資源簡介

(共34張PPT)
5.2.1 等式的基本性質
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
5.2.1 等式的基本性質
一、教學目標
知識與技能目標
學生能準確理解等式的基本性質，熟練掌握等式兩邊進行加、減、乘、除運算時等式保持成立的條件。
能夠運用等式的基本性質對等式進行變形，為后續解方程奠定堅實基礎。
過程與方法目標
通過觀察天平平衡的現象，抽象概括出等式的基本性質，培養學生的觀察、分析和歸納能力。
在運用等式基本性質解決問題的過程中，提高學生的邏輯思維能力和數學應用能力。
情感態度與價值觀目標
讓學生在探索等式基本性質的過程中，感受數學的嚴謹性和規律性，激發學生對數學學習的興趣。
通過合作交流，培養學生的團隊協作精神和積極參與數學活動的意識。
二、教學重難點
教學重點
深入理解等式的兩條基本性質，清晰掌握等式變形的規則。
能夠熟練運用等式的基本性質解決簡單的等式變形問題。
教學難點
準確把握等式兩邊同時除以同一個數時，這個數不能為\(0\)的條件，避免在應用中出現錯誤。
靈活運用等式的基本性質進行復雜的等式變形，解決實際問題。
三、教學方法
直觀演示法：利用天平平衡的實驗演示，將抽象的等式性質直觀化，幫助學生理解等式兩邊進行運算時等式保持成立的原理。
啟發式教學法：通過提問、引導學生思考，啟發學生自主探索等式的基本性質，培養學生的思維能力。
練習鞏固法：設計多樣化的練習題，讓學生在練習中鞏固對等式基本性質的理解和應用，及時反饋學習效果。
小組合作法：組織學生進行小組討論，在交流中加深對等式基本性質的理解，培養學生的合作能力和表達能力。
四、教學過程
（一）情境導入
天平演示
展示天平，在天平兩邊分別放置相同質量的砝碼，使天平保持平衡。向學生提問：“此時天平兩邊的情況如何？” 引導學生回答天平兩邊平衡，意味著兩邊砝碼的質量相等，就像一個等式。
在天平兩邊同時添加相同質量的砝碼，讓學生觀察天平的狀態。提問：“現在天平發生了什么變化？這說明了什么？” 學生觀察后發現天平仍然平衡，得出在等式兩邊同時加上相同的數，等式仍然成立的初步結論。
接著，在天平兩邊同時減去相同質量的砝碼，再次引導學生觀察和思考，進一步驗證上述結論。
引入課題
通過天平的演示，引出本節課的課題 —— 等式的基本性質。告訴學生，我們今天要深入研究等式在進行加、減、乘、除運算時，如何保持等式成立的規律。
（二）新知探究
等式的基本性質 1
歸納總結：引導學生根據天平的演示過程，總結等式的基本性質 1。即等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，等式仍然成立。用字母表示為：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)。
深入理解：通過舉例進一步解釋性質 1。例如，對于等式\(x = 5\)，在等式兩邊同時加上\(3\)，得到\(x + 3 = 5 + 3\)，即\(x + 3 = 8\)，等式仍然成立；在等式兩邊同時減去\(2\)，得到\(x - 2 = 5 - 2\)，即\(x - 2 = 3\)，等式依然成立。
強調要點：強調等式兩邊加上或減去的必須是同一個整式，可以是數，也可以是式子。同時，要注意運算的一致性，兩邊都進行加法或都進行減法運算。
等式的基本性質 2
實驗探究：再次利用天平進行演示。在天平兩邊放置質量成倍數關系的砝碼，使天平平衡，如左邊放\(2\)個\(50\)克的砝碼，右邊放\(100\)克的砝碼，天平平衡，此時可表示為\(2 50 = 100\)。
在天平兩邊砝碼的數量同時擴大\(2\)倍，即左邊放\(4\)個\(50\)克的砝碼，右邊放\(200\)克的砝碼，讓學生觀察天平狀態，發現天平仍然平衡，得出等式兩邊同時乘同一個數，等式仍然成立。
然后，將天平兩邊砝碼的數量同時縮小到原來的\(\frac{1}{2}\)，即左邊放\(1\)個\(50\)克的砝碼，右邊放\(50\)克的砝碼，天平還是平衡的，進而得出等式兩邊同時除以同一個不為\(0\)的數，等式仍然成立。
總結性質：引導學生總結等式的基本性質 2：等式兩邊同時乘（或除以）同一個不為\(0\)的數，等式仍然成立。用字母表示為：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)（\(c\)為任意數），\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)（\(c\neq0\)）。
注意事項：著重強調等式兩邊同時除以一個數時，這個數不能為\(0\)，因為\(0\)做除數沒有意義。通過反例，如\(5 = 5\)，若兩邊同時除以\(0\)，式子無意義，幫助學生理解這一關鍵條件。
對比分析
組織學生對等式的基本性質 1 和性質 2 進行對比，討論它們的相同點和不同點。
相同點：都是在等式兩邊進行相同的運算，以保持等式成立。
不同點：性質 1 是在等式兩邊進行加、減運算，性質 2 是在等式兩邊進行乘、除運算，且性質 2 中除以的數不能為\(0\)。通過對比，加深學生對兩條性質的理解和記憶。
（三）例題講解
例 1：根據等式的基本性質，將下列等式變形。
已知\(x - 3 = 5\)，求\(x\)的值。
分析：根據等式的基本性質 1，在等式兩邊同時加上\(3\)，等式仍然成立。
解答：\(x - 3 + 3 = 5 + 3\)，即\(x = 8\)。
例 2：已知\(2y = 10\)，求\(y\)的值。
分析：根據等式的基本性質 2，在等式兩邊同時除以\(2\)，等式仍然成立。
解答：\(\frac{2y}{2}=\frac{10}{2}\)，即\(y = 5\)。
例 3：如果\(3a + 1 = 7\)，那么\(3a = 7 - \_\_\_\)，\(a = \_\_\_\)。
分析：第一個空根據等式的基本性質 1，等式兩邊同時減去\(1\)，得到\(3a = 7 - 1\)；第二個空根據等式的基本性質 2，等式兩邊同時除以\(3\)，求出\(a\)的值。
解答：\(3a = 7 - 1\)，即\(3a = 6\)，\(\frac{3a}{3}=\frac{6}{3}\)，所以\(a = 2\)。
（四）課堂練習
基礎練習
填空
若\(a = b\)，則\(a + 5 = b + \_\_\_\)，根據等式的基本性質___。
答案：\(5\)；\(1\)
若\(4x = 20\)，則\(x = \_\_\_\)，根據等式的基本性質___，在等式兩邊同時___。
答案：\(5\)；\(2\)；除以\(4\)
判斷
若\(m = n\)，則\(m + 7 = n - 7\)。（ ）
答案：×
若\(3x = 12\)，則\(3x ·3 = 12 ·4\)。（ ）
答案：×
提高練習
已知\(2x - 5 = 7\)，根據等式的基本性質，求出\(x\)的值。
解答：根據等式的基本性質 1，在等式兩邊同時加上\(5\)，得到\(2x - 5 + 5 = 7 + 5\)，即\(2x = 12\)；再根據等式的基本性質 2，在等式兩邊同時除以\(2\)，\(\frac{2x}{2}=\frac{12}{2}\)，解得\(x = 6\)。
若\(\frac{1}{3}y + 2 = 8\)，求\(y\)的值。
解答：首先根據等式的基本性質 1，在等式兩邊同時減去\(2\)，得到\(\frac{1}{3}y + 2 - 2 = 8 - 2\)，即\(\frac{1}{3}y = 6\)；然后根據等式的基本性質 2，在等式兩邊同時乘以\(3\)，\(\frac{1}{3}y 3 = 6 3\)，解得\(y = 18\)。
拓展練習
已知\(3a - 2b = 1\)，且\(a\)，\(b\)滿足等式\(a + 2b = 5\)，求\(a\)，\(b\)的值。
分析：將兩個等式相加，消去\(b\)，求出\(a\)的值，再將\(a\)的值代入其中一個等式，求出\(b\)的值。
解答：\((3a - 2b) + (a + 2b) = 1 + 5\)，根據等式的基本性質 1，得到\(4a = 6\)；再根據等式的基本性質 2，\(\frac{4a}{4}=\frac{6}{4}\)，解得\(a = \frac{3}{2}\)。把\(a = \frac{3}{2}\)代入\(a + 2b = 5\)，得到\(\frac{3}{2} + 2b = 5\)，根據等式的基本性質 1，在等式兩邊同時減去\(\frac{3}{2}\)，\(\frac{3}{2} + 2b - \frac{3}{2} = 5 - \frac{3}{2}\)，即\(2b = \frac{7}{2}\)；再根據等式的基本性質 2，\(\frac{2b}{2}=\frac{\frac{7}{2}}{2}\)，解得\(b = \frac{7}{4}\)。
（五）課堂小結
知識回顧：與學生一起回顧本節課所學的等式的基本性質，包括性質 1（等式兩邊同時加上或減去同一個整式，等式仍然成立）和性質 2（等式兩邊同時乘或除以同一個不為\(0\)的數，等式仍然成立），強調性質 2 中除數不能為\(0\)的條件。
方法總結：總結運用等式基本性質進行等式變形的方法和步驟，提醒學生在應用時要仔細分析等式的結構，選擇合適的性質進行變形。
學習感悟：鼓勵學生分享在本節課學習過程中的收獲和體會，以及在理解和應用等式基本性質時遇到的問題和解決方法，促進學生之間的學習交流。
（六）布置作業
必做題
課本課后練習題，鞏固等式基本性質的概念和簡單應用。
已知\(4x + 5 = 17\)，根據等式的基本性質求出\(x\)的值。
選做題
若\(2a - 3b = 4\)，且\(a + 2b = 5\)，求\(a\)和\(b\)的值（提示：可利用等式的基本性質對兩個等式進行變形，再通過加減消元法求解）。
思考：等式的基本性質在解決實際問題中有哪些應用？舉例說明。
這份課件圍繞等式基本性質展開教學，注重引導學生理解與應用。你若對課件中的內容講解、例題設置、練習難度等方面有新想法，歡迎隨時交流，我們一起優化完善。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1．通過自主探究，掌握等式的基本性質；會運用等式的基本性質解簡單的一元一次方程，提高學生的解題能力和應用意識。
2．通過觀察、探究、歸納、應用，培養學生觀察、分析、綜合、抽象的能力，獲取學習數學的方法。
重點
難點
1．什么是方程的解和解方程？
舊知回顧
使方程左、右兩邊的值相等的未知數的值，叫作方程的解。求方程的解的過程稱為解方程
2．什么是一元一次方程？
在一個方程中，只含有一個未知數，且方程中的代數式都是整式，未知數的次數都是1，這樣的方程叫作一元一次方程
方程是含有未知數的等式，解方程自然要研究等式的基本性質.
兩個基本事實:
(1)如果a=b，那么b=a；
(2)如果a=b， b=c，那么a=c.
設置疑問，導入新課
除此之外，等式還有哪些基本性質呢？
等式的對稱性
等式的傳遞性
探究點1　等式的基本性質
問題1
成立
等式的兩邊都加(減)、乘(除以)同一個數，等式還成立嗎？
問題引入，探究新知
問題2　
天平保持平衡
天平兩邊同時加入相同質量的砝碼，天平仍然平衡
天平兩邊同時拿去相同質量的砝碼，天平仍然平衡
（1）如圖①，天平要保持平衡，其兩邊的質量應相等.
如圖②③，如果天平兩邊同時加入或拿去相同質量的砝碼，
那么天平還保持平衡嗎？
①
②
③
(2)如圖，把一個等式看作一個天平，把等號兩邊的式子看作天平兩邊的砝碼，則等式成立就可看作是天平兩邊保持平衡.
a
b
等式的左邊
等式的右邊
等號
a=b
通過天平圖示，你可以得到什么等式？
(3)如圖， 類比（1）中的做法，我們在天平上加上或拿去一個質量為c 的砝碼，你可以得到什么等式？
a
b
等式的左邊
等式的右邊
等號
c
c
a+c=b+c
a-c=b-c
(4)如圖，類比(3)中的做法，我們使天平兩邊砝碼的質量變成之前的2倍，你可以得到什么等式？ 變成之前的呢？ 變成之前的c 倍呢？ 變成之前的(c≠0)呢？
a
b
a
b
a
b
a
b
a
a
a
a
b
b
b
b
左
右
左
右
c個
c個
2a=2b
=
ac=bc
= (c≠0)
等式的基本性質:
等式的兩邊都加(或減)同一個代數式，所得結果仍是等式.
等邊的兩邊都乘同一個數(或除以同一個不為0的數)，所得結果仍是等式.
用字母可以表示為：
如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c；
如果a=b，那么 ac=bc ，
= (c≠0)
歸納總結
探究點2 利用等式的基本性質解一元一次方程
問題： 結合天平的操作圖解釋5 x =3 x +2的變形過程
x
x
x
x
x
x
x
x
5 x = 3 x + 2
假設天平左邊有5個質量為 x g的小球
假設天平右邊有5個質量為 x g的小球個和2個質量為1g的砝碼
1
1
平衡
狀態
=
5 x
3 x +2
x
x
x
x
x
x
x
x
2 x = 2
1
1
平衡
狀態
=
5 x -3 x =3 x -3 x +2
等式的兩邊都加(或減)同一個代數式，所得結果仍是等式
5 x =3 x +2
天平兩邊各拿去3個質量為 x g的小球，天平仍然平衡
x
x = 1
1
1
平衡
狀態
=
等邊的兩邊都乘同一個數(或除以同一個不為0的數)，所得結果仍是等式
2 x =2
x
天平兩邊各減去一半的質量，天平仍然平衡
例題講解
（1） x + 2 = 5； （2）3 = x – 5.
解：（1）方程兩邊都減 2，得
x + 2 – 2 = 5 – 2.
于是 x = 3.
例1 解方程：
（2）方程兩邊都加 5，得
3 + 5 = x – 5 + 5.
于是 8 = x .
習慣上，我們寫成
x = 8.
追問1：怎么確定 x =3是否是方程 x +2=5的解？
把求出的解代入原方程，可以檢驗解方程是否正確.
例如，把 x =3代入方程 x ＋2=5，左邊＝3+2=5，右邊=5，左邊=右邊，所以 x =3是方程 x ＋2=5的解.
追問2：觀察上述解方程的過程，你認為解方程最終是要轉化為什么形式？
解方程是逐步把方程轉化為 x =a(a是常數)的形式.
例2 解方程
（1）-3 x =15 （2）
解：（1）方程兩邊都除以 –3，得
化簡，得 x = –5.
（2）方程兩邊都加 2，得
化簡，得
方程兩邊都乘 -3，得
n = – 36.
你是怎樣解方程的？每一步的依據是什么？還有其他解法嗎？
針對練習
解方程
(1) x -9=8 (2)5-y=-16
解：
（1）方程兩邊都加 9，得
x – 9 + 9 = 8 + 9.
于是 x = 17.
（2）方程兩邊都減 5，得
5 – y – 5 = – 16 – 5.
于是 – y = – 21.
方程兩邊都乘 – 1，得
y = 21.
【選自教材P141 隨堂練習第1題】
解：（1）方程兩邊都減 4，得
3 x + 4 – 4 = – 13 – 4.
于是 3 x = –17 .
方程兩邊都除以3，得
x = – .
（3）3 x + 4 = – 13；
（4） x – 1 = 5.
解：（2）方程兩邊都加 1，得
x = 9.
方程兩邊都除以 ，得
x – 1 + 1 = 5 + 1.
于是 x = 6.
王老師說:“我是2月出生的，我年齡的減3，正好是2024年我生日那月的總天數，你猜我有幾歲？”請求出王老師的年齡
解:設王老師的年齡為 x 歲.
2024年是閏年，2月總天數為29，
所以列出方程為 x -3=29.
解得 x ＝40.
答:王老師的年齡為40歲.
知識升華，鞏固提升
針對訓練
小紅編了一道題:“我是4月出生的，我年齡的2倍加6，正好是我出生那個月的總天數，你猜我有多少歲？”請你求出小紅的年齡.
解：設小紅的年齡是 x .
2 x + 6 = 30.
方程兩邊都減 6，得
2 x + 6 – 6 = 30 – 6.
于是 2 x = 24.
方程兩邊都除以 2，得
x = 12.
答：小紅的年齡是 12 歲.
【選自教材P141 隨堂練習第2題】
知識點1 等式的基本事實
1.（1）等式兩邊可以交換。如果，那么 _____。
（2）相等關系可以傳遞。如果，，那么___ ；如果
，，那么 ___。
5
知識點2 等式的基本性質
2.已知，若根據等式的性質可變形為，則， 滿
足的條件是( )
C
A. B.
C. D.， 可以是任意的數或式子
3.已知 ，則下列各式不正確的是( )
D
A. B. C. D.
4.根據等式的基本性質填空：
（1）由，得 ，是根據等式的性質：等式的兩邊都
_____；
（2）由，得 _____，是根據等式的性質：等式的兩邊都
_____；
（3）由，得 ____，是根據等式的性質：等式的兩邊都
_________。
減1
乘5
除以
知識點3 利用等式的基本性質解方程
5.由得到 可分兩步，其步驟如下：第一步：根據等式的
基本性質，等式兩邊_______，得 ___；第二步：根據等式的基本性
質，等式兩邊_________，得 。
都加1
5
都除以2
6.（12分）［教材 例1變式］解方程：
（1） ；
解：兩邊都加4，得 。
（2） ；
解：兩邊都除以，得 。
（3） ；
解：兩邊都加7，得 ，
兩邊都除以2，得 。
（4） 。
解：兩邊都加2，得 ，
兩邊都乘，得 。
7.［2025武漢期中］下列由等式的性質進行的變形，不正確的是( )
D
A.如果，那么
B.如果，那么
C.如果，那么
D.如果，那么
8.（12分） 閱讀理解題。下面是小明將等式
進行變形的過程。
， ，②
。③
（1）①的依據是_________________；
（2）小明出錯的步驟是____（填序號），錯誤的原因是_____________
_______________________________；
等式的基本性質1
③
沒有確定是
不是0，就在等式的兩邊同時除以
（3）給出正確的解法。
解：，， ，
，， 。
9.［2024貴州中考］［教材習題 變式］小紅學習了等式的性質后，
在甲、乙兩臺天平的左右兩邊分別放入“ ”“ ”“ ”三種物體，如圖所示，
天平都保持平衡。若設“ ”與“ ”的質量分別為， ，則下列關系式正
確的是( )
C
A. B. C. D.
課堂小結
等式的基本性質
基本性質1
利用等式大的基本性質解方程
如果a=b，那么ac=b c
如果a=b，那么ac=bc，
利用等式的基本性質把方程“化歸”為最簡單的形式 x =a
基本性質2
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑