資源簡介

(共43張PPT)
5.3.1 幾何問題
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
5.3.1 幾何問題
一、教學目標
知識與技能目標
學生能夠熟練運用常見幾何圖形的周長、面積、體積公式，準確分析幾何問題中的數量關系。
學會通過設未知數，利用幾何圖形的性質和公式建立方程，求解與幾何圖形相關的實際問題。
過程與方法目標
經歷將實際幾何問題轉化為數學方程模型的過程，培養學生的抽象思維和建模能力。
通過對不同幾何問題的分析和解決，提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，增強邏輯推理和問題解決能力。
情感態度與價值觀目標
讓學生在解決幾何問題的過程中，感受數學與生活的緊密聯系，激發學生學習數學的興趣和熱情。
培養學生勇于探索、積極思考的學習態度，增強學生克服困難的信心和決心，體驗成功解決問題的喜悅。
二、教學重難點
教學重點
熟練掌握常見幾何圖形的基本性質和公式，并能靈活運用到實際問題中。
準確找出幾何問題中的等量關系，建立方程模型求解問題。
教學難點
對于復雜的幾何問題，能夠清晰地分析圖形結構，挖掘隱藏的數量關系。
正確理解幾何問題的實際意義，將實際問題準確轉化為數學模型，避免在建模過程中出現錯誤。
三、教學方法
復習導入法：通過復習常見幾何圖形的性質和公式，喚醒學生已有的知識儲備，為解決新的幾何問題做好鋪墊。
問題驅動法：提出具有啟發性的實際幾何問題，引導學生思考，激發學生的求知欲和探索精神，促使學生主動尋找解決問題的方法。
講授法：詳細講解幾何問題的解題思路和方法，分析如何從問題中提取關鍵信息，建立數學模型，幫助學生理解和掌握解題技巧。
小組合作法：組織學生進行小組討論，共同分析復雜的幾何問題，交流解題思路和方法，培養學生的團隊合作精神和溝通能力。
練習鞏固法：設計多樣化的練習題，讓學生在練習中鞏固所學知識，提高解題能力，及時發現和解決學生存在的問題。
四、教學過程
（一）復習回顧
回顧常見幾何圖形的性質和公式
平面圖形：長方形的周長公式\(C = 2(a + b)\)（\(a\)為長，\(b\)為寬），面積公式\(S = ab\)；正方形的周長公式\(C = 4a\)（\(a\)為邊長），面積公式\(S = a^2\)；圓的周長公式\(C = 2\pi r\)（\(r\)為半徑），面積公式\(S = \pi r^2\) 。
立體圖形：長方體的體積公式\(V = abc\)（\(a\)為長，\(b\)為寬，\(c\)為高）；正方體的體積公式\(V = a^3\)（\(a\)為邊長）；圓柱的體積公式\(V = \pi r^2h\)（\(r\)為底面半徑，\(h\)為高） 。通過提問、填空等方式，檢查學生對公式的掌握情況 。
簡單應用練習
給出一些基礎題目，如 “已知長方形的長為\(8\)厘米，寬為\(5\)厘米，求其周長和面積”“一個圓柱的底面半徑是\(3\)分米，高是\(10\)分米，求它的體積” 等，讓學生獨立完成，鞏固對公式的運用 。
（二）情境導入
展示問題：學校要修建一個圓形花壇，計劃在花壇周圍鋪設一條寬\(2\)米的環形小路。已知花壇的直徑是\(8\)米，每平方米的小路鋪設費用是\(150\)元，那么修建這條環形小路需要多少錢？
引導學生分析問題
提問學生：要計算修建小路的費用，需要先求出什么？引導學生思考得出需要先求出環形小路的面積 。
進一步提問：如何求環形小路的面積？環形小路的面積與哪些幾何圖形的面積有關？讓學生觀察圖形，分析得出環形小路的面積等于外圓面積減去內圓（花壇）面積 。通過這個實際問題，激發學生的學習興趣，引出本節課要學習的幾何問題的求解方法 。
（三）新知探究
幾何問題的解題思路
強調解決幾何問題的關鍵是分析圖形的結構和性質，找出其中的等量關系 。一般步驟為：
審題：仔細閱讀題目，明確已知條件和所求問題，理解問題的實際意義 。
分析圖形：畫出相應的幾何圖形，標注已知條件，觀察圖形的特點和各部分之間的關系 。
找等量關系：根據幾何圖形的性質、公式以及題目中的條件，找出能夠建立方程的等量關系 。
設未知數并建立方程：合理設未知數，將等量關系用含有未知數的方程表示出來 。
解方程：運用所學的解方程方法求解方程 。
檢驗并作答：將解得的結果代入原問題中進行檢驗，確保答案的合理性，最后寫出完整的答案 。
典型問題分析
以環形小路問題為例，詳細講解解題過程：
分析圖形：內圓（花壇）的直徑為\(8\)米，則半徑\(r = 4\)米；外圓半徑\(R = 4 + 2 = 6\)米 。
找等量關系：環形小路面積 = 外圓面積 - 內圓面積，根據圓的面積公式\(S = \pi r^2\)，可得到等量關系\(\pi R^2 - \pi r^2 = S_{ }\) 。
設未知數并建立方程：設環形小路的面積為\(x\)平方米，則\(x = \pi 6^2 - \pi 4^2\) 。
解方程：\(x = 36\pi - 16\pi = 20\pi\)，若\(\pi\)取\(3.14\)，則\(x = 20 3.14 = 62.8\)平方米 。
檢驗并作答：將\(x = 62.8\)代入原問題，計算費用為\(62.8 150 = 9420\)元 。經檢驗，答案符合實際情況，所以修建這條環形小路需要\(9420\)元 。
再舉一例：一個長方體水箱，從里面量長\(40\)厘米，寬\(25\)厘米，高\(20\)厘米，箱中水面高\(10\)厘米。放入一個棱長為\(10\)厘米的正方體鐵塊后，鐵塊完全浸沒在水中，水箱的水面將上升多少厘米？
分析圖形：水箱是長方體，鐵塊是正方體，放入鐵塊后，水上升的體積等于鐵塊的體積 。
找等量關系：正方體鐵塊體積 = 長方體水箱底面積 × 水面上升的高度 。
設未知數并建立方程：設水面上升的高度為\(h\)厘米，正方體鐵塊體積為\(10 10 10 = 1000\)立方厘米，長方體水箱底面積為\(40 25 = 1000\)平方厘米，則\(1000 = 1000h\) 。
解方程：解得\(h = 1\)厘米 。
檢驗并作答：將\(h = 1\)代入原問題，經檢驗符合實際情況，所以水箱的水面將上升\(1\)厘米 。
（四）例題講解
例 1：用一根長\(60\)厘米的鐵絲圍成一個長方形，使它的長比寬多\(6\)厘米，求這個長方形的長和寬各是多少厘米？
分析：已知長方形周長和長與寬的關系，設長方形的寬為\(x\)厘米，則長為\((x + 6)\)厘米，根據長方形周長公式可列出方程 。
解答：根據長方形周長公式\(C = 2(a + b)\)，可列方程\(2(x + x + 6) = 60\) 。
去括號得\(2(2x + 6) = 60\)，即\(4x + 12 = 60\) 。
移項得\(4x = 60 - 12\)，即\(4x = 48\) 。
系數化為\(1\)得\(x = 12\) 。
則長為\(x + 6 = 12 + 6 = 18\)厘米 。
檢驗：將長\(18\)厘米，寬\(12\)厘米代入周長公式，\(2 (18 + 12) = 2 30 = 60\)厘米，符合題意 。
答：這個長方形的長是\(18\)厘米，寬是\(12\)厘米 。
例 2：一個圓柱形水桶，從里面量底面半徑是\(2\)分米，高是\(5\)分米。這個水桶能裝水多少升？（\(1\)立方分米\( = 1\)升）
分析：求水桶能裝水多少升，就是求這個圓柱形水桶的容積，根據圓柱體積公式\(V = \pi r^2h\)進行計算 。
解答：\(V = \pi 2^2 5 = 20\pi\)，若\(\pi\)取\(3.14\)，則\(V = 20 3.14 = 62.8\)立方分米 。因為\(1\)立方分米\( = 1\)升，所以\(62.8\)立方分米\( = 62.8\)升 。
答：這個水桶能裝水\(62.8\)升 。
例 3：在一個邊長為\(20\)厘米的正方形紙板上，剪去一個最大的圓，剩下部分的面積是多少平方厘米？
分析：在正方形中剪去最大的圓，圓的直徑等于正方形的邊長。先分別求出正方形和圓的面積，再用正方形面積減去圓的面積，得到剩下部分的面積 。
解答：正方形面積\(S_{ } = 20 20 = 400\)平方厘米，圓的半徑\(r = 20 ·2 = 10\)厘米，圓的面積\(S_{ } = \pi 10^2 = 100\pi\)，若\(\pi\)取\(3.14\)，則\(S_{ } = 100 3.14 = 314\)平方厘米 。剩下部分面積\(S = S_{ } - S_{ } = 400 - 314 = 86\)平方厘米 。
答：剩下部分的面積是\(86\)平方厘米 。
（五）課堂練習
基礎練習
一個三角形的面積是\(48\)平方厘米，底是\(12\)厘米，它的高是多少厘米？
答案：設高為\(x\)厘米，根據三角形面積公式\(S = \frac{1}{2}ah\)，可列方程\(\frac{1}{2} 12 x = 48\)，解得\(x = 8\)厘米 。
一個正方體的棱長總和是\(72\)厘米，它的體積是多少立方厘米？
答案：正方體棱長為\(72 ·12 = 6\)厘米，體積\(V = 6^3 = 216\)立方厘米 。
提高練習
一個環形鐵片，外圓直徑是\(10\)厘米，內圓直徑是\(6\)厘米，這個環形鐵片的面積是多少平方厘米？
答案：外圓半徑\(R = 10 ·2 = 5\)厘米，內圓半徑\(r = 6 ·2 = 3\)厘米，環形面積\(S = \pi 5^2 - \pi 3^2 = 25\pi - 9\pi = 16\pi\)，若\(\pi\)取\(3.14\)，則\(S = 16 3.14 = 50.24\)平方厘米 。
把一個底面半徑是\(3\)厘米，高是\(10\)厘米的圓柱削成一個最大的圓錐，這個圓錐的體積是多少立方厘米？
答案：圓錐體積\(V = \frac{1}{3}\pi 3^2 10 = 30\pi\)，若\(\pi\)取\(3.14\)，則\(V = 30 3.14 = 94.2\)立方厘米 。
拓展練習
一個長方體玻璃容器，從里面量長、寬均為\(2\)分米，向容器中倒入\(5.5\)升水，再把一個蘋果放入水中。這時量得容器內的水深是\(15\)厘米。這個蘋果的體積是多少？
答案：先統一單位，\(15\)厘米\( = 1.5\)分米，\(5.5\)升\( = 5.5\)立方分米 。容器底面積為\(2 2 = 4\)平方分米，放入蘋果后水和蘋果的總體積為\(4 1.5 = 6\)立方分米，則蘋果體積為\(6 - 5.5 = 0.5\)立方分米 。
有一個棱長是\(6\)厘米的正方體鐵塊，把它熔鑄成一個底面直徑是\(20\)厘米的圓錐形零件，這個圓錐形零件的高約是多少厘米？（得數保留一位小數）
答案：正方體體積\(V = 6^3 = 216\)立方厘米，圓錐底面半徑\(r = 20 ·2 = 10\)厘米 。根據圓錐體積公式\(V = \frac{1}{3}\pi r^2h\)，可得\(h = \frac{3V}{\pi r^2} = \frac{3 216}{3.14 10^2} 2.1\)厘米 。
（六）課堂小結
回顧本節課所學內容，強調解決幾何問題的關鍵是熟練掌握幾何圖形的性質和公式，準確找出等量關系建立方程 。
總結幾何問題的解題步驟，提醒學生在審題、分析圖形、設未知數等環節要仔細認真，確保解題的準確性 。
鼓勵學生在課后多觀察生活中的幾何問題，運用所學知識解決實際問題，提高數學應用能力 。
（七）布置作業
必做題
課本課后相關練習題，鞏固幾何問題的基本解法 。
一個長方形的周長是\(36\)米，長是寬的\(2\)倍，求這個長方形的長和寬各是多少米？
一個圓柱的底面周長是\(12.56\)分米，高是\(5\)分米，求它的體積是多少立方分米？
選做題
一個長方體，如果高增加\(2\)厘米，就變成一個正方體，這時表面積比原來增加\(56\)平方厘米。原來長方體的體積是多少立方厘米？
在一個底面半徑是\(10\)厘米的圓柱形杯中裝一些水，把一個底面半徑為\(5\)厘米的圓錐形鉛錘完全浸入水中，水面上升了\(0.5\)厘米。這個鉛錘的高是多少厘米？
這份教學課件圍繞幾何問題展開，涵蓋多種題型與解題方法。你對課件的內容深度、例題類型、練習難度等方面有任何想法，歡迎隨時溝通，我們一起優化。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1．借助立體及平面圖形學會分析復雜幾何問題中的等量關系，體會直接或間接設未知數的解題思路，從而建立方程，解決實際問題。
2．通過探究式的方法，學生逐步學會從較復雜的生活情境中抽象出數學模型，培養發現問題的能力以及創新的意識。
3．經歷從生活中發現數學和應用數學知識解決實際問題的過程，培養用多種方法解決實際問題的意識，體驗成功的喜悅，激發學生學習數學的興趣和應用數學的意識。
重點
難點
如圖，用一塊橡皮泥先捏出一個“瘦高”的圓柱，然后再讓這個“瘦高”的圓柱“變矮”，變成一個“矮胖”的圓柱， 請思考下列幾個問題：
(1)在你操作的過程中，圓柱由“高”變“矮”，圓柱的底面直徑是否變化了 還有哪些量改變了
(2)在這個變化過程中，什么量沒有變化呢
創設情境，導入新課
探究點　利用一元一次方程解決幾何圖形問題
1.圖形的等積變化
某飲料公司有一種底面直徑和高分別為6.6cm，12cm 的圓柱形易拉罐飲料. 經市場調研決定對該產品外包裝進行改造，計劃將它的底面直徑減少為6cm.那么在容積不變的前提下，易拉罐的高度將變為多少厘米
(1)這個問題中包含哪些量 它們之間有怎樣的等量關系
包含的量：圓柱形易拉罐改造前后的底面半徑、
高、容積
活動引入，合作探究
“容積不變”
等量關系：改造前易拉罐容積=改造后易拉罐容積
容積不變，但直徑(半徑)和高有變
改造前
改造后
直徑(半徑)減少，高如何變化？
　(2)設新包裝的高度為 x cm，借助下面的表格梳理問題中的信息
有關量 舊包裝 新包裝
底面半徑/cm
高/cm 12 x
容積/cm3
(3)根據等量關系，列出方程
設新包裝的高度為 x cm
根據等量關系列出方程
=
解得 x=14.52
答：新包裝的高度為14.52cm
1.列方程的關鍵
找出問題中的等量關系
2.解決實際問題的基本步驟
理解題意，尋找等量關系，設未知數列方程，解方程，作答.
有關量 舊包裝 新包裝
底面半徑/cm
高/cm 12 x
容積/cm3
2.圖形的等長變化
用一根長為10m 的鐵絲圍成一個長方形.
(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米
(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米 此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化
(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米 正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化
②如圖，題中圍長方形的過程中有什么沒有發生變化
長方形的周長(或長與寬的和)不變
①本題涉及哪些量
鐵絲的長，長方形的長、寬、周長、面積.
例題分析
④如圖，結合(1)(2)問題意，若設長方形的寬為 x m，則長方形的長可怎么表示 試用含 x 的代數式在下面圖中表示出來.
③題中有怎樣的等量關系
等量關系： (長＋寬)×2＝周長(周長就是鐵絲的長度)
x m
(x+1.4)m
x m
(x+0.8)m
(1)
(2)
解：(1)設此時長方形的寬為x m，則它的長為(x+1.4) m.
根據題意，得2(x+1.4) +2x＝10
解得 x=1.8
1.8+1.4=3.2
此時長方形的長為3.2m，寬為1.8m.
(1)如果該長方形的長比寬多1.4m，那么此時長方形的長、寬各為多少米
x m
(x+1.4)m
解：設此時長方形的寬為x m，則它的長為(x+0.8)m.
根據題意，得 2(x+0.8)＋2x＝10
解得：x＝2.1，2.1+0.8=2.9
此時長方形的長為2.9m，寬為2.1m，
長方形面積為2.9×2.1＝6.09(m2)
(1)中長方形的面積為3.2×1.8＝5.76(m2)，6.09-5.76＝0.33(m2)
此時(2)中長方形的面積比(1)中長方形的面積增大0.33m2
(2)如果該長方形的長比寬多0.8m，那么此時長方形的長、寬各為多少米 此時的長方形與(1)中的長方形相比，面積有什么變化
x m
(x+0.8)m
(3)設正方形的邊長為x m
根據題意，得 4x=10
解得 x=2.5
正方形的邊長為 2.5m，面積為 2.5×2.5＝6.25(m2)，
比(2)中長方形的面積增大 6.25-6.09＝0.16(m2)
(3)如果該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，那么此時正方形的邊長是多少米 正方形的面積與(2)中長方形的面積相比又有什么變化
所列方程的兩邊分別表示 長方形的周長和鐵絲的長度
列方程的思路 先設一邊長為未知數，再用含未知數的代數式表示出周長，根據周長等于鐵絲的長度10m這個等量關系列出方程.
思考　
在前面的問題中，所列方程的兩邊分別表示什么量
列方程的思路是什么
　總結：周長一定的長方形，長和寬的差值越小，長方形的面積越大；當長和寬相等時(即為正方形時)，長方形(正方形)的面積最大.
針對練習
一個梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面積為88cm2，求這個梯形的上底和下底的長度.
解：設梯形的上底為x cm，則下底為(x+6)cm
xcm
(x+6)cm
8cm
(x+x+6)×8=88
解得 x=8
x+6=14
答：梯形的上底為8cm，下底為14cm.
【選自教材P149 隨堂練習】
1.直徑為30cm、高為50cm 的圓柱形瓶里裝滿了飲料，現將飲料倒入底面直徑為10cm 的圓柱形水杯，剛好倒滿30杯，則水杯的高度是多少
解：設水杯的高度為x cm
解得 x=15
答：水杯的高度為15cm
知識延伸，鞏固升華
針對訓練
一個長方形的周長是40cm，若將長減少6cm，寬增加2cm，長方形就變成了正方形，則長方形的長、寬各為多少厘米
解：設長方形的長為 x cm，則寬為 cm.
x-6=+2
解得 x=14
所以=6.
答：長方形的長為14cm，則寬為6cm.
*利用一元一次方程解決一般幾何圖形問題
(1)有一塊邊長為4cm 的正方體形橡皮泥，要用它來捏一個長、寬分別為8cm，2cm 的長方體橡皮泥，求它的高.
解：設高為 x cm
43=8×2x
解得 x=4
答：高為4cm
(2)如圖，小明將一張正方形紙片剪去一個寬為6cm 的長條后，再從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為8cm 的長條，如果兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長條的面積為多少？
解：設正方形的邊長為 x cm
6x=8(x-6)
解得 x=24
答：每一個長條的面積為144cm2
6×24=144
(3)用一根120cm 長的鐵絲圍成一個長方形，使該長方形的長是寬的2倍，則這個長方形的長、寬分別為多少？
解：設長方形的寬為x cm，則長為2x cm.
2(x+2x)=120
解得 x=20
答：長方形的寬為20cm，長為40cm
2×20=40
*培優點 利用一元一次方程解決拼接圖形問題
如圖，周長為68的長方形ABCD 被分成7個相同的小長方形，則長方形ABCD 的面積為多少？
解：設小長方形的寬為x，則長方形ABCD的長為5x，小長方形的長為，則長方形ABCD的寬為+x= .
2×5x+2× =68
解得 x=4
答：長方形ABCD 的面積為280.
5×4=20
×4=14
×14=280
1．兩個圓柱體容器如圖所示，它們的底面直徑分別為4 cm和8 cm，高分別為39 cm和 10 cm. 先在右側容器中倒滿水，然后將其倒入左側容器中. 倒完以后，左側容器中的水面離容器口有多少厘米
小剛是這樣做的：設倒完以后，左側容器中的水面離容器口有x cm. 列方程 π×22×(39-x)= π×42×10.
解得x=-1. 請你對他的結果作出合理的解釋.
【選自教材P154 習題5.3 第1題】
隨堂訓練，課堂總結
解：由題意可知，第一個容器的體積為
22×39×π = 156π cm2
第二個容器的體積為
42×10×π = 160π cm2
第二個容器的體積大于第一個容器的體積，因此將第二個容器裝滿水后再倒入第一個容器中，水會溢出，
即方程 π×22×（39－x）= π × 42×10的解小于0.
2.現有兩塊試驗田，第一塊試驗田的面積比第二塊試驗田面
積的3倍還多100 m2，這兩塊試驗田的面積共2900 m2，兩塊試驗田的面積分別是多少
解：設第二塊試驗田的面積是 x m2，
則第一塊試驗田的面積是（3x + 100）m2
根據題意，得 x + 3x + 100 = 2900
解得 x = 700
所以 3x + 100 = 2200
答：第一塊試驗田的面積是 2200 m2，
第二塊試驗田的面積是 700 m2
【選自教材P154 習題5.3 第3題】
知識點1 周長、面積問題
1.已知長方形的周長為，長比寬多，設寬為 ，則可列方
程為( )
B
A. B.
C. D.
（第2題）
2.［2025長沙月考］如圖，一個長方形的周長為
26，如果這個長方形的長減少4，寬增加3，就可
圍成一個正方形，那么這個長方形的長和寬分別
為( )
B
A.11，2 B.10，3 C.8，5 D.7，6
（第3題）
3.如圖是用鐵絲圍成的一個梯形，若將其改成一個
長和寬之比為 的長方形，則該長方形的長為___，
寬為____。
11
5.5
4.（6分）［教材習題 變式］如圖，小剛將一個正
方形紙片剪去一個寬為 的長條后，再從剩下的長方
形紙片上剪去一個寬為 的長條，如果兩次剪下的長
條面積正好相等，那么最終剩余的長方形紙片的面積為
多少？
解：設正方形的邊長為 ，由題意得
，解得 。
。
答：最終剩余的長方形紙片的面積為 。
知識點2 等積變形問題
5.［教材習題 變式］在做科學實驗時，老師將第一個量筒中的水
全部倒入第二個量筒中，如圖所示，根據圖中給出的信息，得到的正確
方程是( )
A
A.
B.
C.
D.
6.一個底面半徑為 的圓柱形儲油器中，用油浸泡了若干個鋼珠，從
中撈出一個體積為 的鋼珠后，油面將下降( )
D
A. B. C. D.
7.［教材習題變式］一個底面半徑為、高為 的圓柱
形大杯中存滿了水，若把水全部倒入底面直徑為 的圓柱形小杯中，
剛好倒滿6杯，則小杯的高為( )
C
A. B. C. D.
8.有一個長、寬、高分別是，， 的長方體鋼錠，現將
它鍛壓成一個底面是邊長為 的正方形的長方體鋼錠，它的高為
________。（忽略鍛壓過程中的損耗）
9.如圖，周長為68的長方形 被分成7個完全一樣的小長方形，則長
方形 的面積為( )
C
（第9題）
A.98 B.196 C.280 D.284
（第10題）
10.如圖，一個酒瓶的容積為
，瓶子內還剩有一些黃
酒。當瓶子正放時，瓶內黃酒的高度為 ，
倒放時，空余部分的高度為 ，則瓶子的底
面積為( )
C
A. B. C. D.
11.（6分）如圖，地面上釘著一個用一根彩繩圍成的直角三角形，如果
將直角三角形一個銳角頂點處的釘子去掉，并將這根彩繩釘成一個長方
形，則所釘成的長方形的長、寬各是多少 面積是多少
解：設所釘成的長方形的未知的一條邊的長為 ，分以下兩種情況討論：
當去掉頂點處的釘子時，，解得 。
所以此時所釘成的長方形的長與寬相等，均為6，面積為 ；
當去掉頂點處的釘子時，，解得 。所以
此時所釘成的長方形的長為8，寬為4，面積為 。
綜上，所釘成的長方形的長為6，寬為6，面積為36，或長為8，寬為4，
面積為32。
12.（8分）
【課本再現】下面是北師版初中數學教科書七年級上冊第147頁的部分
內容。
解：設此時長方形的寬為，則它的長為 。
根據題意，得 ，
解得 。
。
答：此時長方形的長為，寬為 。
【解決問題】悅悅同學周末和爸爸一起到農村參加獻愛心志愿者活動，
該村的李大爺正在準備用籬笆修建一個長方形雞舍，雞舍一面靠墻
（墻面長度不限），三面用籬笆，籬笆總長 ，籬笆圍成的長方形
雞舍的長比寬多，如果要在墻的對面留一個 寬的門（門不使用
籬笆），那么長方形雞舍的面積最大是多少？請你用所學的知識和悅悅
一起來思考并告訴李大爺你的答案吧 （籬笆的占地面積忽略不計）
解：設雞舍的寬為，則雞舍的長為 。
當雞舍的長與墻為對面時，依題意得 ，解得
，
所以雞舍的面積為 ；
當雞舍的寬與墻為對面時，
依題意得，解得 ，所以雞舍的面積為
。
因為 ，
所以長方形雞舍的面積最大是 。
課堂小結
利用一元一次方程解決一般幾何圖形問題
一般幾何圖形問題的大致類別 解決方案
等體積變形 以體積為不變量，用不同方式表示出體積，據此等量關系列方程求解
等面積變形 以面積為不變量，用不同方式表示出面積，據此等量關系列方程求解
等周長變形 以周長為不變量，用不同方式表示出周長，據此等量關系列方程求解
謝謝觀看！

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