資源簡介

(共59張PPT)
章末復習
第四章 基本平面圖形
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
第四章 基本平面圖形 章末復習
一、知識框架構建
通過這張知識框架圖，我們可以清晰地看到第四章基本平面圖形所涵蓋的主要內容，各知識點之間相互關聯，形成一個完整的知識體系。接下來，我們將對每個部分進行詳細的回顧與梳理。
二、知識要點回顧
（一）線段、射線、直線
定義與表示
線段：有兩個端點，可表示為線段\(AB\)（\(A\)、\(B\)為端點）或線段\(a\) 。
射線：有一個端點，向一端無限延伸，如射線\(OA\)（\(O\)為端點） 。
直線：沒有端點，向兩端無限延伸，可表示為直線\(AB\)或直線\(l\) 。
區別與聯系：從端點個數看，線段\(2\)個，射線\(1\)個，直線\(0\)個；從能否延伸看，線段不能延伸，射線向一端延伸，直線向兩端延伸；它們都是直的，射線和線段是直線的一部分 。
基本性質：兩點確定一條直線；兩點之間，線段最短 。
（二）角
定義與表示
靜態定義：由兩條具有公共端點的射線組成 。
動態定義：一條射線繞端點旋轉形成 。
表示方法：可用三個大寫字母（如\(\angle AOB\)）、一個大寫字母（頂點唯一時）、一個數字或希臘字母（如\(\angle 1\)、\(\angle \alpha\)）表示 。
度量與單位換算：度量單位有度、分、秒，\(1^{\circ}=60'\)，\(1' = 60''\) ，可進行度、分、秒的相互換算 。
比較與角平分線
比較方法：度量法和疊合法 。
角平分線：從角的頂點出發，將角分成相等的兩個角的射線，若\(OC\)平分\(\angle AOB\)，則\(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB\) 。
尺規作角：可作一個角等于已知角，依據是全等三角形 “邊邊邊” 判定定理 。
（三）多邊形
定義與相關概念：由不在同一直線上的線段首尾順次相連組成的封閉平面圖形，有邊、頂點、內角、對角線等概念 。
分類：按邊數分為三角形、四邊形等；按邊和角是否相等分為正多邊形和一般多邊形 。
對角線計算：從\(n\)邊形一個頂點出發可引出\((n - 3)\)條對角線，\(n\)邊形對角線總條數為\(\frac{n(n - 3)}{2}\) 。
（四）圓
定義與相關概念
動態定義：線段繞端點旋轉一周形成 。
集合定義：平面內到定點距離等于定長的點的集合 。相關概念有圓心、半徑、弦、直徑、弧、扇形等 。
基本計算：直徑\(d = 2r\)，圓的周長\(C = 2\pi r\)，面積\(S = \pi r^2\)，扇形面積\(S = \frac{n\pi r^2}{360}\)（\(n\)為圓心角度數） 。
三、典型例題精講
（一）線段、射線、直線相關
例題 1：下列說法正確的是（ ）
A. 射線\(AB\)和射線\(BA\)是同一條射線
B. 直線比射線長
C. 經過兩點有且只有一條直線
D. 線段\(AB\)和線段\(BA\)不是同一條線段
答案：C
解析：射線\(AB\)端點是\(A\)，射線\(BA\)端點是\(B\)，不是同一條射線，A 錯誤；直線和射線長度無限，無法比較，B 錯誤；經過兩點有且只有一條直線，C 正確；線段\(AB\)和線段\(BA\)是同一條線段，D 錯誤 。
（二）角相關
例題 2：已知\(\angle AOB = 60^{\circ}\)，\(OC\)平分\(\angle AOB\)，\(\angle AOD = 15^{\circ}\)，求\(\angle DOC\)的度數 。
解：因為\(OC\)平分\(\angle AOB\)，所以\(\angle AOC = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} 60^{\circ} = 30^{\circ}\) 。
當\(OD\)在\(\angle AOC\)內部時，\(\angle DOC = \angle AOC - \angle AOD = 30^{\circ} - 15^{\circ} = 15^{\circ}\)；
當\(OD\)在\(\angle AOC\)外部時，\(\angle DOC = \angle AOC + \angle AOD = 30^{\circ} + 15^{\circ} = 45^{\circ}\) 。
（三）多邊形相關
例題 3：一個多邊形的內角和是外角和的\(3\)倍，這個多邊形是幾邊形？
解：設這個多邊形是\(n\)邊形，多邊形外角和是\(360^{\circ}\)，內角和公式為\((n - 2) 180^{\circ}\) 。
由題意得\((n - 2) 180^{\circ} = 3 360^{\circ}\)，\(n - 2 = 6\)，解得\(n = 8\) 。所以這個多邊形是八邊形 。
（四）圓相關
例題 4：已知圓的半徑增加\(2\)厘米，圓的周長增加了多少厘米？（\(\pi\)取\(3.14\)）
解：設原來圓的半徑為\(r\)厘米，原來周長\(C_1 = 2\pi r\)厘米 。
半徑增加\(2\)厘米后，半徑為\((r + 2)\)厘米，此時周長\(C_2 = 2\pi (r + 2) = 2\pi r + 4\pi\)厘米 。
周長增加的值為\(C_2 - C_1 = 2\pi r + 4\pi - 2\pi r = 4\pi\) 。
把\(\pi = 3.14\)代入，得\(4 3.14 = 12.56\)厘米 。
四、專項鞏固練習
填空題
把\(15^{\circ}30'\)化成度的形式是______ 。
從五邊形的一個頂點出發，可以作______ 條對角線 。
已知扇形的圓心角為\(120^{\circ}\)，半徑為\(3\)厘米，扇形的面積是______ 平方厘米（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
選擇題
下列圖形中，是正多邊形的是（ ）
A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正六邊形
用一個平面去截一個圓，得到的圖形不可能是（ ）
A. 圓 B. 橢圓 C. 三角形 D. 線段
解答題
已知線段\(AB = 10\)厘米，點\(C\)在線段\(AB\)上，且\(AC = 4\)厘米，點\(M\)是\(AB\)中點，點\(N\)是\(AC\)中點，求線段\(MN\)的長度 。
如圖，\(\angle AOC = 80^{\circ}\)，\(\angle BOC = 50^{\circ}\)，\(OD\)平分\(\angle AOB\)，求\(\angle AOD\)的度數 。
（此處插入相應圖形）
一個圓的周長是\(31.4\)厘米，求這個圓的半徑和面積（\(\pi\)取\(3.14\)） 。
五、課堂總結
再次回顧本章的知識框架和重點內容，強化對基本平面圖形概念、性質、計算方法的記憶 。
強調在解決問題時，要認真分析題目條件，靈活運用所學知識，注意分類討論等數學思想的應用 。
鼓勵同學們課后對做錯的題目進行整理和反思，加強薄弱環節的練習，進一步提升對基本平面圖形知識的掌握程度 。
這份復習資料系統梳理了第四章知識，通過多種題型幫助鞏固。你若對內容深度、例題類型、練習難度等有不同想法，歡迎隨時提出，我們共同調整。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
知識框架
基本平面圖形
直線
射線
線段
線段的中點
兩點之間線段最短
兩點之間線段的長度
角
概念
角的度量
角的平分線
角的大小比較
多邊形
概念
多邊形的對角線
正多邊形
圓
概念
圓弧
扇形
圓心角
知識梳理
1.線段、射線、線段的聯系與區別
（1）區別
一、線段、射線、直線
圖形名稱 圖形畫法 表示方法 延伸情況 端點個數 能否度量
線段
射線
直線
A
B
a
O
A
A
B
m
線段AB
或線段a
射線OA
直線AB
或直線m
不能延伸
一方延伸
兩方延伸
兩個
一個
沒有
能
否
否
①都是直的
②射線和線段都可以看做是直線的一部分；線段向一方無限延伸就成為_____，向兩方無限延伸就成為_____；射線向反方向無限延伸就成為_____。
（2）聯系
射線
直線
直線
A
B
a
O
A
A
B
m
2.有關線段的基本事實
（1）兩點之間，_____最短。
線段
（2）兩點之間線段的長度，叫作這兩點之間的_____。
距離
3.比較線段的長短
A
B
（C）
D
A
D
（C）
B
A
B
（C）
（D）
線段AB大于線段CD
AB＞CD
線段AB等于線段CD
AB=CD
線段AB小于線段CD
AB＜CD
點M把線段AB 分成_____的兩條線段AM與BM，點M 叫作線段 AB 的中點。
相等
4.線段的中點
A
B
M
幾何語言：
若點M 是線段 AB 的中點，
則
AM=MB= AB
（或AB=2AM=2BM ）
1.角的概念
類型 概念 舉例
靜態描述
動態描述
角由兩條具有公共頂點的射線組成
角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的
頂點
邊
邊
頂點
終邊
始邊
二、角
表示方法 圖示 記法 注意
用三個大寫英文字母表示
用一個大寫英文字母表示
用數字或希臘字母表示
O
A
B
∠AOB或∠BOA
∠O
∠AOB記作∠α
∠BOC記作∠1
頂點字母寫在中間
在頂點處只有一個角時才能用這種方法表示
要在靠近頂點處加上弧線并標注
O
A
B
C
α
1
2.角的表示方法
3.角的度量與單位換算
1°的 為 1 分，記作 1′，
即 1°= 60′。
1′ 的 為 1 秒，記作 1′′，
即 1′ = 60′′。
度
分
秒
×60
×60
×3600
÷60
÷60
÷3600
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
4.方位角
北
西
東
南
O
東北
東南
西南
西北
北偏西45°
南偏西45°
北偏東45°
南偏東45°
A
D
C
B
北
西
東
南
O
30°
25°
M
N
南偏西25°
北偏東30°
5.角的比較
O C在∠AOB內部
O C與OA重合
O C在∠AOB外部
O
B
A
（D）
（O'）
C
O
B
A
（O'）
（D）
（C）
O
B
A
（O'）
（D）
C
∠AOB大于∠CO′D
記作∠AOB＞∠CO′D
∠AOB等于∠CO′D
記作∠AOB=∠CO′D
∠AOB小于∠CO′D
記作∠AOB＜∠CO′D
6.角的和與差
語言表示 數學記法
O
A
C
B
∠AOC=∠AOB+
∠BOC
∠AOC是∠AOB與
∠BOC的和
∠AOB=∠AOC-
∠BOC
∠AOB是∠AOC與
∠BOC的差
∠BOC=∠AOC-
∠AOB
∠BOC是∠AOC與
∠AOB的差
7.角的平分線
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個_____的角，這條射線叫作這個角的平分線。
相等
幾何語言：
O
B
A
C
如圖，射線 OC 是∠AOB 的平分線
這時，∠AOC =∠BOC = ∠AOB
（或∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC）
三、多邊形和圓的初步認識
1.多邊形的頂點、邊、內角、對角線的概念
元素 概念 舉例 圖例
頂點
邊 內角 對角線
A
B
C
D
E
五邊形ABCDE
相鄰兩條邊的公共端點
點A，B，C，D，E
組成多邊形的各條線段
線段AB，BC，CD，DE，EA
相鄰兩條邊所組成的角
∠EAB，∠ABC ，∠BCD ，∠CDE，∠DEA
連接不相鄰兩個頂點的線段
線段AC，AD
各邊相等、各角也相等的多邊形叫作正多邊形
兩個條件缺一不可
正三角形
正四邊形（正方形）
正五邊形
正六邊形
正八邊形
2.正多邊形
3.圓
概念 概念 圖例
圓
圓心 半徑
A
O
平面上，一條線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形
固定的端點O
線段OA
概念 概念 圖例
圓弧
扇形 圓心角
A
O
B
圓上任意兩點 A，B 間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作 ，讀作“圓弧 AB ”或“弧 AB ”
由一條弧 AB 和經過這條弧的端點的兩條半徑 OA，OB 所組成的圖形
頂點在圓心的角
復習題
1.如圖，在同一平面內有四個點 A，B，C，D，請用直尺按下列要求作圖：
（1）作射線 CD；
（2）作直線 AD；
（3）連接AB；
（4）作直線 BD與直線
AC 相交于點O.
A
B
C
D
O
知識技能
2. 將彎曲的河道改直，可以縮短航程，請你說一說其中的道理。
解：兩點之間線段最短。
3.如圖，∠ABC 是平角，過點 B 任作一條射線 BD ，得到 ∠DBA 與 ∠DBC。當∠DBA 分別是什么角時，∠DBA＜∠DBC ， ∠DBA＞∠DBC， ∠DBA=∠DBC？
A
B
C
解：當∠DBA 是銳角時，∠DBA＜∠DBC。
當∠DBA 是鈍角時，∠DBA＞ ∠DBC。
當∠DBA 是直角時，∠DBA= ∠DBC。
4.一副三角尺拼成如圖所示的圖案，求∠EFC，∠CED，∠AFC 的度數.
解：∠EFC = 45°，
∠CED =60°，
∠AFC = 135°。
5. 如圖，分別求出甲、乙、丙三個扇形的圓心角的度數。
解：甲、乙、丙三個扇形的圓心角的度數分別為
360°×25% = 90°，360°×40% = 144°，
360°×35% = 126°。
6. 如圖，甲、乙、丙、丁四個扇形的面積之比為 1∶2∶3∶4，分別求出它們圓心角的度數。
解：甲、乙、丙、丁四個扇形的圓心角的度數分別為
數學理解
7.如圖，建筑工人砌墻時，經常先在兩端立樁拉線，然后沿著線砌墻，請你用數學知識解釋這樣做的道理。
解：兩點確定一條直線。
問題解決
8.如圖，已知線段 a，直線 AB 與直線 CD 相交于點 O，請用尺規按下列要求作圖：
（1）在射線OA，OB， OC，OD上作線段 OA′，OB′，OC′，OD′，使它們分別與線段 a 相等；
（2）連接 A′C′，C′B′，B′D′，D′A′。
你得到了一個怎樣的圖形？
解：（1）（2）如圖所示。
所得到的圖形是正四邊形(正方形).
9.用尺規完成下列作圖：
（1）如圖（1），已知∠α，∠β，且∠α＞∠β，作∠DEF，使∠DEF=∠α-∠β ；
（2）如圖（2），以點B為頂點、射線BC為一邊，作∠EBC，使∠EBC=∠A。
α
β
（1）
（2）
A
B
C
D
解：（1）如圖，∠DEF即為所求。
解：（2）如圖，∠EBC即為所求。
考點1 六個概念
概念1 直線、射線、線段
1.下列說法正確的是( )
C
A.直線與直線是不同的直線 B.射線與射線 是同一條射線
C.線段與線段是同一條線段 D.直線
概念2 線段的中點
2.如圖，點是線段的中點，點是線段 的中點，則下列式子不正
確的是( )
D
A. B.
C. D.
概念3 角
3.（4分）［教材習題變式］如圖，以 為頂
點的角有幾個？把它們表示出來。以 為頂點的小于
平角的角有幾個？把它們表示出來。
解：以為頂點的角有3個，分別是，， 。
以為頂點的小于平角的角有4個，分別是，， ，
。
概念4 角平分線
4.如圖，射線平分，射線平分 ，有以
下結論：
； ；
； 。
其中正確的有( )
A
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
概念5 多邊形
5.［2025洛陽期末］從七邊形的一個頂點出發，最多可以引出 條對角
線，這些對角線將該七邊形分割成個三角形，則 的值為( )
C
A.7 B.8 C.9 D.10
概念6 圓及其相關概念
6.如圖是一個以 為圓心的圓。
（1）半徑有_________；
（2）直徑有____。
，
考點2 兩個性質（基本事實）
性質1 直線的基本事實
7.生活中有下列兩種現象，對于這兩種現象的解釋正確的是( )
現象1：打靶瞄準
現象2：燃放的煙花在天空形成美麗的弧線
D
A.均用“兩點之間線段最短”來解釋
B.均用“兩點確定一條直線”來解釋
C.現象1用“兩點之間線段最短”來解釋，現象2用“線動成面”來解釋
D.現象1用“兩點確定一條直線”來解釋，現象2用“點動成線”來解釋
性質2 線段的基本事實
8.下列現象中，可以用基本事實“兩點之間線段最短”來解釋的是( )
B
A.用兩個釘子就可以把木條固定在墻上
B.把彎曲的公路改直，就能縮短路程
C.利用圓規可以比較兩條線段的長短關系
D.植樹時，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線
考點3 三個計算
計算1 線段的有關計算
9.（4分）［2025湛江期末］如圖，，是線段上的兩點，是 的
中點，是的中點，若，，求 的長。
解：因為， ，
所以 。
因為是的中點，是的中點，所以， ，
所以 ，
所以 。
計算2 角的有關計算
10.（4分）已知 ，，求 的度數。
解：因為 ， ，所以
。
分以下兩種情況：
①如圖①，則 ；
②如圖②，則
。
綜上，的度數為 或 。
計算3 圓心角與扇形面積的計算
11.（8分）將一個半徑為 的圓分成三個扇形，其圓心角的比為
，求：
（1）各個扇形的圓心角的度數；
解：因為一個周角為 ，所以各個扇形的圓心角的度數分別為
， ， 。
（2）其中面積最大的扇形的面積。
解：因為 ，所以圓心角為 的扇形的面積最大，
其面積為 。
故其中面積最大的扇形的面積是 。
考點4 三個方法
方法1 幾何計數的方法
12.（12分）如圖，平面內有，， 三點，過其中任意兩點畫直線，
有如下兩種情況：
（1）若平面內有，，， 四個點，過其中任意兩點畫直線，有多
少種情況？請畫圖說明。
解：如圖所示，有三種情況。
（2）若平面內有六個點，過其中任意兩點畫直線，最多可以畫多少條
直線？
解：最多可以畫 （條）直線。
（3）若平面內有 個點，過其中任意兩點畫直線，最多可以畫多少條直
線？（直接寫出結果）
解：最多可以畫 條直線。
方法2 線段、角的大小的比較方法
13.（8分）如圖，點，， 在正方形網格的格點上，所有小正方形的
邊長都相等，按要求畫圖：
（1）畫出線段，直線，射線 ；
解：如圖所示，線段，直線，射線 即為所求。
（2）延長線段到點，使，根據畫圖可以發現： __
，線段___線段；___（后兩個空填“ ”“ ”或“
”）。
解：如圖所示， 即為所求。
方法3 尺規作圖的方法
14.（8分）［2025杭州月考］如圖，已知平面上有射線，線段 和
。
（1）用尺規完成下列作圖：延長線段到，使；以 為頂
點，射線為一邊，在射線上方作，使它等于 ；
（不寫作法，保留作圖痕跡）
解：如圖，， 即為所求。
（2）根據（1）中所作圖形，比較和的大小。若點 是線段
的中點，，，求線段 的長度。
解：由（1）知， ,
因為 ,
所以 。
因為， ,
所以 。
因為點是線段 的中點，
所以 ，
所以 。
考點5 四種思想
思想1 方程思想
15.在一條直線上順次取，，，四點，使 ，若
，，則___ 。
5
思想2 從特殊到一般的思想
16.（8分）如圖，為直線 上一點，
，平分 。
（1）若 ，求 的度數；
解：因為 ，平分 ，
所以 。
所以 。
（2）猜想與 之間有怎樣的數量關系，并說明理由。
解： 。理由如下：
因為，平分 ，所以
，
即 。
又因為 ，
所以 。
思想3 分類討論思想
17.（4分）已知線段，直線上有一點，且 ，
是線段的中點，求線段 的長。
解：當點在線段 上時，如圖①所示。
因為是線段 的中點，
所以 。
又因為，， ，
所以 。
當點在線段 的延長線上時，如圖②所示。
同理可得 。
又因為，， ，
所以 。
綜上，線段的長為或 。
思想4 數形結合思想
18.（8分） 如圖，已知數軸上有三點，， ，它們
表示的數分別為，，，且，點 表示的數是20。
（1）若，求， 的值；
解：因為，所以，所以 。
因為點表示的數是20，所以點表示的數是，點 表示
的數是 。
所以的值為，的值為 。
（2）在（1）的條件下，動點，分別從， 兩點同時出發向左運動，
同時動點從點出發向右運動，點，， 的速度分別為8個單位長度
/秒、4個單位長度/秒、2個單位長度/秒，點為線段的中點，點 為
線段的中點，在點，相遇前，運動多少秒時恰好滿足 ？
解：設運動秒時恰好滿足，易知 。
由（1）得 ，所以易得
， ，
所以當時，，解得 。
所以運動2.5秒時恰好滿足 。
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑