資源簡介

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章末復習
第五章 一元一次方程
【2025新教材】北師大版數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
5.3.3 行程問題
一、教學目標
知識與技能目標
學生能熟練掌握行程問題中速度、路程、時間三者之間的基本關系，理解相遇問題、追及問題等常見行程問題類型的特點。
學會運用方程或算術方法，準確分析行程問題中的數量關系，建立數學模型并求解，能熟練解決不同情境下的行程問題。
過程與方法目標
通過分析行程問題中的實際情境，經歷將實際問題轉化為數學模型的過程，培養學生的抽象思維和邏輯推理能力。
在解決行程問題的過程中，學會運用線段圖等工具輔助分析，提高學生分析問題和解決問題的能力，增強知識的綜合運用能力。
情感態度與價值觀目標
讓學生感受行程問題在生活中的廣泛應用，體會數學與生活的緊密聯系，激發學生學習數學的興趣和應用數學的意識。
通過解決具有挑戰性的行程問題，培養學生勇于探索、克服困難的精神，增強學生學習數學的自信心和成就感。
二、教學重難點
教學重點
深入理解行程問題中速度、路程、時間的關系，熟練掌握相遇問題、追及問題的基本解題思路和方法。
能夠根據行程問題的具體情境，準確找出等量關系，列出方程或算式進行求解。
教學難點
對于復雜的行程問題，如多次相遇、環形跑道、流水行船等問題，能夠清晰分析數量關系，建立正確的數學模型。
靈活運用行程問題的相關知識，解決實際生活中具有多種變化的行程問題，提高學生的綜合應用能力。
三、教學方法
復習導入法：通過復習速度、路程、時間的基本公式及簡單應用，激活學生已有知識，為學習復雜行程問題做好鋪墊。
講授法：詳細講解行程問題的各種類型、解題思路和方法，結合實例進行分析，幫助學生理解掌握。
直觀演示法：運用線段圖、動畫等直觀手段，展示行程問題中物體的運動過程，幫助學生更好地理解題意，分析數量關系。
小組合作法：組織學生進行小組討論，共同探討復雜行程問題的解法，交流解題思路，培養學生的合作能力和思維能力。
練習鞏固法：設計不同層次的練習題，讓學生在練習中鞏固知識，提高解題能力，及時反饋學習效果。
四、教學過程
（一）復習回顧
回顧行程問題的基本公式
提問學生速度、路程、時間三者之間的關系，引導學生說出路程 = 速度 × 時間（\(s = vt\)）、速度 = 路程 ÷ 時間（\(v = s ·t\)）、時間 = 路程 ÷ 速度（\(t = s ·v\)） 。
通過簡單的填空練習，如 “一輛汽車每小時行駛 60 千米，3 小時行駛（ ）千米”“小明騎自行車行駛 120 米用了 20 秒，他的速度是（ ）米 / 秒”，幫助學生鞏固對公式的運用。
簡單行程問題回顧
展示一道簡單的行程問題：“小華從家到學校，步行速度是 4 千米 / 小時，走了 1.5 小時，小華家到學校的距離是多少千米？” 讓學生獨立完成，然后請學生講解解題思路，回顧運用基本公式解決問題的方法。
（二）情境導入
展示問題情境
播放一段動畫：甲、乙兩人分別從 A、B 兩地同時出發，相向而行，經過一段時間后兩人相遇。
提出問題：已知甲的速度是 5 千米 / 小時，乙的速度是 4 千米 / 小時，A、B 兩地相距 18 千米，兩人經過幾小時相遇？
引導思考
引導學生思考這個問題與之前復習的簡單行程問題的不同之處，激發學生的學習興趣，引出本節課要學習的相遇問題等行程問題類型。
（三）新知探究
相遇問題
分析特點：講解相遇問題的特點，即兩個運動物體同時從兩地相向而行，直到相遇，它們所行駛的路程之和等于兩地之間的距離。
解題思路：以導入中的問題為例，引導學生分析數量關系。設兩人經過\(x\)小時相遇，根據路程 = 速度 × 時間，甲行駛的路程為\(5x\)千米，乙行駛的路程為\(4x\)千米，由于兩人行駛路程之和等于 A、B 兩地的距離 18 千米，可得到等量關系\(5x + 4x = 18\) 。
總結方法：總結相遇問題的一般解題方法，通常設相遇時間為未知數，根據 “甲的路程 + 乙的路程 = 總路程” 列出方程求解；也可以先求出兩人的速度和，再根據 “相遇時間 = 總路程 ÷ 速度和” 用算術方法求解。
追及問題
分析特點：介紹追及問題，是指兩個運動物體同向而行，速度快的物體追速度慢的物體，當追上時，速度快的物體比速度慢的物體多行駛的路程等于開始時兩者之間的距離。
解題思路：舉例：甲、乙兩人同向而行，甲的速度是 6 米 / 秒，乙的速度是 4 米 / 秒，開始時乙在甲前方 10 米處，問甲經過多長時間追上乙？設甲經過\(x\)秒追上乙，甲行駛的路程為\(6x\)米，乙行駛的路程為\(4x\)米，根據 “甲的路程 - 乙的路程 = 開始時的距離”，可列出方程\(6x - 4x = 10\) 。
總結方法：追及問題一般設追及時間為未知數，依據 “快者的路程 - 慢者的路程 = 追及路程” 列方程；也可利用 “追及時間 = 追及路程 ÷ 速度差” 用算術法求解。
其他類型行程問題
簡單介紹環形跑道問題、流水行船問題等。如環形跑道問題中，同向而行時，快的比慢的多跑一圈才再次相遇；相向而行時，兩人路程和為一圈 。流水行船問題中，順水速度 = 船速 + 水速，逆水速度 = 船速 - 水速 。說明這些問題雖然情境不同，但本質上都是依據速度、路程、時間的關系來解決，后續會深入學習。
（四）例題講解
相遇問題例題
例 1：A、B 兩城相距 480 千米，甲、乙兩車同時從兩城相對開出，甲車每小時行 55 千米，乙車每小時行 65 千米，兩車經過幾小時相遇？
分析：設兩車經過\(x\)小時相遇，根據 “甲的路程 + 乙的路程 = 總路程”，甲的路程為\(55x\)千米，乙的路程為\(65x\)千米，可列方程\(55x + 65x = 480\) 。
解答：解方程\(120x = 480\)，得\(x = 4\) 。
檢驗：把\(x = 4\)代入原方程，左邊\(= 55 4 + 65 4 = 220 + 260 = 480\)，右邊\(= 480\)，左邊等于右邊，答案正確 。
答：兩車經過 4 小時相遇 。
追及問題例題
例 2：小明和小紅在同一條路上跑步，小明的速度是 8 米 / 秒，小紅的速度是 6 米 / 秒，小紅先跑了 10 秒后小明才開始跑，小明起跑后經過多少秒可以追上小紅？
分析：設小明起跑后經過\(x\)秒可以追上小紅。小紅先跑 10 秒的路程為\(6 10 = 60\)米，在小明跑的\(x\)秒內，小紅又跑了\(6x\)米，小明跑了\(8x\)米，根據 “小明的路程 - 小紅的路程 = 小紅先跑的路程”，可列方程\(8x - 6x = 6 10\) 。
解答：解方程\(2x = 60\)，得\(x = 30\) 。
檢驗：把\(x = 30\)代入原方程，左邊\(= 8 30 - 6 30 = 240 - 180 = 60\)，右邊\(= 6 10 = 60\)，左邊等于右邊，答案正確 。
答：小明起跑后經過 30 秒可以追上小紅 。
綜合行程問題例題
例 3：一艘輪船在靜水中的速度是 20 千米 / 小時，水流速度是 4 千米 / 小時，輪船從 A 港順水航行到 B 港用了 6 小時，那么從 B 港逆水航行返回 A 港需要多少小時？
分析：先根據順水速度 = 船速 + 水速，求出順水速度為\(20 + 4 = 24\)千米 / 小時，再根據路程 = 速度 × 時間，求出 A、B 兩港的距離為\(24 6 = 144\)千米 。然后根據逆水速度 = 船速 - 水速，求出逆水速度為\(20 - 4 = 16\)千米 / 小時 。最后設從 B 港逆水航行返回 A 港需要\(x\)小時，根據路程不變，可列方程\(16x = 144\) 。
解答：解方程得\(x = 9\) 。
檢驗：把\(x = 9\)代入原方程，左邊\(= 16 9 = 144\)，右邊\(= 144\)，左邊等于右邊，答案正確 。
答：從 B 港逆水航行返回 A 港需要 9 小時 。
（五）課堂練習
基礎練習
甲、乙兩人分別從相距 30 千米的兩地同時出發，相向而行，甲每小時行 6 千米，乙每小時行 4 千米，兩人幾小時后相遇？
答案：設兩人\(x\)小時后相遇，\(6x + 4x = 30\)，\(10x = 30\)，解得\(x = 3\) 。答：兩人 3 小時后相遇 。
甲、乙兩車同向而行，甲車速度是 70 千米 / 小時，乙車速度是 50 千米 / 小時，乙車先出發 2 小時，甲車出發后幾小時能追上乙車？
答案：設甲車出發后\(x\)小時能追上乙車，\(70x - 50x = 50 2\)，\(20x = 100\)，解得\(x = 5\) 。答：甲車出發后 5 小時能追上乙車 。
提高練習
甲、乙兩人在環形跑道上跑步，跑道長 400 米，甲的速度是 8 米 / 秒，乙的速度是 6 米 / 秒，兩人同時同地同向出發，經過多少秒甲第一次追上乙？
答案：設經過\(x\)秒甲第一次追上乙，\(8x - 6x = 400\)，\(2x = 400\)，解得\(x = 200\) 。答：經過 200 秒甲第一次追上乙 。
一艘船在河中航行，順水速度是 25 千米 / 小時，逆水速度是 15 千米 / 小時，求船在靜水中的速度和水流速度。
答案：設船在靜水中的速度是\(x\)千米 / 小時，水流速度是\(y\)千米 / 小時，可列方程組\(\begin{cases}x + y = 25\\x - y = 15\end{cases}\)，兩式相加得\(2x = 40\)，解得\(x = 20\)，把\(x = 20\)代入\(x + y = 25\)，得\(y = 5\) 。答：船在靜水中的速度是 20 千米 / 小時，水流速度是 5 千米 / 小時 。
拓展練習
A、B 兩地相距 540 千米，甲、乙兩車分別從 A、B 兩地同時出發，相向而行，甲車速度是 60 千米 / 小時，乙車速度是 40 千米 / 小時，途中甲車因故障停留了 1 小時，兩車相遇時乙車行駛了多少千米？
答案：設兩車相遇時行駛了\(x\)小時，\(60(x - 1) + 40x = 540\)，\(60x - 60 + 40x = 540\)，\(100x = 600\)，解得\(x = 6\) 。乙車行駛的路程為\(40 6 = 240\)千米 。答：兩車相遇時乙車行駛了 240 千米 。
甲、乙兩人從同一地點出發，同向而行，甲騎自行車，速度是 18 千米 / 小時，乙步行，速度是 6 千米 / 小時，乙先走 2 小時后甲才出發，甲出發后多久兩人相距 6 千米？
答案：分兩種情況。第一種情況，甲還沒追上乙且相距 6 千米，設甲出發后\(x\)小時兩人相距 6 千米，\(6(x + 2) - 18x = 6\)，\(6x + 12 - 18x = 6\)，\(-12x = -6\)，解得\(x = 0.5\) 。第二種情況，甲超過乙 6 千米，設甲出發后\(y\)小時兩人相距 6 千米，\(18y - 6(y + 2) = 6\)，\(18y - 6y - 12 = 6\)，\(12y = 18\)，解得\(y = 1.5\) 。答：甲出發后 0.5 小時或 1.5 小時兩人相距 6 千米 。
（六）課堂小結
回顧行程問題的基本公式，以及相遇問題、追及問題等常見類型的特點和解題方法。
強調在解決行程問題時，要善于運用線段圖等工具分析數量關系，找出等量關系，合理選擇方程或算術方法求解。
鼓勵學生在生活中發現行程問題，運用所學知識解決實際問題，提高數學應用能力。
（七）布置作業
必做題
課本課后相關練習題，鞏固行程問題的基本解法 。
甲、乙兩車從相距 420 千米的兩地同時出發，相向而行，甲車速度是 60 千米 / 小時，乙車速度是 80 千米 / 小時，兩車幾小時后相遇？相遇時甲車行駛了多少千米？
選做題
甲、乙兩人在 400 米長的環形跑道上跑步，甲的速度是 3 米 / 秒，乙的速度是 2 米 / 秒，如果兩人同時同地反向出發，多長時間后兩人第一次相遇？如果兩人同時同地同向出發，多長時間后甲第一次追上乙？
一艘輪船從甲地順水航行到乙地用了 5 小時，從乙地逆水航行返回甲地用了 7 小時，已知水流速度是 3 千米 / 小時，求甲、乙兩地的距離 。
這份課件圍繞行程問題展開教學，涵蓋多種類型和解題思路。你若對課件的內容編排、例題難度、練習設置等方面有想法，歡迎隨時和我溝通，一起優化完善。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
本章知識回顧
一元一次方程
概念
方程的解
解方程
認識方程
等式基本性質
同類相、移項
去括號
去分母
一元一次方程的解法
幾何圖形問題
古代數學問題
行程問題
一元一次方程應用
知識點回顧
在一個方程中，只含有____個未知數，且方程中的代數式都是______，未知數的次數都是____，這樣的方程叫作一元一次方程.
一
整式
1
使方程左、右兩邊的值_____的未知數的值，叫作方程的解. 求方程的解的過程稱為解方程.
相等
方程的有關概念
下列式子中是一元一次方程的有（ ）.
B
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
① x + 3 = ； ② 7x = 3； ③ 4x – 3 = 3x + 2； ④ x = 2； ⑤ x + y = 5； ⑥ x2 + 3x = 1.
等式的基本性質：
等式的兩邊都加(或減)同一個代數式，所得結果仍是等式.
等邊的兩邊都乘同一個數(或除以同一個不為0的數)，所得結果仍是等式.
用字母可以表示
如果a=b，那么 a+c=b+c ， a-c=b-c；
如果a=b，那么 ac=bc ，
= (c≠0)
下列等式變形正確的是（ ）.
B
等式的基本性質
A. 如果x=6，那么 x = 3
B. 如果 x – 3 = y – 3，那么 x – y = 0
C. 如果 mx = my，那么 x = y
D. 如果S =ab，那么 b=
解一元一次方程的步驟 步驟 根據 注意事項
去分母 等式的基本性質2 ①不漏乘不含分母的項；
②注意給分子添括號、去括號
去括號 乘法對加法的分配律、去括號法則 ①不漏乘括號里的項；
②括號前是“－”號，要變號
移項 移項法則 移項要變號
合并同類項 合并同類項法則 系數相加，不漏項
未知數的系數化為1 等式的基本性質2 乘分數系數的倒數時不要出錯
解一元一次方程
解一元一次方程的步驟
解方程：
解： 去分母，得 5(3x – 2)+ 20 = 2(x + 1)
去括號，得 15x – 10 + 20 = 2x + 2
移項，合并同類項，得 13x = – 8
系數化為1，得 x = –
用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
讀題分析題中已知什么，求什么？有哪些事物在什么方面產生關系？
設未知數(直接設，間接設)，包括單位名稱.
把相等關系中各個量轉化成代數式，從而列出方程.
解方程，求出未知數的值（x = a）
寫出答案
審
列
設
答
解
驗
檢驗所求解是否符合題意
實際問題
數學問題
（一元一次方程）
數學問題的解
（一元一次方程的解）
實際問題的解
抽象
解方程
驗證
解釋
用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
尋找等量關系
用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
商場將某種品牌的冰箱先按進價提高50%作為標價，然后打出“八折酬賓，外送100元運裝費”的廣告，結果每臺冰箱仍獲利300元，求每臺冰箱的進價是多少元.
解：設每臺冰箱的進價為 x 元，則標價為x(1+50%)元，
實際售價為x(1+50%)×80%元
由題意得：x(1+50%)×80% – 100 – x = 300
解得，x = 2000
答：每臺冰箱的進價是 2000 元.
1.解方程
解：去分母，得 5x – 3x = 4
合并同類項，得 2x = 4
方程兩邊都除以2，得
x = 2
（1） ；
（2） ；
解：去分母，得 4 – 48x = 18 – 3x
移項，合并同類項，得 – 45x = 14
方程兩邊都除以45 x =
復習題
知識技能
（3）0.5x – 0.7 = 6.5 – 1.3x；
解：移項，合并同類項，得
1.8x = 7.2
方程兩邊都除以1.8，得
x = 4
（4）
解：去分母，得
5(3x – 6) = 6×2x – 3×30
去括號，得
15x – 30 = 12x – 90
移項，合并同類項，得 3x = – 60
方程兩邊都除以3，得
x = – 20
(5)3(x-7)+5(x-4)=15
(6)4x-3(20-x)=-4
解：去括號，得
3x – 21+5x-20 =15
移項，合并同類項，得 8x = 56
方程兩邊都除以8，得
x = 7
解：去括號，得
4x – 60+3x =-4
移項，合并同類項，得 7x = 56
方程兩邊都除以7，得
x = 8
(7)
(8)
解：去分母，得
5(y-1)= 20 – 2(y+2)
去括號，得
5y-5= 20-2y-4
移項，合并同類項，得 7y =21
方程兩邊都除以7，得
y= 3
解：去分母，得
7(1-2x)= 6(3x+1)
去括號，得
7-14x= 18x+6
移項，合并同類項，得 -32x=-1
方程兩邊都除以-32，得
x =
2.在公式s=s0+vt中，已知s=100，s0=25，v=10，求t的值
解： s=100，s0=25，v=10代入方程得
100=25+10t
移項，合并同類項，得 75= 10t
方程兩邊都除以10，得
t= 7.5
考點1 三個概念
概念1 方程
1.下列各式中，是方程的有( )
；；； ；
； 。
C
A.2個 B.3個 C.5個 D.4個
概念2 一元一次方程
2.若關于的方程是一元一次方程，則 ____。
概念3 方程的解
3.［教材復習題變式］已知是一元一次方程 的
解，則 ___。
5
考點2 一個性質——等式的基本性質
4.［2025武漢期末］下列變形不一定正確的是( )
D
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
考點3 一個解法——一元一次方程的解法
5.（12分）解方程：
（1） ；
解：移項，得 ，
合并同類項，得 ，
系數化為1，得 。
（2） ；
解：去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
系數化為1，得 。
（3） 。
解：去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項，得 ，
合并同類項，得 ，
系數化為1，得 。
考點4 一個應用——一元一次方程的應用
6.［2024無錫中考］《九章算術》中有一道“鳧雁相逢”問題
（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海
飛到南海需要9天。如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，經過
多少天相遇？設經過 天相遇，則下列方程正確的是( )
A
A. B. C. D.
7.（4分）［2024北京中考］為防治污染，保護和改善生態環境，自
2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準 階段（以下簡稱
“標準”）。對某型號汽車，“標準”要求 類物質排放量不超過
，，兩類物質排放量之和不超過 。已知該型號
某汽車的，兩類物質排放量之和原為 。經過一次技術改
進，該汽車的類物質排放量降低了， 類物質排放量降低了
，，兩類物質排放量之和為 ，判斷這次技術改進后
該汽車的 類物質排放量是否符合“標準”，并說明理由。
解：符合“標準”，理由：設技術改進后該汽車的 類物質排放量為
，則類物質排放量為 。
由題意得 ，
解得 。
因為，所以這次技術改進后該汽車的 類物質排放量符合“標準”。
8.（4分） ［2024連云港中考］我市將5月21日設立為連
云港市“人才日”，以最大誠意禮遇人才，讓人才與城市“雙向奔赴”。活
動主辦方分兩次共郵購了200把繪有西游文化的折扇作為當天一項活動
的紀念品。折扇單價為8元，其中郵費和優惠方式如下表所示：
郵購數量 100以上（含100）
郵寄費用 免費郵寄
折扇價格 不優惠 打九折
若兩次郵購折扇共花費1 504元，求兩次郵購的折扇各多少把？
解：若每次郵購都是100把，則 （元），
。
所以一次郵購少于100把，另一次郵購多于100把。
設一次郵購折扇把，則另一次郵購折扇 把。
由題意得 ，
解得 。
所以 。
答：兩次郵購的折扇分別是40把和160把。
考點5 兩種思想
思想1 整體思想
9.（4分）解方程： 。
解：原方程可化為 ，
即 ，
所以 ，
解得 。
思想2 數形結合思想
10.（12分） 如圖，數軸上兩個動點， 開始時所表示
的數分別為，4，， 兩點各自以一定的速度在數軸上勻速運動，且
點 的運動速度為每秒2個單位長度。
（1）若，兩點同時出發相向而行，在原點處相遇，求點 的運動速度。
解：設點的運動速度為每秒 個單位長度，由題意得，相遇時間為
（秒），則可列方程 ，
解得 。
故點 的運動速度為每秒1個單位長度。
（2）若， 兩點按（1）中的速度同時出發，向數軸正方向運動，幾
秒時兩點相距6個單位長度？
解：設 秒時兩點相距6個單位長度，
①當點在點左側時，，解得 ；
②當點在點右側時，，解得 。
綜上，6秒或18秒時兩點相距6個單位長度。
（3）若， 兩點按（1）中的速度同時出發，向數軸負方向運動，與
此同時，點 從原點出發向同方向運動，且在運動過程中，始終有
。若干秒后，點在所對應的點處，求此時點 的位置。
解：設點運動的速度為每秒個單位長度，運動時間為 秒。
由運動過程中始終有 ，
可列方程。解得 。
當點運動到所對應的點處時，所用的時間為 （秒），此時
點所表示的數為 。
故此時點的位置是 所對應的點處。
通過本節課的學習，完整地回顧本章所學的有關知識以及與本章相關的數學思想方法. 解決自己對本章內容的疑惑.
課堂小結
謝謝觀看！

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