和要求，明確直尺和圓規的作用以及作圖的規范 。
總結作一個角等于已知角的步驟和原理，強調在作圖過程中需要注意的易錯點 。
通過典型例題和課堂練習，讓同學們進一步掌握尺規作角的方法，鼓勵大家在課后多進行練習，提高尺規作圖的能力和準確性 。
七、課后作業
完成課本上對應本節內容的練習題，鞏固尺規作角的知識和技能 。
嘗試用尺規作一些特殊的角，如\(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\)、\(90^{\circ}\)等，并思考它們的作圖方法與作一般角的聯系和區別 。
思考：如何用尺規作一個角的平分線？嘗試根據所學知識進行探索，并寫出你的作圖步驟和思路 。
這份課件圍繞尺規作角展開教學，助力學生掌握這一幾何技能。你對課件中的內容講解、例題難度、練習設置等方面若有新想法，歡迎隨時交流，我們一起優化完善。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1．會用尺規作圖作一個角等于已知角，培養學生的動手操作能力。
2．會通過尺規作圖比較兩個角的大小，培養學生的觀察能力和總結能力。
3．通過尺規作圖，規范學生的作圖步驟，培養學生的規范性。
重點
難點
打臺球時，球的反射角總是等于入射角。
如右圖。紅球能否被擊入右下角的袋中？
你能畫出紅球在第一次反彈后的運動路
線嗎？
圖片導入
視頻導入
請同學們閱讀教材124－125頁，思考并回答以下問題。
1．①思考：如何用尺規作∠A′O′B′＝∠AOB
作法：如上圖，(1)作射線O′A′。(2)以點______為圓心，以________為半徑作弧，交OA于點C，交OB于點D。(3)以點______為圓心，以______的長為半徑作弧，交O′A′于點C′。
O
任意長
O′
OC
(4)以點______為圓心，以______的長為半徑作弧，交前面的弧于點D′。(5)過點______作射線_____。∠A′O′B′就是所要作的角。
歸納總結：無刻度的直尺的功能是畫________，圓規的功能是截取等長的________。
C′
CD
D′
O′B′
線
線段
2．①比較兩個角的大小的方法有哪些？
②思考：如圖，已知∠AOB和∠CDE，
如何用尺規作圖比較它們的大小？
度量法，疊合法
以點D為頂點，DE為一邊，作∠FDE＝∠AOB，并且使DF與DC在DE的同側，觀察射線DF的位置。若射線DF在∠CDE的內部，則∠AOB<∠CDE；若射線DF與射線DC重合，則∠AOB＝∠CDE；若射線DF在∠CDE的外部，則∠AOB>∠CDE
1．上面比較∠AOB和∠CDE的大小，除了作∠FDE＝∠AOB外，還
有別的方法嗎？
有。如圖，分別以點O，D為圓心，相同長度的長為半徑作弧，分別與OA，OB交于點P，Q，與DC，DE交于點M，N，比較線段PQ和線段MN的長短。若PQ＝MN，則∠AOB＝∠CDE；若PQ＞MN，則∠AOB＞∠CDE；若PQ＜MN，則∠AOB＜∠CDE
2．如圖，已知∠AOB，請用尺規作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB。
作圖如下：
小組展示
我提問
我回答
我補充
我質疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越優秀
(1)作射線O′A′；(2)以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于點C，交OB于點D；(3)以點O′為圓心，以OC的長為半徑作弧，交O′A′于點C′；(4)以點C′為圓心，以CD的長為半徑作弧，交前面的弧于點D′；(5)過點D′作射線O′B′。∠A′O′B′就是所要作的角。
知識點1：利用尺規作一個角等于已知角(重難點)
圓規兩腳間的距離固定不變，分別以兩個角的頂點為圓心作弧，分別交角的兩邊于兩點；再用圓規測量一個角上兩交點之間的距離，與另一個角上兩交點之間的距離比較，距離大的角大。
知識點2：利用尺規作圖比較角的大小(難點)
知識點3: 利用尺規作已知角的和差(難點)
1．作已知角∠1與∠2(∠1>∠2)的和：①作射線OA；②以O為頂
點作∠AOB＝∠1；③以O為頂點，在∠AOB外部作射線OC，
使∠BOC＝∠2。∠AOC即為所求。
2．作已知角∠1與∠2(∠1>∠2)的差：①作射線OA；②以O為頂
點作∠AOB＝∠1；③以O為頂點，在∠AOB內部作射線OC，
使∠AOC＝∠2。∠BOC即為所求。
【題型一】根據尺規作圖的痕跡進行判斷
例1：如圖，用直尺和圓規作∠PCD＝∠AOB，作圖痕跡中，弧MN是
(　 　)
A．以點C為圓心，OE的長為半徑的弧
B．以點C為圓心，EF的長為半徑的弧
C．以點G為圓心，OE的長為半徑的弧
D．以點G為圓心，EF的長為半徑的弧
D
例2：如圖，已知∠α、∠β，利用尺規作∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β。(不寫作法，保留作圖痕跡)
【題型二】尺規作角
解：如圖，∠AOB即為所求作。
知識點 用尺規作一個角等于已知角
（第1題）
1.［2025太原月考］如圖，點在 的邊
上，用尺規作出了 ，在作圖
痕跡中，弧 是( )
D
A.以點為圓心，為半徑的弧 B.以點為圓心， 為半徑的弧
C.以點為圓心，為半徑的弧 D.以點為圓心， 為半徑的弧
2.求作一個角等于已知角 。如圖，根據圖形，補全作法。
（第2題）
（1）作射線_____；
（2）以_____為圓心，________為半徑
畫弧，交于點，交于點 ；
點
任意長
（3）以_____為圓心，_______________
______________為半徑畫弧，交 于點
；
點
的長
（或的長）
（4）以______為圓心，________為半徑畫弧，交前面的弧于點 ；
點
的長
（5）過_____作射線 。
則 就是所求作的角。
點
3.（4分）［2025成都月考］如圖，已知 ， ，用尺規作 ，
使 。
解：如圖， 即為所作。
（第4題）
4.如圖，已知。①以點 為圓心，任意長為半徑畫
弧，交于點，交于點；②以點為圓心，
的長為半徑畫弧，交已畫的弧于點；③作射線 。
那么下列角的數量關系不正確的是( )
B
A. B.
C. D.
5.如圖， ， ，根據圖中尺規作圖的痕跡，
可知 的度數為_____。
（第5題）
6.（4分）［教材P隨堂練習T變式］如圖，已知， ，求作一個
角，使它等于 。（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：如圖， 就是所求的角。
7.（4分）如圖，在一張地圖上有，，三個城市，其中城市 的位置
被墨跡污染了，但知道， ，請你在圖中確定城市
的具體位置。（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，標明字母，不寫作法）
解：如圖，點 即為所求。
同學們，我們本節課主要學習了哪些內容？
用尺規作一個角等于已知角，以及用尺規作已知角的和差
同學們，要熟悉用尺規作一個角等于已知角的作法，雖然不用寫出，但是我們要能用語言描述出來。
謝謝觀看！

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