資源簡介

(共44張PPT)
5.2.4 用去分母法解一元一次方程
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
5.2.4 用去分母法解一元一次方程
一、教學目標
知識與技能目標
學生能透徹理解去分母的依據是等式的基本性質，熟練掌握去分母的方法，準確找出方程中各分母的最小公倍數。
熟練運用去分母法解一元一次方程，清晰掌握解方程的完整步驟，包括去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為\(1\)，并能正確檢驗方程的解。
過程與方法目標
通過觀察、分析含有分數系數的一元一次方程，經歷探索去分母法解方程的過程，培養學生的邏輯推理能力和數學思維的嚴謹性。
在解決實際問題的過程中，學會將實際問題轉化為方程模型，提高學生分析問題、解決問題的能力，增強知識的遷移應用能力。
情感態度與價值觀目標
讓學生在探索去分母法解方程的過程中，感受數學知識之間的內在聯系，體會數學的簡潔美和邏輯美，激發學生學習數學的興趣和熱情。
通過解決實際問題，讓學生體驗數學在生活中的廣泛應用，增強學生用數學知識解決實際問題的意識和信心。
二、教學重難點
教學重點
深刻理解去分母的方法和依據，能夠準確運用去分母法將分數系數方程化為整數系數方程。
熟練掌握用去分母法解一元一次方程的完整步驟，正確求解各種類型的含有分數系數的一元一次方程。
教學難點
在去分母過程中，確保方程中的每一項都乘以各分母的最小公倍數，避免漏乘不含分母的項。
當方程中含有多重括號或復雜的分數系數時，能夠靈活運用去分母、去括號等方法，準確求解方程，并正確處理計算過程中的符號問題。
三、教學方法
復習導入法：通過復習等式的基本性質、去括號法則以及移項法解一元一次方程的步驟，激活學生已有的知識儲備，為學習去分母法解一元一次方程做好鋪墊。
問題驅動法：創設實際問題情境，引導學生列出含有分數系數的一元一次方程，讓學生在解決問題的過程中發現矛盾，從而產生學習去分母法的需求，激發學生的學習興趣和求知欲。
講授法：詳細講解去分母法解一元一次方程的原理、步驟和注意事項，通過清晰的講解和示范，幫助學生理解和掌握新知識。
練習鞏固法：設計層次分明的練習題，包括基礎練習、提高練習和拓展練習，讓學生在練習中鞏固去分母法解方程的方法，及時發現問題并加以糾正，逐步提高解題能力。
小組合作法：組織學生進行小組討論，交流去分母法解方程的經驗和技巧，互相學習、互相啟發，培養學生的合作意識和團隊精神。
四、教學過程
（一）復習回顧
提問學生等式的基本性質，引導學生回顧等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，等式仍然成立；等式兩邊同時乘（或除以）同一個不為\(0\)的數，等式仍然成立 。通過簡單的等式變形練習，如已知\(a = b\)，讓學生寫出\(a + 3 = b + 3\)，\(2a = 2b\)等變形后的等式，加深學生對等式基本性質的理解和運用能力。
回顧去括號法則和移項法解一元一次方程的步驟 。展示一道含有括號的一元一次方程，如\(2(x - 3) + 5 = 3x - 1\)，讓學生上臺板演解方程的過程，其他學生在練習本上完成，復習去括號、移項、合并同類項和系數化為\(1\)等步驟，強化學生對解方程方法的掌握，為學習去分母法做好知識銜接。
（二）情境導入
提出問題：學校組織學生參加植樹活動，七年級（1）班計劃植樹的棵數比七年級（2）班多\(\frac{1}{3}\)。如果兩個班一共計劃植樹\(120\)棵，那么七年級（1）班和七年級（2）班分別計劃植樹多少棵？
引導學生分析問題中的數量關系，設七年級（2）班計劃植樹\(x\)棵，則七年級（1）班計劃植樹\((1 + \frac{1}{3})x\)棵 。根據兩個班一共計劃植樹\(120\)棵，列出方程\(x + (1 + \frac{1}{3})x = 120\) 。
讓學生觀察方程，發現方程中含有分數系數，思考如何求解這樣的方程，從而引出本節課的課題 —— 用去分母法解一元一次方程 。
（三）新知探究
去分母的依據
強調去分母的依據是等式的基本性質\(2\)，即等式兩邊同時乘（或除以）同一個不為\(0\)的數，等式仍然成立 。以方程\(\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} = 1\)為例，為了消除方程中的分母，我們在等式兩邊同時乘以各分母\(2\)和\(3\)的最小公倍數\(6\)，這樣可以將分數系數方程轉化為整數系數方程，而等式仍然成立 。
去分母的方法
講解去分母的具體方法：先找出方程中所有分母的最小公倍數，然后將方程兩邊的每一項都乘以這個最小公倍數 。例如對于方程\(\frac{2x - 1}{4} - \frac{x + 2}{3} = 1\)，分母\(4\)和\(3\)的最小公倍數是\(12\)，將方程兩邊同時乘以\(12\)，得到\(12 \frac{2x - 1}{4} - 12 \frac{x + 2}{3} = 12 1\) 。在這個過程中，要特別提醒學生注意不能漏乘方程中的任何一項，尤其是不含分母的項，如方程右邊的\(1\)也要乘以\(12\) 。
去分母法解方程的步驟
去分母：按照上述方法，將方程兩邊同時乘以各分母的最小公倍數，消除方程中的分母，將分數系數方程化為整數系數方程 。
去括號：運用去括號法則，將方程中含有的括號去掉 。如對于去分母后的方程\(3(2x - 1) - 4(x + 2) = 12\)，根據乘法分配律和去括號法則，得到\(6x - 3 - 4x - 8 = 12\) 。
移項：把含有未知數的項移到等號左邊，常數項移到等號右邊，注意移項要變號 。在方程\(6x - 3 - 4x - 8 = 12\)中，移項后得到\(6x - 4x = 12 + 3 + 8\) 。
合并同類項：對移項后的方程進行同類項合并，將同類項的系數相加，字母和指數不變 。在方程\(6x - 4x = 12 + 3 + 8\)中，合并同類項后得到\(2x = 23\) 。
系數化為\(1\)：在方程兩邊同時除以未知數的系數，使方程的解為\(x = a\)（\(a\)為常數）的形式 。對于方程\(2x = 23\)，兩邊同時除以\(2\)，得到\(x = \frac{23}{2}\) 。
檢驗：把求得的未知數的值代入原方程，分別計算方程左右兩邊的值，若左右兩邊相等，則該值是原方程的解；若不相等，則不是原方程的解 。將\(x = \frac{23}{2}\)代入原方程\(\frac{2x - 1}{4} - \frac{x + 2}{3} = 1\)的左邊，計算\(\frac{2 \frac{23}{2} - 1}{4} - \frac{\frac{23}{2} + 2}{3} = \frac{23 - 1}{4} - \frac{\frac{23 + 4}{2}}{3} = \frac{22}{4} - \frac{\frac{27}{2}}{3} = \frac{11}{2} - \frac{9}{2} = 1\)，右邊\(= 1\)，左邊等于右邊，所以\(x = \frac{23}{2}\)是原方程的解 。
（四）例題講解
例 1：解方程\(\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{2} = 1\)
去分母：方程兩邊同時乘以\(6\)（\(3\)和\(2\)的最小公倍數），得到\(6 \frac{x}{3} - 6 \frac{x - 1}{2} = 6 1\)，即\(2x - 3(x - 1) = 6\) 。
去括號：根據去括號法則，\(2x - 3x + 3 = 6\) 。
移項：將\(3\)移到等號右邊變為\(-3\)，\(2x - 3x\)保持在等號左邊，得到\(2x - 3x = 6 - 3\) 。
合并同類項：\(-x = 3\) 。
系數化為\(1\)：方程兩邊同時乘以\(-1\)，\(x = -3\) 。
檢驗：把\(x = -3\)代入原方程左邊，\(\frac{-3}{3} - \frac{-3 - 1}{2} = -1 - \frac{-4}{2} = -1 + 2 = 1\)；代入原方程右邊，\(1\)，左邊等于右邊，所以\(x = -3\)是原方程的解 。
例 2：解方程\(\frac{2x + 1}{3} - \frac{5x - 1}{6} = 1\)
去分母：方程兩邊同時乘以\(6\)，得到\(6 \frac{2x + 1}{3} - 6 \frac{5x - 1}{6} = 6 1\)，即\(2(2x + 1) - (5x - 1) = 6\) 。
去括號：根據乘法分配律和去括號法則，\(4x + 2 - 5x + 1 = 6\) 。
移項：將\(2\)和\(1\)移到等號右邊變為\(-2\)和\(-1\)，\(4x - 5x\)保持在等號左邊，得到\(4x - 5x = 6 - 2 - 1\) 。
合并同類項：\(-x = 3\) 。
系數化為\(1\)：方程兩邊同時乘以\(-1\)，\(x = -3\) 。
檢驗：把\(x = -3\)代入原方程左邊，\(\frac{2 (-3) + 1}{3} - \frac{5 (-3) - 1}{6} = \frac{-6 + 1}{3} - \frac{-15 - 1}{6} = \frac{-5}{3} - \frac{-16}{6} = -\frac{5}{3} + \frac{8}{3} = 1\)；代入原方程右邊，\(1\)，左邊等于右邊，所以\(x = -3\)是原方程的解 。
例 3：解方程\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3\)
去分母：先將方程中的小數分母化為整數，根據分數的基本性質，\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02} = \frac{(0.1x - 0.2) 100}{0.02 100} = \frac{10x - 20}{2}\)，\(\frac{x + 1}{0.5} = \frac{(x + 1) 10}{0.5 10} = \frac{10x + 10}{5}\)，則原方程化為\(\frac{10x - 20}{2} - \frac{10x + 10}{5} = 3\) 。方程兩邊同時乘以\(10\)（\(2\)和\(5\)的最小公倍數），得到\(10 \frac{10x - 20}{2} - 10 \frac{10x + 10}{5} = 10 3\)，即\(5(10x - 20) - 2(10x + 10) = 30\) 。
去括號：根據乘法分配律和去括號法則，\(50x - 100 - 20x - 20 = 30\) 。
移項：將\(-100\)和\(-20\)移到等號右邊變為\(100\)和\(20\)，\(50x - 20x\)保持在等號左邊，得到\(50x - 20x = 30 + 100 + 20\) 。
合并同類項：\(30x = 150\) 。
系數化為\(1\)：方程兩邊同時除以\(30\)，\(x = 5\) 。
檢驗：把\(x = 5\)代入原方程左邊，\(\frac{0.1 5 - 0.2}{0.02} - \frac{5 + 1}{0.5} = \frac{0.5 - 0.2}{0.02} - \frac{6}{0.5} = \frac{0.3}{0.02} - 12 = 15 - 12 = 3\)；代入原方程右邊，\(3\)，左邊等于右邊，所以\(x = 5\)是原方程的解 。
（五）課堂練習
基礎練習
解方程
\(\frac{x + 1}{2} - \frac{2 - 3x}{3} = 1\)
\(\frac{2x - 1}{3} - \frac{x + 2}{4} = 1\)
\(\frac{3x + 5}{2} = \frac{2x - 1}{3}\)
答案：
\(x = \frac{7}{9}\)
\(x = 2\)
\(x = -\frac{17}{5}\)
提高練習
解方程
\(\frac{3y - 1}{4} - 1 = \frac{5y - 7}{6}\)
\(\frac{1}{2}(x - 1) = 2 - \frac{1}{5}(x + 2)\)
\(\frac{0.2x - 0.1}{0.3} - \frac{0.1x + 0.2}{0.2} = 1\)
答案：
\(y = -1\)
\(x = 3\)
\(x = 22\)
拓展練習
已知關于\(x\)的方程\(\frac{2x + a}{3} = \frac{x + a}{2} + 1\)的解與方程\(4x + 5 = 3(x + 1)\)的解相同，求\(a\)的值 。
答案：先解方程\(4x + 5 = 3(x + 1)\)，去括號得\(4x + 5 = 3x + 3\)，移項、合并同類項得\(x = -2\) 。把\(x = -2\)代入方程 (\frac {2x + a}{3} = \frac {x +
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1．經歷探究含有分母的一元一次方程解法過程，掌握含有分母的一元一次方程的解法，體會建模和轉化的數學思想，提高學生解決問題的能力。
2．通過歸納一元一次方程解法的一般步驟，體會解方程的程序化思想方法，培養學生自主探究的意識，讓學生在解題中體會到成功的喜悅。
3．經歷審題、列方程的過程，根據實際問題列出含有分母的一元一次方程并求解，進一步領悟方程思想，形成良好的思維品質，提高思維能力。
重點
難點
故事導入
畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家，有一次有人問他：“尊敬的畢達哥拉斯先生，請告訴我，有多少名學生在你的學校里聽你講課？”畢達哥拉斯回答說：“我的學生，現在有 在學習數學，
在學習音樂， 沉默無言，此外，還有三名婦女。”
請你算一算，畢達哥拉斯的學生有多少名？
（設畢達哥拉斯有x名學生。
x+ x+ x+3=x）
你會解這個方程嗎？
視頻導入
1.上節課我們學習了用去括號解一元一次方程，用到了哪幾個步驟？ 需要注意什么？
2.說出下列各組數的最小公倍數：
(1)2，3 (2)6，8 (3)3，4，8
知識回顧，導入新課
觀察方程 ，它與之前求解的方程有什么不同？
探究點　利用去分母解一元一次方程
例1 解方程
括號前面的系數是分數
分數系數
整數系數
如何解方程
問題引入，合作探究
解法一： 去括號，得 =
移項、合并同類項，得 = 3
方程兩邊都除以 ，得 x =-28
乘法對加法的分配律
等式的基本性質、
乘法對加法的分配律
等式的基本性質
解法二： 去分母，得 4(x+14)=7(x+20)
去括號，得 4x+56=7x+140
移項、合并同類項，得 -3x=84
方程兩邊都除以 -3，得 x =-28
追問：
解法一：按去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1的步驟進行求解；
解法二：先去分母，將括號外的分數系數轉化為整數系數，然后再類似解法一的步驟來解.
(1)兩種解法有什么不同？
(2)你認為哪種解法比較好？為什么？
思考：
解一元一次方程有哪些步驟？
一般通過去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數的系數化為1等步驟，把一個一元一次方程“轉化”成 x=a 的形式.
例2 解方程
解法一： 去分母，得 6(x+15)=15-10(x-7)
去括號，得 6x+90=15-10x+70
移項合并同類項，得 16x=-5
方程兩邊都除以 16，得 x =-
解法二： 去括號，得 x+3
移項合并同類項，得 x =-
方程兩邊都除以 ，得 x =-
例2 解方程
如果先去括號呢？
兩種解法相比，你認為哪種解法比較好？為什么？
針對訓練
解方程：
解：去分母，得
3（3 – x）= 2（x + 4）
去括號，得
9 – 3x = 2x + 8
移項、合并同類項，得
– 5x = – 1
方程兩邊都除以 -5，得
x =
（1）
【選自教材P145 隨堂練習】
（2）
解：去分母，得
7(x + 1)= 3(2x – 3)
去括號，得
7x + 7 = 6x – 9
移項、合并同類項，得
x = – 16
（3）
解：去分母，得
4(x + 2)= 5x
去括號，得
4x + 8 = 5x
移項、合并同類項，得
– x = – 8
方程兩邊都除以 – 1，得
x = 8
（4）
解：去分母，得
3(x + 1)= 4(x – 1)
去括號，得
3x + 3 = 4x – 4
移項、合并同類項，得
– x = – 7
方程兩邊都除以 – 1，得
x = 7
（5）
解：去分母，得
4(2x – 1)= 3(x + 2)– 12
去括號，得
8x – 4 = 3x + 6 – 12
移項、合并同類項，得
5x = – 2
方程兩邊都除以 5，得
x =
（6）
解：去分母，得
5(x – 1)= 20 – 2(x + 2)
去括號，得
5x – 5 = 20 – 2x – 4
移項、合并同類項，得
7x = 21
方程兩邊都除以 7，得
x = 3
解方程
解： 去分母，得 3(10x-6)+12x=4(x+10)
去括號，得 30x-18+12x=4x+40
移項、合并同類項，得 38x=58
方程兩邊都除以 38，得 x =
知識延伸，鞏固升華
針對訓練
解： 去分母，得 18x+3(x-1)=18-2(2x-1)
去括號，得 18x+3x-3=18-4x+2
移項、合并同類項，得 25x=23
方程兩邊都除以 25，得 x =
含參一元一次方程的錯解問題
小軍在解關于x 的方程 去分母時，方程左邊的-1沒有乘10，由此求得方程的解為x=6，求這個方程正確的解.
把x=6代入方程得 解得m =-1
所以原方程為
去分母，得 2(2x+1)-10=5(x-1)
去括號，得 4x+2-10=5x-5
移項、合并同類項，得 -x=3
方程兩邊都除以 -1，得 x =-3
1.根據題意列出方程并求解：
(1)一個數的與3的差等于最大的一位數，求這個數.
解：設這個數為x
x-3=9
去分母，得 x-21=63
移項、合并同類項，得 x=84
答：這個數為84
【選自教材P145 習題5.2 第2題】
隨堂訓練，課堂總結
(2)小穎栽種了一株高為40cm的樹苗，在栽種后的一段時間內，樹苗每周長高約5cm. 按照這樣的速度，大約幾周后樹苗長高到1m ？
解：設大約x周后樹苗長到1m
0.4+0.05x=1
去分母，得 8+x=20
移項、合并同類項，得 x=12
答：大約12周后樹苗長高到1m.
(3)某商店規定：購買超過15000元的物品可以采用分期付款的方式，顧客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至利清. 王叔叔想用分期付款的方式購買價值19500元的電器，他需要用多長時間才能付清尾款？
解：設他需要x月才能付清尾款
3000+1500x=19500
移項、合并同類項，得 1500x=16500
方程兩邊都除以1500得 x=11
答：他需要11周才能付清尾款.
知識點 用去分母解一元一次方程
1.將方程的兩邊同乘____，可得到 ，這
種變形叫________，其依據是_________________。
12
去分母
等式的基本性質2
2.解一元一次方程 時，去分母正確的是( )
D
A. B.
C. D.
3.方程 的解為( )
B
A. B. C. D.
4.（18分）解方程：
（1） ；
解：去分母，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
兩邊都除以2，得 。
（2） ；
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
兩邊都除以，得 。
（3） ；
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
兩邊都除以13，得 。
（4） ；
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 。
（5） ；
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
兩邊都除以14，得 。
（6） 。
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
兩邊都除以26，得 。
5.（8分）［2025鄭州模擬］小紅在解方程 時，第一步出現
了錯誤：
（1）請在小紅錯誤處的下方畫橫線；
解：小紅的錯誤處如圖所示。
（2）寫出你的解答過程。
解：，，， 。
6. 已知方程與方程 的解相
同，則 的值為( )
B
A. B. C. D.
7. 如圖，，為數軸上的兩點，為原點，點，
表示的數分別是，。若，兩點之間的距離等于， 兩點之間的
距離，則 的值是____。
8.［教材習題 變式］父親和女兒現在的年齡之和是91，當父親的
年齡是女兒現在年齡的2倍時，女兒年齡是父親現在年齡的 ，女兒現在
的年齡是____歲。
28
9.（4分）解方程： 。
解：去分母，得 ，去括號，
得，移項、合并同類項，得 ，
兩邊都除以18，得 。
10.（8分） 閱讀以下材料，完成任務。
任務：
（1）由變形到 是利用了( )
C
A.等式的基本性質 B.乘法分配律
C.分數的基本性質 D.去分母
（2）請仿照上述方法解方程：
。
解：原方程可化為 ，
去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
系數化為1，得 。
課堂小結
解一元一次方程的步驟 步驟 根據 注意事項
去分母 等式的基本性質2 ①不漏乘不含分母的項；
②注意給分子添括號、去括號
去括號 乘法對加法的分配律、去括號法則 ①不漏乘括號里的項；
②括號前是“－”號，要變號
移項 移項法則 移項要變號
合并同類項 合并同類項法則 系數相加，不漏項
未知數的系數化為1 等式的基本性質2 乘分數系數的倒數時不要出錯
謝謝觀看！

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