資源簡介

(共43張PPT)
4.3 多邊形和圓的初步認識
第四章 基本平面圖形
【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
4.3 多邊形和圓的初步認識
一、情境導(dǎo)入
同學(xué)們，在之前的學(xué)習(xí)中，我們探索了線段、角的奧秘，也學(xué)會了用尺規(guī)作角 。當(dāng)我們環(huán)顧四周，會發(fā)現(xiàn)生活中有許多形狀各異的物體：五星紅旗上的五角星、自行車的車輪、建筑中的窗戶…… 這些物體的形狀都與我們今天要學(xué)習(xí)的4.3 多邊形和圓密切相關(guān) 。它們有著怎樣獨特的性質(zhì)和特點呢？讓我們一起走進多邊形和圓的世界，去揭開它們的神秘面紗。
二、多邊形的初步認識
（一）多邊形的定義
由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形叫做多邊形 。例如三角形、四邊形、五邊形等都是多邊形 。通過在黑板或課件上畫出不同邊數(shù)的多邊形，讓學(xué)生直觀感受多邊形的構(gòu)成。強調(diào) “不在同一直線上”“首尾順次相連”“封閉” 等關(guān)鍵要素，比如一條折線由于不封閉就不是多邊形，幾條在同一直線上的線段連接起來也不符合多邊形的定義 。
展示生活中多邊形的實例圖片，如三角形的路標、四邊形的桌面、六邊形的螺母等，讓學(xué)生進一步理解多邊形在實際生活中的廣泛存在，加深對定義的印象 。
（二）多邊形的相關(guān)概念
邊：組成多邊形的每一條線段叫做多邊形的邊 。如三角形有\(zhòng)(3\)條邊，四邊形有\(zhòng)(4\)條邊 。
頂點：相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 。三角形有\(zhòng)(3\)個頂點，四邊形有\(zhòng)(4\)個頂點 。
內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角 。
對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線 。以四邊形為例，通過畫圖演示，讓學(xué)生清楚看到從一個頂點出發(fā)可以引出\(1\)條對角線，四邊形共有\(zhòng)(2\)條對角線 。進一步推導(dǎo)，從\(n\)邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出\((n - 3)\)條對角線，\(n\)邊形對角線的總條數(shù)為\(\frac{n(n - 3)}{2}\) 。
（三）多邊形的分類
按照邊數(shù)的多少，多邊形可分為三角形、四邊形、五邊形、六邊形…… 其中三角形是最基本的多邊形，其他多邊形都可以通過分割成若干個三角形來研究其性質(zhì) 。
還可以根據(jù)多邊形的邊、角是否都相等，分為正多邊形和一般多邊形 。各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形，如正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）等 。展示正多邊形和一般多邊形的對比圖形，讓學(xué)生觀察它們的差異 。
三、圓的初步認識
（一）圓的定義
動態(tài)定義：在一個平面內(nèi)，線段\(OA\)繞它固定的一個端點\(O\)旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點\(A\)所形成的圖形叫做圓 。固定的端點\(O\)叫做圓心，線段\(OA\)叫做半徑，通常用字母\(r\)表示 。通過動畫演示線段繞端點旋轉(zhuǎn)形成圓的過程，幫助學(xué)生理解圓的動態(tài)形成原理 。
集合定義：圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點的集合 。定點就是圓心，定長就是半徑 。從集合的角度解釋圓，讓學(xué)生明白圓上的每一個點都滿足到圓心的距離等于半徑這一特性 。
（二）圓的相關(guān)概念
弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦 。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓中最長的弦，通常用字母\(d\)表示，且\(d = 2r\) 。
弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧 。圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧 。通過在圓中畫出不同的弦、弧，標注名稱，讓學(xué)生直觀認識這些概念 。
扇形：由一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形 。圓心角是指頂點在圓心的角，扇形的大小與圓心角的大小和半徑的長短有關(guān) 。
四、典型例題講解
（一）多邊形相關(guān)
例題 1：一個多邊形從一個頂點出發(fā)有\(zhòng)(5\)條對角線，這個多邊形是幾邊形？
解：設(shè)這個多邊形有\(zhòng)(n\)條邊，根據(jù)從\(n\)邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出\((n - 3)\)條對角線，可列方程\(n - 3 = 5\)，解得\(n = 8\) 。所以這個多邊形是八邊形 。
例題 2：下列圖形中，是正多邊形的是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 長方形 D. 正方形
解：正多邊形要求各邊相等、各角也相等。直角三角形和等腰三角形的邊和角不一定都相等；長方形的邊不一定都相等；正方形的四條邊相等，四個角都是直角也相等，符合正多邊形定義，所以答案選 D 。
（二）圓相關(guān)
例題 3：已知圓的半徑\(r = 3\)厘米，求圓的直徑\(d\)和周長\(C\)（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
解：因為\(d = 2r\)，\(r = 3\)厘米，所以\(d = 2 3 = 6\)厘米 。圓的周長公式\(C = 2\pi r\)，則\(C = 2 3.14 3 = 18.84\)厘米 。
例題 4：如圖，扇形\(AOB\)的圓心角為\(60^{\circ}\)，半徑為\(4\)厘米，求扇形的面積（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
（此處插入扇形\(AOB\)的圖形）
解：扇形面積公式為\(S = \frac{n\pi r^2}{360}\)（\(n\)為圓心角度數(shù)，\(r\)為半徑） 。把\(n = 60^{\circ}\)，\(r = 4\)厘米，\(\pi = 3.14\)代入公式，可得\(S = \frac{60 3.14 4^2}{360} 8.37\)平方厘米 。
五、課堂練習(xí)
填空題
由一些不在同一條直線上的線段______ 相連組成的封閉平面圖形叫做多邊形 。
圓上任意兩點間的部分叫做______ ，大于半圓的弧叫做______ 。
從七邊形的一個頂點出發(fā)，可以引出______ 條對角線，七邊形對角線的總條數(shù)為______ 。
選擇題
下列圖形中，是多邊形的是（ ）
A. 圓 B. 扇形 C. 三角形 D. 弧
一個圓的直徑是\(10\)厘米，它的半徑是（ ）
A. \(20\)厘米 B. \(15\)厘米 C. \(10\)厘米 D. \(5\)厘米
解答題
一個多邊形的對角線總條數(shù)為\(9\)條，求這個多邊形的邊數(shù) 。
已知一個扇形的半徑為\(6\)厘米，圓心角為\(90^{\circ}\)，求該扇形的弧長（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
如圖，在一個半徑為\(5\)厘米的圓中，有一條弦\(AB\)，\(AB = 6\)厘米，求圓心\(O\)到弦\(AB\)的距離 。
（此處插入相應(yīng)圖形）
六、課堂小結(jié)
回顧多邊形的定義、相關(guān)概念、分類，重點強調(diào)多邊形的構(gòu)成要素和對角線的計算方法 。
總結(jié)圓的定義、相關(guān)概念，以及圓的一些基本計算公式，如直徑與半徑的關(guān)系、周長和面積公式，扇形的面積公式等 。
通過典型例題和課堂練習(xí)，提醒同學(xué)們在解決多邊形和圓的問題時，要準確運用相關(guān)概念和公式，鼓勵大家課后多觀察生活中的多邊形和圓，加深對知識的理解和應(yīng)用 。
七、課后作業(yè)
完成課本上對應(yīng)本節(jié)內(nèi)容的練習(xí)題，鞏固多邊形和圓的相關(guān)知識 。
用彩紙剪出不同的多邊形和圓，測量它們的相關(guān)數(shù)據(jù)（如多邊形的邊長、圓的半徑等），并計算周長或面積 。
思考：如何用圓規(guī)和直尺畫一個正六邊形？嘗試探索并寫出你的方法 。
這份課件全面介紹了多邊形和圓的初步知識，旨在幫助學(xué)生打好幾何學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。你對課件的內(nèi)容編排、講解方式、例題難度等方面有任何想法，都能隨時和我說，我們一起完善。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1．在具體情境中認識多邊形和圓，了解與多邊形和圓有關(guān)的概念，會計算扇形圓心角的度數(shù)，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。
2．經(jīng)歷從現(xiàn)實世界中抽象出平面圖形的過程，感受圖形世界的豐富多彩，在豐富的活動中訓(xùn)練發(fā)散思維和邏輯思維。
3．結(jié)合本課教學(xué)特點，教育學(xué)生熱愛生活，熱愛學(xué)習(xí)，體驗數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
重點
難點
圖片導(dǎo)入
觀察圖片，你能發(fā)現(xiàn)哪些熟悉的平面圖形？
情境引入
觀察圖片，你能發(fā)現(xiàn)哪些熟悉的平面圖形？與同伴進行交流。
能發(fā)現(xiàn)圓、三角形、四邊形、五邊形、六邊形等
探究新知
探究點1 多邊形的初步認識
問題1
三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形。這些圖形是由什么樣的線按怎樣的方式組成的？如何對多邊形進行定義？
由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形叫作多邊形
注意：如沒有特別說明，本書所說的多邊形都是指凸多邊形，即多邊形總在其任意一條邊所在直線的同一側(cè)。
A
B
C
D
E
問題2
觀察下面這個多邊形中的一些點、角、線段等元素，回憶以前學(xué)過的知識，想一想這些都是什么？
頂點：相鄰兩條邊的公共端點
點A，B，C，D，E
五邊形ABCDE
注意：表示多邊形時，先寫出多邊形的名稱，再按照順時針或逆時針的順序依次寫出各頂點的字母
A
B
C
D
E
邊：組成多邊形的各條線段
線段AB，BC，CD，DE，EA
內(nèi)角：相鄰兩條邊所組成的角
∠EAB，∠ABC ，∠BCD ，∠CDE，∠DEA
對角線：連接不相鄰兩個頂點的線段
線段AC，AD
A
B
C
D
E
問題3
你還能畫出圖中其他對角線嗎？
線段BD，BE，CE
問題4
（1）n邊形有多少個頂點、多少條邊、多少個內(nèi)角？
多邊形 … n邊形
頂點數(shù) …
邊數(shù) …
內(nèi)角數(shù) …
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
n
n
n
觀察
歸納
猜想
（2）過n邊形的每個頂點有幾條對角線？
多邊形 … n邊形
邊數(shù) …
對角線條數(shù) …
4
5
6
n
1
2
3
n-3
過n邊形的每個頂點有（n-3）條對角線
【對應(yīng)訓(xùn)練】
1.下列圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
2.從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出4條對角線，則n為______。
七
觀察·交流
觀察下圖中的多邊形，它們的邊、角有什么特點？與同伴進行交流。
圖形 三角形 四邊形 五邊形 六邊形 八邊形
各邊關(guān)系
各內(nèi)角度數(shù)關(guān)系
各邊相等
各邊相等
各邊相等
各邊相等
各邊相等
各角相等，都是60°
各角相等，都是90°
各角相等，都是108°
各角相等，都是120°
各角相等，都是135°
各邊相等、各角也相等的多邊形叫作正多邊形
兩個條件缺一不可
正三角形
正四邊形（正方形）
正五邊形
正六邊形
正八邊形
【對應(yīng)訓(xùn)練】
【教材 P130隨堂練習(xí)第1題】
現(xiàn)實生活中有許多正多邊形的實例，試舉出兩例。
解：如在生活中用正六邊形的地板磚鋪地面，六角螺母的上下兩個底面外輪廓是正六邊形或用正多邊形設(shè)計圖案。
探究點2 圓的初步認識
問題1
（1）下面的圖形中有我們熟悉的圓和扇形，你還記得用哪些方法可以畫一個圓嗎？
（2）你能用一根細繩和筆畫出一個圓嗎？
問題2
回憶小學(xué)時學(xué)過的有關(guān)圓的知識，說一說圓的相關(guān)要素是如何定義的？
圓：平面上，一條線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形
A
O
圓心：固定的端點O
半徑：線段OA
A
O
B
圓弧：圓上任意兩點 A，B 間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作 ，讀作“圓弧 AB ”或“弧 AB ”
弧有兩個端點，是一條曲線
圓心角
扇形：由一條弧 AB 和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑 OA，OB 所組成的圖形
圓心角：頂點在圓心的角
例 將一個圓分割成三個扇形，它們的圓心角的度數(shù)比為1:2:3，求這三個扇形的圓心角的度數(shù)。
解：因為一個周角為360°，所以分成的三個扇形的圓心角分別是
將一個圓分割成若干個扇形，這些扇形的圓心角度數(shù)之和等于 360°，所以每一個扇形圓心角的度數(shù)=360°×這個扇形的圓心角占周角的百分比。
【教材 P129例題】
問題3
（1）如圖，將一個圓分成三個大小相同的扇形，你能算出它們的圓心角的度數(shù)嗎？你知道每個扇形的面積和整個圓的面積的關(guān)系嗎？
三個大小相同的扇形
每個扇形的圓心角都是 120°
每個扇形的面積都是圓面積的
（2）畫一個半徑是2 cm的圓，并在其中畫一個圓心角為60°的扇形，你會計算這個扇形的面積嗎？與同伴進行交流。
60°
一個周角為360°
圓心角為60°的扇形面積是圓面積的 ，
扇形的面積
π×22× = π（cm2）
在同一個圓中，扇形的面積比即為圓心角的度數(shù)之比
【對應(yīng)訓(xùn)練】
1.下列各圖中，∠AOB是圓心角的是（ ）
A
A
B
C
D
【教材 P130隨堂練習(xí)第2題】
2. 如圖，將一個圓分割成三個扇形，求這三個扇形的圓心角的度數(shù)。
360°×20% = 72°
360°×30% = 108°
360°×50% = 180°
解：因為一個周角為360°，
所以扇形AOB的圓心角的度數(shù)為
扇形AOC的圓心角的度數(shù)為
扇形BOC的圓心角的度數(shù)為
例 在多邊形中，三角形是最基本的圖形，每一個多邊形都可以被分割成若干個三角形。如圖，數(shù)一數(shù)每一個多邊形中三角形的個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？按這種分割方式，n邊形可以分割成多少個三角形？
四邊形被分成兩個三角形
五邊形被分成三個三角形
六邊形被分成四個三角形
n邊形可以分割成（n-2）個三角形
【對應(yīng)訓(xùn)練】
如圖，將多邊形分割成三角形，圖①中可分割出2個三角形，圖②中可分割出3個三角形，圖③中可分割出4個三角形……按照這種分割方式，n邊形可以分割出多少個三角形？
n邊形可以分割成（n-1）個三角形
知識點1 多邊形及其相關(guān)概念
1.下列圖形中，屬于多邊形的是( )
C
A. B. C. D.
2.［2025咸陽期末］過八邊形的一個頂點可以作出對角線的條數(shù)是
( )
A
A.5 B.4 C.6 D.7
3.一個正五邊形的邊長為6，則其周長為____。
30
4.［教材嘗試·思考變式］ 邊形有___個頂點，___條邊，___個內(nèi)角，
過邊形的每一個頂點有________條對角線，此時將 邊形分割成
_________個三角形。
知識點2 圓
5.下列條件中，能確定一個圓的是( )
D
A.以點為圓心 B.以 長為半徑
C.經(jīng)過已知點 D.以點為圓心， 長為半徑
6.下列圖形中的角是圓心角的是( )
B
A. B. C. D.
7.［教材P隨堂練習(xí)T 變式］一個圓中有甲、乙、丙三個扇形，其中
甲、乙占總面積的百分比如圖所示，則扇形丙的圓心角的度數(shù)是______。
8.［教材習(xí)題變式］已知在圓中圓心角度數(shù)為 ，半徑為10，
則這個圓心角所在扇形的面積為_____。
9.把一張形狀是四邊形的紙片剪去其中一個角，剩下部分的形狀不可能
是( )
A
A.六邊形 B.五邊形 C.四邊形 D.三角形
10.從多邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，這些對角線把這個多邊形分割
成了15個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是____。
17
11.（8分）［教材 例題變式］把一個半徑為2的圓分成三個扇形，使
它們的圓心角的度數(shù)之比為 。
（1）求這三個扇形的圓心角的度數(shù)；
解：, , ，
。
答：這三個扇形的圓心角的度數(shù)分別是 ， ， 。
（2）求這三個扇形的面積（結(jié)果保留 ）。
解： ， ， ， 。
答：這三個扇形的面積分別是 ，
， 。
12.觀察、探究及應(yīng)用。
（1）觀察下面圖形并填空：
一個四邊形有___條對角線；一個五邊形有___條對角線；一個六邊形有
___條對角線；一個七邊形有____條對角線；
2
5
9
14
（2）分析探究：由凸 邊形的一個頂點出發(fā)，可作________條對角線;
多邊形有 個頂點，若允許重復(fù)計數(shù)，共可作_________條對角線；
（3）結(jié)論：一個凸 邊形有_ ______條對角線；
（4）應(yīng)用：一個凸十二邊形有____條對角線。
54
知識結(jié)構(gòu)
多邊形和圓的初步認識
多邊形
多邊形的相關(guān)概念
正多邊形的概念
圓
圓的相關(guān)概念
扇形
扇形的概念
圓心角
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