資源簡介

(共31張PPT)
2.1.3 代數(shù)式的值
第2章 整式及其加減
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級(jí)上冊
授課教師：********
班 級(jí)：********
時(shí) 間：********
2.1.3 代數(shù)式的值
匯報(bào)人：[教師姓名]
匯報(bào)班級(jí)：[具體班級(jí)]
知識(shí)回顧
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了整式的相關(guān)知識(shí)，知道單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式，也掌握了單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)以及多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)等概念。例如，\(3x^2\)是單項(xiàng)式，系數(shù)是 3，次數(shù)是 2；\(x^2 + 2x + 1\)是二次三項(xiàng)式，項(xiàng)分別是\(x^2\)、\(2x\)、1。今天我們來學(xué)習(xí)與代數(shù)式相關(guān)的另一個(gè)重要內(nèi)容 —— 代數(shù)式的值。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解代數(shù)式的值的概念，知道代數(shù)式的值是由代數(shù)式中字母的取值確定的。
掌握求代數(shù)式值的方法和步驟，能準(zhǔn)確求出代數(shù)式的值。
能運(yùn)用代數(shù)式的值解決實(shí)際問題，體會(huì)代數(shù)式的實(shí)際意義。
培養(yǎng)運(yùn)算能力和分析問題、解決問題的能力。
課堂導(dǎo)入
我們知道，代數(shù)式是用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子。例如，代數(shù)式\(2x + 3\)中，字母 x 可以取不同的值，當(dāng) x 取不同的值時(shí)，代數(shù)式\(2x + 3\)的結(jié)果也會(huì)不同。比如，當(dāng) x = 1 時(shí)，\(2x + 3 = 2 1 + 3 = 5\)；當(dāng) x = 2 時(shí)，\(2x + 3 = 2 2 + 3 = 7\)。這里的 5 和 7 就是代數(shù)式\(2x + 3\)在 x = 1 和 x = 2 時(shí)的值。那么，什么是代數(shù)式的值呢？如何求代數(shù)式的值呢？這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
知識(shí)點(diǎn)：代數(shù)式的值的概念
定義
用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值。
例如：
對于代數(shù)式\(x^2 - 2y\)，當(dāng) x = 3，y = 1 時(shí)，代入可得\(3^2 - 2 1 = 9 - 2 = 7\)，7 就是代數(shù)式\(x^2 - 2y\)在 x = 3，y = 1 時(shí)的值。
對于代數(shù)式\(\frac{a + b}{2}\)，當(dāng) a = 4，b = 6 時(shí)，代入可得\(\frac{4 + 6}{2} = 5\)，5 就是代數(shù)式\(\frac{a + b}{2}\)在 a = 4，b = 6 時(shí)的值。
注意事項(xiàng)
代數(shù)式的值是由代數(shù)式中字母的取值決定的，字母的取值不同，代數(shù)式的值可能不同；但字母的取值確定后，代數(shù)式的值也就唯一確定了（在有意義的前提下）。
字母的取值要使代數(shù)式有意義，同時(shí)還要符合實(shí)際情況。例如，在代數(shù)式\(\frac{1}{x}\)中，x 不能取 0；用 a 表示人數(shù)時(shí)，a 只能取正整數(shù)。
知識(shí)點(diǎn)：求代數(shù)式的值的步驟
求代數(shù)式的值的一般步驟如下：
代入：把代數(shù)式中字母所取的數(shù)值代入代數(shù)式中，注意原來省略的乘號(hào)要添上，并且要正確使用括號(hào)。
例如，當(dāng) x = -2 時(shí)，代入代數(shù)式\(x^2 + 3x\)中，應(yīng)寫成\((-2)^2 + 3 (-2)\)，而不能寫成\(-2^2 + 3 -2\)。
計(jì)算：按照代數(shù)式中指定的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，即先算乘方，再算乘除，最后算加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的。
例如，計(jì)算\((-2)^2 + 3 (-2)\)時(shí)，先算乘方\((-2)^2 = 4\)，再算乘法\(3 (-2) = -6\)，最后算加法\(4 + (-6) = -2\)。
例題解析
例 1：當(dāng) a = 2，b = -1 時(shí)，求下列代數(shù)式的值：
（1）\(3a + 2b\)；
（2）\(a^2 + b^2 + 2ab\)。
解：（1）把 a = 2，b = -1 代入\(3a + 2b\)得：\(
\begin{align*}
&3 2 + 2 (-1)\\
=&6 - 2\\
=&4
\end{align*}
\)
（2）把 a = 2，b = -1 代入\(a^2 + b^2 + 2ab\)得：\(
\begin{align*}
&2^2 + (-1)^2 + 2 2 (-1)\\
=&4 + 1 - 4\\
=&1
\end{align*}
\)
例 2：當(dāng) x = -3 時(shí)，求代數(shù)式\(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\)的值。
解：把 x = -3 代入代數(shù)式\(2x^3 - 5x^2 + 3x - 1\)得：\(
\begin{align*}
&2 (-3)^3 - 5 (-3)^2 + 3 (-3) - 1\\
=&2 (-27) - 5 9 + (-9) - 1\\
=&-54 - 45 - 9 - 1\\
=&-109
\end{align*}
\)
例 3：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求代數(shù)式\(a^2b + ab^2\)的值。
解：先對代數(shù)式\(a^2b + ab^2\)進(jìn)行因式分解（后續(xù)會(huì)學(xué)習(xí)），可得\(a^2b + ab^2 = ab(a + b)\)。
把\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)代入得：\(3 5 = 15\)
例 4：某商店進(jìn)了一批商品，每件商品的進(jìn)價(jià)為 a 元，若要獲利 20%，則每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？當(dāng) a = 50 時(shí)，售價(jià)為多少元？
解：每件商品獲利 20%，即獲利\(20\%a\)元，所以售價(jià)應(yīng)定為\(a + 20\%a = 1.2a\)元。
當(dāng) a = 50 時(shí)，售價(jià)為\(1.2 50 = 60\)元。
答：每件商品的售價(jià)應(yīng)定為\(1.2a\)元，當(dāng) a = 50 時(shí)，售價(jià)為 60 元。
小練習(xí)
當(dāng) x = 4，y = -2 時(shí)，求下列代數(shù)式的值：
（1）\(x - 2y\)；
（2）\(x^2 + y^2\)；
（3）\(\frac{x + y}{x - y}\)。
當(dāng) a = -1，b = 3 時(shí)，求代數(shù)式\(3(a - b)^2 + 2(a + b)\)的值。
已知\(x - y = 3\)，求代數(shù)式\(2(x - y) - 5 + 3(x - y)\)的值。
一個(gè)長方形的長為\((2m + 3)\)厘米，寬為\((m - 1)\)厘米，求這個(gè)長方形的面積。當(dāng) m = 3 時(shí)，這個(gè)長方形的面積是多少平方厘米？
填空：
（1）當(dāng) x = 0 時(shí)，代數(shù)式\(2x + 5\)的值是（ ）。
（2）若代數(shù)式\(3x - 1\)的值為 5，則 x =（ ）。
（3）當(dāng) a = 2，b =（ ）時(shí)，代數(shù)式\(a + 2b = 0\)。
思考討論
求代數(shù)式的值時(shí)，代入數(shù)值后為什么要添加括號(hào)？
在求代數(shù)式的值時(shí)，當(dāng)字母所取的值是負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)或含運(yùn)算符號(hào)的式子時(shí)，代入后添加括號(hào)可以避免運(yùn)算符號(hào)和數(shù)值的符號(hào)混淆，保證運(yùn)算的正確性。例如，當(dāng) x = -2 時(shí)，代入\(x^2\)中，寫成\((-2)^2 = 4\)，如果不添加括號(hào)，寫成\(-2^2 = -4\)，就會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。
除了直接代入計(jì)算，還有哪些求代數(shù)式值的方法？
除了直接代入計(jì)算，還可以先對代數(shù)式進(jìn)行化簡或變形，再代入數(shù)值計(jì)算，這樣可以使計(jì)算更簡便。例如，例 3 中先將代數(shù)式\(a^2b + ab^2\)變形為\(ab(a + b)\)，再代入已知條件計(jì)算，比直接代入 a、b 的值計(jì)算更簡單。
課堂小結(jié)
代數(shù)式的值的概念：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果。
求代數(shù)式的值的步驟：先代入（注意添加括號(hào)），再計(jì)算（遵循運(yùn)算順序）。
注意事項(xiàng)：字母的取值要使代數(shù)式有意義且符合實(shí)際情況；代入時(shí)要正確添加括號(hào)；計(jì)算時(shí)要嚴(yán)格按照運(yùn)算順序進(jìn)行。
代數(shù)式的值在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，能幫助我們解決很多實(shí)際問題。
課后作業(yè)
教材 P65 練習(xí) 1、2、3 題。
當(dāng) x = -2，y = 5 時(shí)，求下列代數(shù)式的值：
（1）\(3x + 4y\)；
（2）\((x + y)(x - y)\)；
（3）\(x^2 - 2xy + y^2\)。
已知\(a = 3\)，\(b = -2\)，\(c = -1\)，求代數(shù)式\(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac\)的值。
某工廠每天生產(chǎn) x 個(gè)零件，改進(jìn)技術(shù)后每天多生產(chǎn) 5 個(gè)零件，那么改進(jìn)技術(shù)后生產(chǎn) 100 個(gè)零件需要多少天？當(dāng) x = 15 時(shí)，需要多少天？
若代數(shù)式\(2x + 3\)的值為 7，求代數(shù)式\(4x + 6\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
1.了解代數(shù)式的值的概念，并會(huì)求代數(shù)式的值.
2.認(rèn)識(shí)各個(gè)數(shù)量關(guān)系之間的對應(yīng)關(guān)系，在實(shí)際問題中列出代數(shù)式，解決簡單的實(shí)際問題.
3. 會(huì)利用代數(shù)式求值推算代數(shù)式所反映的規(guī)律.
學(xué)習(xí)目標(biāo)
復(fù)習(xí)回顧
1.代數(shù)式：用加、減、乘、除及乘方等__________把_____或______________連接而成的式子.
2.用語言敘述代數(shù)式2n+10的意義.
思考：求代數(shù)式2n+10的值，必須給出什么條件？代數(shù)式的值是由什么的值確定的？
運(yùn)算符號(hào)
數(shù)
表示數(shù)的字母
n的2倍與10的和.
求2n＋10的值，必須給出n的值；
代數(shù)式的值由所含字母的取值確定．
進(jìn)行新課
知識(shí)點(diǎn)
代數(shù)式的值
松手釋放一個(gè)小球，讓它從高處自由落下，
測得它下落的高度 h 與時(shí)間 t 的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
t/s 1 2 3 4 5 …
h/m …
t/s 1 2 3 4 5 …
h/m …
（1）觀察表中的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？
（2）用含 t 的式子表示 h，并求出 t=10 s 時(shí)的 h 值.
解：（1）下落高度h與時(shí)間t符合規(guī)律：
（2）當(dāng)t=10s時(shí)，下落高度為
當(dāng)t=10時(shí)，
像這樣，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中字母的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫作代數(shù)式的值.
運(yùn)算關(guān)系：先乘方，后乘除，再加減；如有括號(hào)，先進(jìn)行括號(hào)內(nèi)運(yùn)算.
注意：代數(shù)式中的字母在取值時(shí)必須保證取值后代數(shù)式有意義.
思考：代數(shù)式與代數(shù)式的值有什么區(qū)別和聯(lián)系？
代數(shù)式
當(dāng)t=10時(shí)，
代數(shù)式的值
區(qū)別：代數(shù)式代表一般性，代數(shù)式的值代表特殊性.
聯(lián)系：代數(shù)式的值是代數(shù)式解決問題中的一個(gè)特例.
當(dāng)x = -3，y =2時(shí)，求下列代數(shù)式的值：
例
6
（1）x2- y2； （2）(x- y)2.
解 當(dāng)x = -3，y =2時(shí)，
（1） x2- y2=(-3)2-22=9-4=5.
（2） (x- y)2=(-3-2)2=(-5)2=25.
求代數(shù)式的值的步驟：
①寫出條件：當(dāng)……時(shí)
②抄寫代數(shù)式
④計(jì)算
③帶入數(shù)值
①
②
③
④
代入時(shí)，要“對號(hào)入座”，避免代錯(cuò)字母.
如果代數(shù)式中省略乘號(hào)，代入后需加上乘號(hào).
若字母的值是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)，將字母的值代入代數(shù)式時(shí)，應(yīng)加上括號(hào)，原來的數(shù)字和運(yùn)算符號(hào)都不能改變.
在帶入數(shù)值時(shí)應(yīng)注意：
1
2
3
練一練：已知x-2y=3，則代數(shù)式6-2x+4y的值為_____.
把已知條件作為一個(gè)整體，對給出的代數(shù)式或要求值的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，通過整體代入，實(shí)現(xiàn)快速求值.
【分析】題中x，y的值沒有單獨(dú)給出，可先將6-2x+4y變形為6-2(x-2y)，再將x-2y當(dāng)成一個(gè)整體，代入到所求代數(shù)式中.
0
整體代入法：
某堤壩的橫截面是梯形. 測得該梯形的上底a=18m，下底b=36m，高h(yuǎn)=20m. 求這個(gè)堤壩的橫截面面積.
例
7
解 梯形的面積公式是
將a=18m，b=36m，h=20m代入上面的公式，得
答：這個(gè)堤壩的橫截面面積是540m2.
隨堂演練
1.已知x= -2，y=202，則代數(shù)式 的值為 _______.
2.若x2 +3x=7，則x2 +3x-2的值為______.
202
5
3.已知 a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，則 a-cd+b=______.
-1
【選自教材P70練習(xí) 第1題】
4.填圖：
【選自教材P71練習(xí) 第2題】
5.如圖，一枚玉璧的形狀可看作一個(gè)圓環(huán)，外圓與內(nèi)圓的半徑分別是 R 和 r .
（1）用代數(shù)式表示圓環(huán)的面積；
（2）當(dāng)R=5cm，r=2cm時(shí)，圓環(huán)的面積是多少（π取3.14）？
解：（1）πR2-πr2；
（2）當(dāng)R=5cm，r=2cm時(shí)，
πR2-πr2=π×52-π×22
≈3.14×25-3.15×4
=65.94（cm2）.
【選自教材P71練習(xí) 第3題】
6.設(shè)甲數(shù)是x，乙數(shù)是y.
（1）用代數(shù)式表示甲、乙兩數(shù)和的平方；
（2）用代數(shù)式表示甲、乙兩數(shù)的平方和；
（3）當(dāng)x= -2，y= -1時(shí)，計(jì)算上面（1）和（2）兩題所列代數(shù)式的值.
解：（1）(x+y)2；
（2）x2+y2；
（3）當(dāng)x= -2，y= -1時(shí)，(x+y)2=(-2-1)2=9；
x2+y2=(-2)2+(-1)2=5.
1星題 基礎(chǔ)練
知識(shí)點(diǎn)1 求代數(shù)式的值
1.當(dāng)時(shí)，代數(shù)式 的值是( )
D
A.7 B. C.5 D.
2.填表：
0 1 2
___ ___ ___ ___
【微總結(jié)】相反數(shù)的偶數(shù)次方______.
0
2
0
6
相等
3.整 體 思 想 [2025年1月安慶期末] 若、 互為相反數(shù)，
、互為倒數(shù)，則 ____.
4.(8分)當(dāng), 時(shí)，求下列代數(shù)式的值.
(1) ;
解：當(dāng)，時(shí)，原式 .
(2) .
當(dāng)，時(shí)，原式 .
知識(shí)點(diǎn)2 求代數(shù)式的值的應(yīng)用
5.真 實(shí) 情 境 [2024· 北京期中] 是身體質(zhì)量指數(shù)，健
康的身體質(zhì)量指數(shù)應(yīng)該保持在 之間，它的計(jì)算公
式為表示體重單位：，表示身高
單位：］，航航的身高是，體重是 ，那么他的身體質(zhì)量指數(shù)____(填“在”或“不在”)健康范圍內(nèi).
在
2星題 中檔練
6.整 體 思 想 [2024· 廣安中考改編] 若 ，則
___.
7
7.整 體 思 想 [2024· 安慶期中] 當(dāng) 時(shí)，代數(shù)式
的值為，則當(dāng)時(shí)，
的值為________.
8.(8分)［2025年1月六安第九中學(xué)
期末］學(xué)校辦公樓前有一長為 ，
寬為 的長方形空地(如圖)，在中
心位置留出一個(gè)直徑為 的圓形
區(qū)域建一個(gè)噴泉，兩邊是長為 ，
寬為 的兩塊長方形的休息區(qū)，陰影部分為綠地.
(1)用代數(shù)式表示陰影部分的面
積；結(jié)果保留
解：根據(jù)題意得，圓的半徑為 ，
所以 .
(2)當(dāng)，，， 時(shí)，
陰影部分的面積是多少？ 取3
當(dāng)，，，，
取3時(shí)，
，
所以陰影部分的面積約是41.
3星題 提升練
9.數(shù)學(xué)文化 程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九
章算術(shù)》.如圖，這是一種數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的運(yùn)算程序.
(1)若第1次輸入的數(shù)為1，則第1次輸出的數(shù)為4，那么第2次
輸出的數(shù)為 ___；
(2)若輸入的數(shù)為5，則第2 025次輸出的數(shù)是___.
2
2
課堂小結(jié)
代數(shù)式的值
概念
應(yīng)用
用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中字母的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫作代數(shù)式的值.
直接代入求值
列代數(shù)式求值
整體代入求值
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