資源簡介

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2.1.2.2整式
第2章 整式及其加減
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.1.2.2 整式
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上節課我們學習了代數式，知道代數式是用運算符號把數或表示數的字母連接而成的式子，單獨的一個數或一個字母也是代數式。例如，\(5\)、\(a\)、\(3x + 2y\)、\(\frac{m}{n}\)（\(n 0\)）等都是代數式。今天我們要學習代數式中的一類重要式子 —— 整式。
學習目標
理解整式、單項式、多項式的概念，能準確區分整式與非整式。
掌握單項式的系數和次數、多項式的項和次數的概念，能正確指出單項式的系數和次數、多項式的項和次數。
培養觀察、分析和歸納能力，體會數學概念的嚴謹性。
課堂導入
觀察下列代數式：
\(3x\)、\(-5\)、\(a^2b\)、\(0.7m^3n^2\)
\(2x + 3y\)、\(a^2 - 2a + 1\)、\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)
\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{a + b}{c}\)（\(c 0\)）、\(x + \frac{1}{y}\)
這些代數式中，前兩組與第三組有什么不同呢？前兩組代數式中分母不含有字母，而第三組代數式中分母含有字母。我們把前兩組這樣的代數式叫做整式，這就是我們今天要學習的內容。
知識點：整式的概念
定義
單項式和多項式統稱為整式。
也就是說，整式包括單項式和多項式，它是代數式的一部分。判斷一個代數式是否為整式，關鍵看代數式的分母中是否含有字母，分母中不含有字母的代數式是整式，分母中含有字母的代數式不是整式。
例如：
整式：\(5\)、\(a\)、\(3x^2\)、\(2x + y\)、\(m^2 - 3m + 1\)等。
非整式：\(\frac{2}{x}\)（\(x 0\)）、\(\frac{a - b}{c}\)（\(c 0\)）、\(x + \frac{1}{y}\)（\(y 0\)）等（因為分母中含有字母）。
知識點：單項式
定義
由數與字母的積組成的代數式叫做單項式。
單獨的一個數或者一個字母也叫做單項式。
例如：
數與字母的積：\(3x\)、\(-5a^2b\)、\(\frac{2}{3}m^3n\)等都是單項式。
單獨的一個數：\(7\)、\(-0.5\)、\(0\)等都是單項式。
單獨的一個字母：\(a\)、\(b\)、\(x\)等都是單項式。
單項式的系數
單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。
例如：
單項式\(3x\)的系數是\(3\)。
單項式\(-5a^2b\)的系數是\(-5\)。
單項式\(\frac{2}{3}m^3n\)的系數是\(\frac{2}{3}\)。
單項式\(a\)可以看作\(1 a\)，所以系數是\(1\)。
單項式\(-b\)可以看作\(-1 b\)，所以系數是\(-1\)。
單項式\(5\)可以看作\(5 a^0\)（\(a 0\)，\(a^0 = 1\)），所以系數是\(5\)。
注意：單項式的系數包括前面的符號。
單項式的次數
一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。
例如：
單項式\(3x\)中，字母\(x\)的指數是\(1\)，所以次數是\(1\)（稱為一次單項式）。
單項式\(-5a^2b\)中，字母\(a\)的指數是\(2\)，字母\(b\)的指數是\(1\)，所有字母指數的和是\(2 + 1 = 3\)，所以次數是\(3\)（稱為三次單項式）。
單項式\(\frac{2}{3}m^3n\)中，字母\(m\)的指數是\(3\)，字母\(n\)的指數是\(1\)，所有字母指數的和是\(3 + 1 = 4\)，所以次數是\(4\)（稱為四次單項式）。
單項式\(a\)中，字母\(a\)的指數是\(1\)，所以次數是\(1\)。
單獨的一個非零數的次數是\(0\)，如\(5\)、\(-0.7\)等都是零次單項式；\(0\)的次數是不確定的，一般不討論。
知識點：多項式
定義
幾個單項式的和叫做多項式。
例如：
\(2x + 3y\)是單項式\(2x\)與\(3y\)的和，是多項式。
\(a^2 - 2a + 1\)是單項式\(a^2\)、\(-2a\)與\(1\)的和，是多項式。
\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)是單項式\(-x^3\)、\(2x^2y\)與\(-y^3\)的和，是多項式。
多項式的項
在多項式中，每個單項式叫做多項式的項。不含字母的項叫做常數項。
例如：
多項式\(2x + 3y\)的項是\(2x\)、\(3y\)，沒有常數項。
多項式\(a^2 - 2a + 1\)的項是\(a^2\)、\(-2a\)、\(1\)，其中\(1\)是常數項。
多項式\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)的項是\(-x^3\)、\(2x^2y\)、\(-y^3\)，沒有常數項。
注意：多項式的項包括它前面的符號。
多項式的次數
多項式中，次數最高的項的次數，叫做這個多項式的次數。
例如：
多項式\(2x + 3y\)中，\(2x\)的次數是\(1\)，\(3y\)的次數是\(1\)，次數最高的項的次數是\(1\)，所以這個多項式的次數是\(1\)（稱為一次多項式）。
多項式\(a^2 - 2a + 1\)中，\(a^2\)的次數是\(2\)，\(-2a\)的次數是\(1\)，\(1\)的次數是\(0\)，次數最高的項的次數是\(2\)，所以這個多項式的次數是\(2\)（稱為二次多項式）。
多項式\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)中，\(-x^3\)的次數是\(3\)，\(2x^2y\)的次數是\(2 + 1 = 3\)，\(-y^3\)的次數是\(3\)，次數最高的項的次數是\(3\)，所以這個多項式的次數是\(3\)（稱為三次多項式）。
多項式的命名
一個多項式含有幾項，就叫做幾項式。多項式的次數是幾，就叫做幾次多項式。通常把多項式的次數和項數結合起來命名，如 “二次三項式” 表示次數是\(2\)、含有\(3\)項的多項式。
例如：
多項式\(2x + 3y\)是一次二項式。
多項式\(a^2 - 2a + 1\)是二次三項式。
多項式\(-x^3 + 2x^2y - y^3\)是三次三項式。
多項式\(5x^4 - 3x^2 + 7\)是四次三項式。
例題解析
例 1：判斷下列代數式是不是整式，若是整式，指出是單項式還是多項式：
（1）\(3x^2\) （2）\(\frac{1}{x + 1}\)（\(x -1\)） （3）\(-5\) （4）\(a + b - c\) （5）\(\frac{2}{3}m^2n - 1\)
解：（1）\(3x^2\)是整式，是單項式；
（2）\(\frac{1}{x + 1}\)的分母中含有字母，不是整式；
（3）\(-5\)是整式，是單項式；
（4）\(a + b - c\)是整式，是多項式；
（5）\(\frac{2}{3}m^2n - 1\)是整式，是多項式。
例 2：指出下列單項式的系數和次數：
（1）\(-4x^2y\) （2）\(\frac{3}{5}a^3b^2\) （3）\(m\) （4）\(-7\)
解：（1）單項式\(-4x^2y\)的系數是\(-4\)，所有字母指數的和是\(2 + 1 = 3\)，所以次數是\(3\)；
（2）單項式\(\frac{3}{5}a^3b^2\)的系數是\(\frac{3}{5}\)，所有字母指數的和是\(3 + 2 = 5\)，所以次數是\(5\)；
（3）單項式\(m\)的系數是\(1\)，字母\(m\)的指數是\(1\)，所以次數是\(1\)；
（4）單項式\(-7\)的系數是\(-7\)，次數是\(0\)。
例 3：指出下列多項式的項、常數項和次數，并說明是幾次幾項式：
（1）\(3x^2 - 2x + 5\) （2）\(-x^3 + 2x^2y - xy^2 + y^3\) （3）\(a - 1\)
解：（1）多項式\(3x^2 - 2x + 5\)的項是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)，常數項是\(5\)；次數最高的項是\(3x^2\)，次數是\(2\)；所以這個多項式是二次三項式。
（2）多項式\(-x^3 + 2x^2y - xy^2 + y^3\)的項是\(-x^3\)、\(2x^2y\)、\(-xy^2\)、\(y^3\)，沒有常數項；各項的次數都是\(3\)，次數最高的項的次數是\(3\)；所以這個多項式是三次四項式。
（3）多項式\(a - 1\)的項是\(a\)、\(-1\)，常數項是\(-1\)；次數最高的項是\(a\)，次數是\(1\)；所以這個多項式是一次二項式。
小練習
判斷下列代數式是不是整式，若是整式，指出是單項式還是多項式：
（1）\(\frac{1}{2}a\) （2）\(\frac{x}{y}\)（\(y 0\)） （3）\(x^2 + y^2\) （4）\(-\frac{3}{4}\) （5）\(\frac{m + n}{3}\)
指出下列單項式的系數和次數：
（1）\(5ab^2\) （2）\(-\frac{2}{3}x^3y\) （3）\(0.6m\) （4）\(-p^2q^3\) （5）\(2\)
指出下列多項式的項、常數項和次數，并說明是幾次幾項式：
（1）\(x^3 - 2x^2 + 3x - 1\) （2）\(2a^2b - 3ab + 5\) （3）\(m^2n + mn^2\)
填空：
（1）單項式\(-\frac{1}{3}x^2y\)的系數是（ ），次數是（ ）。
（2）多項式\(3x^4 - 2x^2 + x - 7\)是（ ）次（ ）項式，常數項是（ ）。
（3）若\(5x^2y^m\)是五次單項式，則\(m = \)。
思考討論
單項式和多項式有什么聯系和區別？
聯系：單項式和多項式統稱為整式；多項式是由單項式組成的，是幾個單項式的和。
區別：單項式是數與字母的積（或單獨的一個數、一個字母），而多項式是幾個單項式的和，含有 “+” 號（或可轉化為含有 “+” 號的形式）。
如何確定一個多項式的次數？
確定一個多項式的次數，需要先找出多項式中每一項的次數，然后找出次數最高的項，這個項的次數就是多項式的次數。注意是 “次數最高的項的次數”，而不是所有項的次數之和。
課堂小結
整式：單項式和多項式統稱為整式，分母中含有字母的代數式不是整式。
單項式：由數與字母的積組成的代數式，單獨的一個數或一個字母也是單項式。包括系數（數字因數，包括符號）和次數（所有字母指數的和）。
多項式：幾個單項式的和。包括項（每個單項式，包括符號）、常數項（不含字母的項）和次數（次數最高的項的次數），可按次數和項數命名（如幾次幾項式）。
課后作業
教材 P63 練習 1、2、3 題。
下列代數式中，哪些是整式？哪些是單項式？哪些是多項式？\(3x\)、\(\frac{1}{x}\)（\(x 0\)）、\(-5\)、\(a^2 + b^2\)、\(\frac{2}{3}m - n\)、\(\frac{x + y}{z}\)（\(z 0\)）
指出下列單項式的系數和次數：
（1）\(-3a^2b^3\) （2）\(\frac{1}{4}xy\) （3）\(-m\) （4）\(7^2x^2y\)
已知多項式\(-x^2y^{m + 1} + xy^2 - 3x^3 + 6\)是六次四項式，求\(m\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.能敘述并理解單項式及單項式的系數、次數的意義，能確定一個單項式的系數和次數.
2.理解多項式、多項式的項和次數、整式的概念.
3.會用整式解決簡單的實際問題.
學習目標
復習回顧
用代數式表示：
（1）正方形邊長為a，則周長為_____，面積為_____；
（2）長為a，寬為 a的長方形的面積為______；
（3）半徑為r的圓的面積為______；
（4）若m表示一個有理數，則它的相反數是______.
4a
a2
πr2
-m
觀察上述代數式，它們有什么特點？
進行新課
4 a
π r2
- m
知識點一
單項式的概念
數
字母
×
數
字母
×
數
字母
×
數
字母
×
π是圓周率，是數字，不是字母
-1
a×a
這些式子都是數與字母的積，像這樣的代數式叫作單項式.
練一練：下列各式哪些是單項式？哪些不是單項式？
點撥：①單項式中只有乘除法，沒有加減法;
②單項式的分母中只含數，不含字母；
③單個的字母或數也是單項式.
知識點二
單項式的系數與次數
- m
系數
1次
1+2=3次
次數
單項式的系數：單項式中的數字因數
單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數之和
-1
單項式的系數包括它前面的符號；
當系數是“1”或“-1”時，“1”通常省略.
沒有寫指數的字母，實際其指數是“1”；
不要把系數的指數當做字母的指數.
寫出下列單項式的系數與次數：
單項式
系數
次數
-1
2
3
1
1
-15
4
2
例
4
用代數式表示：
（1）長方形的長為x，寬為y，則周長為________；
（2）一個三位數的百位數字為a，十位數字是b，個位數字是c，則這個三位數字是______________；
（3）如圖的三角尺的面積
為____________.
知識點三
多項式的概念
2x＋2y
100a＋10b＋c
a
b
r
觀察這些代數式，它們有什么特點？
2x＋2y
單項式
單項式
＋
單項式
單項式
＋
＋
多項式：幾個單項式的和叫作多項式.
注意：多項式中含有運算符號，且分母中不含字母.
4a2 -a+ 7
在多項式里，每個單項式（連同符號）叫作多項式的項.
不含字母的項叫作常數項.
項：4a2，-a，7
常數項
注意：多項式的每一項都是單項式，每一項都包括它前面的符號.
練一練：指出下列各式中的多項式，并指出多項式的項.
知識點四
多項式的項數與次數
4a2 -a +7
一個多項式含有幾項，這個多項式就叫作幾項式.
一個多項式里，次數最高的項的次數叫作這個多項式的次數.
次數是2
多項式的次數是2
次數最高項的次數
次數是1
常數項
三項式
二次
下列多項式分別是幾次幾項式？
例
5
知識點五
整式
整式：單項式與多項式統稱為整式.
注意：所有的單項式與多項式都是整式；
既不是單項式也不是多項式的式子一定不是整式.
隨堂演練
1.判斷正誤:
（1）x是一次單項式. （ ）
（2）-1不是單項式. （ ）
（3）單項式xy沒有系數. （ ）
（4）23x2是五次單項式. （ ）
（5）3x+y是二次二項式. （ ）
【選自教材P68練習 第1題】
√
×
×
×
×
2.填表：
【選自教材P68練習第2題】
單項式
系數
次數
-7
1
5
1
1
0.3
2
2
2
-1
3
【選自教材P68練習第3題】
3.下列多項式是幾次幾項式？指出它們的最高次項和常數項.
（1）-2x+1；
（2）3x-4x2-1；
（3）x2-xy+y2；
（4）-mn-m+2.
一次二項式；最高次項為-2x，常數項為1
二次三項式；最高次項為-4x2，常數項為-1
二次三項式；最高次項為x2，-xy，y2，無常數項
二次三項式；最高次項為-mn，常數項為2
4.已知2x4-my是關于x，y的三次單項式，則m的值為_______.
5.當m=______時，代數式 是關于x的一次單項式.
2
-3
1星題 基礎練
知識點1 單項式及其相關概念
1.下列代數式：，，，，4，， ，其
中單項式有( )
C
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
2.單項式 的系數和次數分別為( )
C
A.，3 B.，4 C. ，3 D. ，4
3.填表：
單項式
系數 ____ ____ __ ___ _ ___ ___
次數 ___ ___ __ ___ ___ ___
30
1
1
8
1
3
1
6
4
3
4.創新題·開放題 [2025年1月北京期末] 請寫出一個系數為負
數且只含有字母 的二次單項式：_________________.
(答案不唯一)
5.若與的次數相等，則 的值為___.
2
【變式題】 若是關于、 的四次單項式，且系數為7，
則 ____.
知識點2 多項式及其相關概念
6.下列式子中，多項式是( )
C
A. B. C. D.
7.［2025年1月蕪湖期末］多項式 的各項分別是
( )
A
A.，，5 B.， ，5
C.， ，5 D.3，2，5
8.關于多項式 的說法正確的是
( )
D
A.它是五次三項式 B.它的最高次項的系數為
C.它的常數項為10 D.它的二次項系數為6
9.多項式 是____次____項式，其
中常數項是____.
六
四
【變式題1】 如果多項式 是三次四項式，
常數項為，那么___, ____.
2
【變式題2】 若多項式是關于 的四次
多項式，則 的值為( )
D
A.2 B.3 C.4 D.5
知識點3 整式
10.下列各式中，不是整式的是( )
B
A. B. C. D.
11.［2025·六安月考］對下列式子進行分類.
,,,,,,0,,,,, .
單項式：______________；
多項式：___________________；
整式：__________________________________.
，0，，
，，
，0，，，，，
2星題 中檔練
12.［2025年1月揚州期末］如圖，某同學筆記本上的多項式
未記錄完整，若要補充完整這個多項式，橫線上不能填寫的
是( )
C
A. B. C. D.
13.若是關于、的五次單項式，則 ___.
4
14.創新題·新考法 [2024· 山西期中] 定義：若一個多項式
有兩項且兩項的次數相同，則這樣的多項式就叫作“齊次二
項式”.若關于，的多項式 是“齊次二項
式”，在數軸上表示的點在表示 的點的右側距離5個單位
長度處，則 ___.
8
15.(8分)
(1)多項式是關于 的四次三項式，
并且一次項系數為，求 的值；
解：由題意知,, ,
所以.所以 .
(2)已知關于 的多項式
不含項和 項，求
的值.
解：由題意知, ，
解得,,所以 .
16.(12分)分類討論思想 已知關于 的整式
.
(1)若此整式是單項式，求 的值；
解：因為關于的整式是單項式，所以易得 且
，所以，所以 的值是3.
(2)若此整式是二次多項式，求 的值；
因為關于 的整式是二次多項式，
所以，，，所以 ，
所以的值是 .
(3)若此整式是二項式，求 的值.
因為關于 的整式是二項式，所以有如下三種情況：
①，，，所以 ；
②，, ，此情況無解；
③，,，所以 .
所以的值是 或0.
3星題 提升練
17.(16分)推理能力 觀察一組單項式：,,,, ,
,, .回答下列問題：
(1)這組單項式的系數的符號、系數的絕對值的規律分別是什么？
解：這組單項式的系數的符號的規律是,，,， ，系
數的絕對值的規律是從1開始的連續奇數.
(2)這組單項式的次數的規律是什么？
這組單項式的次數的規律是從1開始的連續自然數.
(3)請你猜想第是正整數 個單項式;
第個單項式是 .
(4)請分別寫出第， 個單項式.
第2 025個單項式是 ；第2 026個單項式是
.
課堂小結
次數: 所有字母的指數的和.
系數：單項式中的數字因數.
項：式中的每個單項式叫多項式的項.
（其中不含字母的項叫做常數項）
次數：多項式中次數最高的項的次數.
整 式
單項式
多項式
謝謝觀看！

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