資源簡介

(共41張PPT)
5.1 認識方程
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
5.1 認識方程
一、教學目標
知識與技能目標
學生能準確理解方程的概念，明晰方程與等式的區別和聯系。
能夠熟練識別一元一次方程，并依據具體問題情境列出方程。
深入理解方程的解的意義，學會檢驗給定值是否為方程的解。
過程與方法目標
經歷從實際問題中抽象出數量關系、構建方程模型的過程，提升分析問題和解決問題的能力。
通過對比算術方法與方程方法，體會方程在解決問題時的優勢，培養代數思維。
情感態度與價值觀目標
感受數學與生活的緊密聯系，體會數學在解決實際問題中的重要作用，增強學習數學的興趣和應用數學的意識。
在小組合作交流中，培養團隊協作精神和表達能力。
二、教學重難點
教學重點
深刻理解方程、一元一次方程的概念，掌握列方程的方法。
明確方程的解的含義，能準確檢驗方程的解。
教學難點
從復雜的實際問題中精準找出等量關系，列出正確的方程。
體會方程思想，實現從算術思維到代數思維的轉變。
三、教學方法
講授法：清晰講解方程、一元一次方程等重要概念，明確其定義和關鍵特征，使學生準確理解基礎知識。
問題導向法：通過呈現一系列生活中的實際問題，引導學生分析問題中的數量關系，激發學生的思考，促使學生主動探索如何用方程解決問題。
小組合作法：組織學生進行小組討論，針對實際問題共同探討解決方案，在交流中相互啟發，培養學生的合作能力和思維能力。
練習鞏固法：設計多樣化的練習題，讓學生在練習中加深對概念的理解，熟練掌握列方程和解方程的方法，及時反饋學習效果。
四、教學過程
（一）情景導入
展示問題：在班級秋游活動中，全體學生和老師共購買了 45 張門票，學生票每張 10 元，成人票每張 15 元，師生總票款為 475 元。你知道學生和老師的人數分別是多少嗎？購買學生票和成人票的票款分別是多少？
引導分析
提問：這個問題涉及哪些量？它們之間有怎樣的等量關系？
學生思考后回答，教師總結：涉及的量有學生人數、老師人數、學生票款、成人票款。等量關系為：①學生人數 + 老師人數 = 門票總數；②學生人數 × 學生票價 = 學生票款；③老師人數 × 成人票價 = 成人票款；④學生票款 + 成人票款 = 總票款。
設未知數嘗試解決
設學生人數為\(x\)，讓學生嘗試用含\(x\)的代數式表示師生總票款。
學生交流討論，得出師生總票款為\(10x + 15(45 - x)\)。
進一步引導學生根據總票款為 475 元，得到表示量相等的式子\(10x + 15(45 - x) = 475\) 。
（二）新知探究
呈現更多實際問題，加深對列方程的理解
問題 1：某長方形操場的面積是 5850 \(m^2\)，長比寬多 25 m。
引導學生分析涉及的量及等量關系。涉及的量有長方形操場的面積、長、寬。等量關系為：面積 = 長 × 寬，長 = 寬 + 25 m。
設這個操場的寬為\(x\) m，讓學生表示操場的面積，得出\(x(x + 25)\) 。
進而得到表示量相等的式子\(x(x + 25) = 5850\) 。
問題 2：甲、乙兩地相距 22 km，張叔叔從甲地出發到乙地，每小時比原計劃多走 1 km，因此提前 12 min 到達乙地。
幫助學生梳理涉及的量及等量關系。涉及的量有甲、乙兩地的距離、原計劃的速度、實際的速度、提前到達的時間。等量關系為：實際的速度 = 原計劃的速度 + 1 km/h，提前到達的時間 = 甲、乙兩地的距離 ÷ 原計劃的速度 - 甲、乙兩地的距離 ÷ 實際的速度。
設張叔叔原計劃每小時走\(x\) km，讓學生嘗試表示他比原計劃提前的時間，經過思考和交流，得出\(\frac{22}{x} - \frac{22}{x + 1}\) （注意單位換算，12 min = \(\frac{12}{60}\) h = \(\frac{1}{5}\) h ） 。
得到表示量相等的式子\(\frac{22}{x} - \frac{22}{x + 1} = \frac{1}{5}\) 。
方程的定義
引導學生觀察\(10x + 15(45 - x) = 475\) 、\(x(x + 25) = 5850\) 、\(\frac{22}{x} - \frac{22}{x + 1} = \frac{1}{5}\) 這些式子，提問它們有什么共同特點。
學生思考回答后，教師總結：像這樣含有未知數的表示量相等的等式稱為方程。強調方程必須滿足兩個條件，一是等式，二是含有未知數，兩者缺一不可。同時指出方程中的未知數可以用\(x\)表示，也可以用其他字母表示，并且方程中可含多個未知數。
進行小練習，判斷下列式子是否為方程：
\(3x - 5\) （不是，因為它不是等式）
\(2 + 3 = 5\) （不是，因為它不含有未知數）
\(4y + 7 = 15\) （是）
\(x^2 - 3x + 2 = 0\) （是）
一元一次方程的概念
讓學生觀察方程\(10x + 15(45 - x) = 475\) 、\(2x + 3 = 7x + 4\) ，思考它們還有哪些特殊之處。
引導學生發現這些方程只含有一個未知數，且方程中的代數式都是整式，未知數的次數都是 1 。
給出一元一次方程的定義：在一個方程中，只含有一個未知數，且方程中的代數式都是整式，未知數的次數都是 1，這樣的方程叫作一元一次方程。
舉例鞏固，判斷以下方程是否為一元一次方程：
\(3x - 1 = 2x + 5\) （是）
\(x^2 + 2x - 3 = 0\) （不是，因為未知數的最高次數是 2）
\(\frac{1}{x} + 3 = 5\) （不是，因為\(\frac{1}{x}\)不是整式）
\(3y + 2 = 5y - 1\) （是）
方程的解與解方程
提出問題：你能求出滿足方程\(10x + 15(45 - x) = 475\) 的未知數\(x\)的值嗎？引導學生先將方程左邊的式子化簡，得到\(10x + 15(45 - x) = 10x + 675 - 15x = 675 - 5x\) 。
回顧代數式求值的知識，讓學生嘗試代入不同的\(x\)值，看是否能使方程左右兩邊相等。通過計算，當\(x = 40\)時，左邊 = \(675 - 5 40 = 675 - 200 = 475\) ，右邊 = 475，方程左右兩邊相等。
給出方程的解的定義：使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解。求方程的解的過程稱為解方程。
進行練習，判斷\(x = 3\)是否為方程\(2x + 5 = 11\) 的解。將\(x = 3\)代入方程左邊，\(2 3 + 5 = 6 + 5 = 11\) ，右邊 = 11，左邊 = 右邊，所以\(x = 3\)是方程\(2x + 5 = 11\) 的解。
（三）例題講解
例 1：根據題意列出方程
一個數的\(\frac{1}{2}\)與 3 的差等于最大的一位數，求這個數。設這個數為\(x\) ，則可列方程為\(\frac{1}{2}x - 3 = 9\) 。
小穎栽種了一株高為 40 cm 的樹苗，在栽種后的一段時間內，樹苗每周長高約 5 cm。按照這樣的速度，大約幾周后樹苗長高到 1 m ？設\(x\)周后長到 1 m（注意單位換算，1 m = 100 cm），可列方程為\(40 + 5x = 100\) 。
從正方形的鐵皮上，截去一個 2 cm 寬的長方形條，余下的面積是 80 \(cm^2\) ，那么原來的正方形鐵皮的邊長是多少？設原來正方形鐵皮的邊長是\(x\) cm，則可列方程為\(x^2 - 2x = 80\) 。
例 2：判斷下列方程是否為一元一次方程
\(3x - 2 = 2x + 1\) （是一元一次方程，只含有一個未知數\(x\) ，且未知數次數為 1，代數式都是整式）
\(x^2 - 4x + 3 = 0\) （不是一元一次方程，因為未知數\(x\)的最高次數是 2）
\(\frac{2}{x} + 3 = 5\) （不是一元一次方程，因為\(\frac{2}{x}\)不是整式）
\(4y - 5 = 3y + 2\) （是一元一次方程）
例 3：已知\(x = 2\)是方程\(3x - a = 5\) 的解，求\(a\)的值。
分析：因為\(x = 2\)是方程的解，所以將\(x = 2\)代入方程中，方程左右兩邊相等。
解答：把\(x = 2\)代入方程\(3x - a = 5\) ，得到\(3 2 - a = 5\) ，即\(6 - a = 5\) ，移項可得\(a = 6 - 5 = 1\) 。
（四）課堂練習
基礎練習
下列式子中，是方程的是（ ）
A. \(2x + 3\) B. \(3 + 5 = 8\) C. \(x + 2 = 7\) D. \(4x - 3 > 0\)
答案：C
方程\(3x - 5 = 7\)中，未知數是______ ，方程的解是______ 。
答案：\(x\) ；\(x = 4\)
根據下列條件列出方程
某數的\(3\)倍比它的\(2\)倍大\(1\)，設這個數為\(x\) ，則可列方程為______ 。
答案：\(3x - 2x = 1\)
一個長方形的長為\(x\) cm，寬比長少 3 cm，面積為\(40\) \(cm^2\) ，則可列方程為______ 。
答案：\(x(x - 3) = 40\)
提高練習
已知方程\((m - 2)x^{|m| - 1} + 3 = 5\)是關于\(x\)的一元一次方程，則\(m\)的值為______ 。
分析：因為是一元一次方程，所以未知數\(x\)的次數\(|m| - 1 = 1\) ，且系數\(m - 2 \neq 0\) 。
解答：由\(|m| - 1 = 1\) ，可得\(|m| = 2\) ，\(m = \pm 2\) ，又因為\(m - 2 \neq 0\) ，即\(m \neq 2\) ，所以\(m = - 2\) 。
若方程\(2x + a = 1\)與方程\(3x - 1 = 2x + 2\)的解相同，求\(a\)的值。
分析：先求出方程\(3x - 1 = 2x + 2\)的解，再將解代入方程\(2x + a = 1\)中求\(a\)的值。
解答：解方程\(3x - 1 = 2x + 2\) ，移項可得\(3x - 2x = 2 + 1\) ，\(x = 3\) 。把\(x = 3\)代入方程\(2x + a = 1\) ，得\(2 3 + a = 1\) ，\(6 + a = 1\) ，解得\(a = - 5\) 。
拓展練習
某商場購進一批服裝，每件進價為 200 元，由于換季滯銷，商場決定將這種服裝按標價的六折銷售，若打折后每件服裝仍能獲利 20% ，則該服裝標價是多少元？設該服裝標價是\(x\)元，可列方程為______ 。
分析：利潤 = 售價 - 進價，售價為標價的六折即\(0.6x\) ，進價為 200 元，利潤為\(200 20\%\) 。
解答：可列方程為\(0.6x - 200 = 200 20\%\) 。
某工廠計劃生產一批零件，原計劃每天生產 40 個，實際每天生產 50 個，結果提前 3 天完成任務。求原計劃生產的天數。設原計劃生產\(x\)天，可列方程為______ 。
分析：零件總數 = 每天生產個數 × 生產天數，原計劃生產的零件總數為\(40x\) ，實際生產的天數為\((x - 3)\)天，實際生產的零件總數為\(50(x - 3)\) ，因為零件總數不變，所以可列方程。
解答：可列方程為\(40x = 50(x - 3)\) 。
（五）課堂小結
與學生一起回顧本節課的重點內容
方程的定義：含有未知數的表示量相等的等式。
一元一次方程的概念：只含有一個未知數，且方程中的代數式都是整式，未知數的次數都是 1 的方程。
方程的解：使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值。
解方程：求方程的解的過程。
強調從實際問題中找出等量關系列方程的重要性，鼓勵學生在生活中多運用方程思想解決問題，實現從算術思維到代數思維的轉變。
（六）布置作業
必做題
課本課后練習題，進一步鞏固方程、一元一次方程的概念以及列方程的方法。
已知關于\(x\)的方程\(2x + 3 = 4x - a\)的解是\(x = 2\) ，求\(a\)的值。
選做題
某商店有兩種書包，每個小書包比大書包的進價少 10 元，而它們的售后利潤額相同。其中，每個小書包的利潤率為 30% ，每個大書包的利潤率為 20% ，試求兩種書包的進價。
甲、乙兩人騎自行車，同時從相距 65 km 的兩地相向而行，甲的
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1．通過對問題情境的分析，讓學生逐步掌握分析實際問題的一般方法，感受方程作為刻畫現實世界有效模型的意義，提高學生的應用意識。
2．通過觀察、分析、歸納一元一次方程的相關概念，培養學生的抽象能力。
3．鼓勵學生進行觀察思考，利用已掌握的知識辨析相關問題，培養合作交流的意識和能力。
重點
難點
游戲導入
師：請同學們隨便想一個你熟悉的朋友的年齡。
(1)將這個人的年齡乘2減5，把結果告訴老師，老師就能猜出你想的那個人的年齡。
(2)將這個人的年齡乘2減5，再把結果乘2加8，把最終的結果告訴老師，老師能夠迅速猜出你想的那個人的年齡，大家信不信？不信試一試。
我國古代數學著作《九章算術》中，有一個著名的“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔. 從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳. 雞和兔各有幾只 你能用小學學過的算術方法解決這個問題嗎
解法一 雞：(35×4-94) ÷2=23（只）
兔：35-23=12（只）.
解法二 兔：(94-35×2) ÷2=12（只）
雞： 35-12=23 （只）
創設情境，導入新課
問題1：
在班級秋游活動中，全體學生和老師共購買了45張門票，學生票每張10元，成人票每張15元，師生總票款為475元. 你知道學生和老師的人數分別是多少嗎 購買學生票和成人票的票款分別是多少
(1)這個問題涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
(2)如果設學生人數為x，那么師生總票款可以用含x的代數式表示為____.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子
探究點1：根據問題列方程
合作交流，探究新知
問題1：在班級秋游活動中，全體學生和老師共購買了45張門票，學
生票每張10元，成人票每張15元，師生總票款為475元. 你知道學生和老師的人數分別是多少嗎 購買學生票和成人票的票款分別是多少
(1)這個問題涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
涉及的量：學生人數、老師人數、學生票款、成人票款.
在班級秋游活動中，全體學生和老師共購買了45張門票，學生票每
張10元，成人票每張15元，師生總票款為475元。你知道學生和老師的人數分別是多少嗎 購買學生票和成人票的票款分別是多少
(2)如果設學生人數為x，那么師生總票款可以用含x的代數式表示為_____.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子
（2）10x+15(45-x)
（3）10x+15(45-x)=475
問題2
某長方形操場的面積是5850 m2，長比寬多25 m.
(1)這個情境涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
(2)如果設這個操場的寬為x m，那么操場的面積可以用含x的代數式表示為_______.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子
問題2：某長方形操場的面積是5850 m2，長比寬多25 m.
(1)這個情境涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
涉及的量: 長方形操場的長、寬、面積
問題2：某長方形操場的面積是5850 m2，長比寬多25 m.
(2)如果設這個操場的寬為x m，那么操場的面積可以用含x的代數式表示為______.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子
(2) x (x+25)
(3) x (x+25)=5850
問題3：甲、乙兩地相距22 km，張叔叔從甲地出發到乙地， 每小時比原計劃多走1 km，因此提前12 min到達乙地.
(1)這個情境涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
(2)如果設張叔叔原計劃每小時走x km，那么他比原計劃提前的時間可以用含x的代數式表示為______.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子
問題3：甲、乙兩地相距22 km，張叔叔從甲地出發到乙 地， 每小時比原計劃多走1 km，因此提前12 min到達乙地.
(1)這個情境涉及哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
涉及的量: 張叔叔原計劃每小時走的路程、實際每小時走的路程、原計劃所用時間、實際所用時間
問題3：甲、乙兩地相距22 km，張叔叔從甲地出發到乙地， 每小時比原計劃多走1 km，因此提前12 min到達乙地.
(2)如果設張叔叔原計劃每小時走x km，那么他比原計劃提前的時間可以用含x的代數式表示為______.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子
注意：（1）方程中包含兩個要求：① 必須是等式；② 必須含有未知數.兩者缺一不可.
（2）方程一定是等式，但等式不一定是方程.
（3）方程中的未知數可以用x 表示，也可以用其他字母表示.
（4）方程中可含多個未知數.
等式10x+15(45-x)=475 ，x(x+25)=5850，
都是用不同的代數式表示相等的量，像這樣含有未知數的表示量相等的等式稱為方程
1.下列式子不是方程的是( )
A．3x=4　　　　B.5x+4y=0　　　C.2x+5　　　D．2(x-4)=3
對應訓練
C
不是等式
2.根據題意列出方程:
（1）在公元前1600年左右遺留下來的一卷古埃及紙草書中，記載著一些數學問題. 其中一個問題翻譯過來是：“啊哈，它的全部，它的，其和等于19.”你能求出問題中的“它”嗎
解：設“它”為 x，得
【選自教材P137 隨堂練習 第1題】
（2）某球隊參加足球聯賽，規定每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分. 球隊已比賽了10場，并保持不敗，一共得了22分. 該球隊已勝了多少場 平了多少場
解:設該球隊已勝了x場，則平了(10-x)場
3x+(10-x)=22
（3）我國古代數學著作《九章算術》中，有一個著名的“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔. 從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳. 雞和兔各有幾只
解：設雞有x只，則兔有(35-x)只
2x+4(35-x)=94
或 設兔有x只，則雞有(35-x)只
4x+2(35-x)=94
探究2：一元一次方程的概念與方程的解
Ⅰ．一元一次方程的概念
問題1 觀察方程10x+15(45-x)=475，2x+3=7x+4，它們有什么共同特點
在一個方程中，只含有一個未知數，且方程中的代數式都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
未知數的個數
未知數的次數
等式左、右兩邊的式子
1
1
整式
Ⅱ．方程的解與解方程
問題2　你能求出滿足方程 10x+15(45-x)=475 的未知數 x 的值嗎
(1)將左邊的式子化簡，你能得到什么
10x+15(45-x)= 675-5x
(2)回顧前面代數式求值的有關知識，當x 為下面何值時，675-5x與475相等
x 20 30 40 50 …
675-5x …
當x=40時， 675-5x=475
（3）你還有無其他方法？
根據有理數的運算，x =(675-475)÷5=40
575
525
475
425
使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解.
求方程的解的過程稱為解方程.
對應訓練
1．下列式子中是一元一次方程的有_________.(填序號)
①2x2-5=4 ②-m+8=1 ③x=1 ④x+y=1
⑤x+3>0 ⑥2x2-2(x2-x)=1 ⑦ ⑧πx=12
②③⑥⑧
2. x =2是下列方程的解嗎？
（1） 3x+(10-x)=20 （2） 2x2+6=7x
解：（1）把 x = 2 代入原方程得，
左邊 = 3×2 ＋（10－2）= 14 ，
右邊 = 20，
左邊 ≠ 右邊，
所以 x = 2 不是方程 3x＋（10－ x）= 20 的解.
（2）把 x = 2 代入原方程得，
左邊 = 2×22 ＋6 = 14 ，
右邊 = 7×2 = 14，
左邊 = 右邊，
所以 x = 2 是方程 2x2 ＋6 = 7x 的解.
【選自教材P137 隨堂練習 第2題】
（1）若xk-1+21=0是關于x的一元一次方程，則k=________
(2)若x|k|+21=0是關于x的一元一次方程，則k=________
因為原方程是一元一次方程，所以k-1=1，所以k=2.
因為原方程是一元一次方程，所以|k|=1，所以k=1或-1.
2
1或-1
知識升華，鞏固提升
(3)若關于x的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程，則k=___
因為原方程是一元一次方程，所以|k|=1，且k-1≠0，所以k=-1.
-1
總結：已知方程是一元一次方程，求方程中除未知數外的字母的值，需注意兩點：
(1)未知數的次數為1；(2)未知數的系數不為0.
知識點1 方程及一元一次方程的定義
1.下列選項中，是方程的是( )
B
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元一次方程的是( )
A
A. B. C. D.
3.若關于的方程是一元一次方程，則 的值為( )
D
A. B.0 C.1 D.2
4.若關于的方程是一元一次方程，則 的取值范圍是
_______。
知識點2 方程的解
5.下列方程，解為 的是( )
C
A. B. C. D.
6. 寫一個未知數的系數是 且解是1的一元一次方程：
___________________________。
（答案不唯一）
7.（6分）［教材習題變式］ 是下列方程的解嗎？
（1） ;
解：當時，左邊，右邊。因為左邊 右邊，
所以 是該方程的解。
（2） 。
解：當時，左邊右邊，所以 不是該方
程的解。
知識點3 列方程
8.［教材習題變式］用等式表示“ 的一半與10的和等于8”，下
列正確的是( )
B
A. B. C. D.
9.［教材P隨堂練習T 變式］某校舉辦班級籃球比賽，每場比
賽都要決出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分。如果七年級（1）
班在8場比賽中共得13分，設獲勝的場數是 ，則可列方程為__________
_____________________________________________________________。
10. 如果是關于的一元一次方程，則 的
值為( )
B
A.4 B. C.2 D.2或
11. 若是方程的解，則代數式
的值為( )
B
A.0 B.4 C. D.3
12.（12分）［教材習題 變式］新年將至，樂樂和麗麗所在的活動
小組計劃做一批“中國結”。若每人做5個，則比計劃多了9個；若每人做
4個，則比計劃少15個。
（1）若設樂樂和麗麗所在的活動小組有人，你能用含 的代數式表示
該活動小組計劃做的“中國結”的個數嗎？
解：因為樂樂和麗麗所在的活動小組有 人，所以該活動小組計劃做的
“中國結”的個數為或 。
（2）若設該活動小組計劃做“中國結”個，你能用含 的代數式表示該
活動小組的人數嗎？
解：因為活動小組計劃做“中國結”個，所以該活動小組的人數為 或
。
（3）由 ，你能得到哪些方程？
解：由（1）可得方程 ；
由（2）可得方程 。
課堂小結
實際問題
數量關系
列等式
方程
(一元一次方程)的概念
方程的解及解方程
謝謝觀看！

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