資源簡介

(共41張PPT)
2.2.1 合并同類項
第2章 整式及其加減
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.2.1 合并同類項
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上節課我們學習了代數式的值，知道用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果就是代數式的值。同時，我們也掌握了求代數式值的步驟：先代入，再計算。在代數式中，有一類特殊的項，它們具有相同的特征，今天我們就來學習如何處理這些項 —— 合并同類項。
學習目標
理解同類項的概念，能準確判斷幾個項是否為同類項。
掌握合并同類項的法則，能熟練進行同類項的合并。
經歷從具體實例到抽象概念的過程，培養觀察、分析和歸納能力。
體會數學的嚴謹性和簡潔性，激發學習數學的興趣。
課堂導入
在日常生活中，我們經常會對物品進行分類整理，比如把相同的書籍放在一起，把相同的文具放在一起。在數學中，對于多項式中的項，我們也可以按照一定的標準進行分類。觀察下面多項式中的項：
\(3x^2 + 2x + 5 - 2x^2 + 3x - 1\)
這些項中，\(3x^2\)與\(-2x^2\)都含有字母 x，且 x 的指數都是 2；\(2x\)與\(3x\)都含有字母 x，且 x 的指數都是 1；\(5\)與\(-1\)都是不含字母的項。我們把這樣的項叫做同類項。把同類項合并成一項，就是合并同類項。這節課我們就來學習同類項的概念和合并同類項的方法。
知識點：同類項的概念
定義
所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。
幾個常數項也是同類項。
例如：
同類項：
\(5x\)與\(-3x\)（所含字母都是 x，且 x 的指數都是 1）；
\(2a^2b\)與\(-7a^2b\)（所含字母都是 a、b，且 a 的指數都是 2，b 的指數都是 1）；
\(3\)與\(-5\)（都是常數項）。
非同類項：
\(2x\)與\(3y\)（所含字母不同）；
\(3a^2\)與\(5a^3\)（所含字母相同，但相同字母的指數不同）；
\(4ab\)與\(2a^2b\)（所含字母相同，但 a 的指數不同）。
注意事項
同類項與系數無關，與字母的排列順序無關。例如，\(3xy\)與\(-5yx\)是同類項，因為它們所含字母相同，相同字母的指數也相同，只是字母的排列順序不同。
判別同類項的標準有兩個：一是所含字母相同；二是相同字母的指數也相同，二者缺一不可。
知識點：合并同類項
定義
把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。
例如，在多項式\(3x^2 + 2x + 5 - 2x^2 + 3x - 1\)中，\(3x^2\)與\(-2x^2\)是同類項，可以合并成一項；\(2x\)與\(3x\)是同類項，可以合并成一項；\(5\)與\(-1\)是同類項，可以合并成一項。
法則
合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，且字母連同它的指數不變。
用字母表示為：\(ax^n + bx^n = (a + b)x^n\)（其中 a、b 是系數，n 是正整數）。
例如：
\(3x + 5x = (3 + 5)x = 8x\)；
\(-2a^2b + 7a^2b = (-2 + 7)a^2b = 5a^2b\)；
\(4 + (-6) = (4 - 6) = -2\)。
知識點：合并同類項的步驟
合并同類項的一般步驟如下：
找出同類項：在多項式中，把同類項用不同的符號標出來，避免遺漏或重復。
移動同類項：利用加法交換律和結合律，把同類項移到一起，移動時要連同項的符號一起移動。
合并同類項：按照合并同類項的法則，將同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。
整理結果：合并同類項后，所得的多項式中不再有同類項，一般按某一字母的指數從高到低（或從低到高）的順序排列。
例如，合并多項式\(3x^2 + 2x + 5 - 2x^2 + 3x - 1\)的同類項：
找出同類項：\(3x^2\)與\(-2x^2\)，\(2x\)與\(3x\)，\(5\)與\(-1\)；
移動同類項：\(3x^2 - 2x^2 + 2x + 3x + 5 - 1\)；
合并同類項：\((3 - 2)x^2 + (2 + 3)x + (5 - 1) = x^2 + 5x + 4\)；
整理結果：\(x^2 + 5x + 4\)（按 x 的指數從高到低排列）。
例題解析
例 1：判斷下列各組中的項是不是同類項，為什么？
（1）\(2x^2y\)與\(-3x^2y\)；
（2）\(5ab\)與\(5a\)；
（3）\(-7\)與\(\frac{1}{3}\)；
（4）\(4m^2n\)與\(2mn^2\)。
解：（1）是同類項。因為它們所含字母相同（都是 x、y），且相同字母的指數也相同（x 的指數都是 2，y 的指數都是 1）。
（2）不是同類項。因為它們所含字母不同（5ab 含字母 a、b，5a 含字母 a）。
（3）是同類項。因為它們都是常數項。
（4）不是同類項。因為它們所含字母相同，但相同字母的指數不同（4m n 中 m 的指數是 2，n 的指數是 1；2mn 中 m 的指數是 1，n 的指數是 2）。
例 2：合并下列多項式中的同類項：
（1）\(4x^2 - 8x + 5 - 3x^2 + 6x - 2\)；
（2）\(3a^2 + 2ab - 5a^2 + b^2 - 2ab + 3b^2\)。
解：（1）\(
\begin{align*}
&4x^2 - 8x + 5 - 3x^2 + 6x - 2\\
=&(4x^2 - 3x^2) + (-8x + 6x) + (5 - 2)\\
=&(4 - 3)x^2 + (-8 + 6)x + 3\\
=&x^2 - 2x + 3
\end{align*}
\)
（2）\(
\begin{align*}
&3a^2 + 2ab - 5a^2 + b^2 - 2ab + 3b^2\\
=&(3a^2 - 5a^2) + (2ab - 2ab) + (b^2 + 3b^2)\\
=&(3 - 5)a^2 + (2 - 2)ab + (1 + 3)b^2\\
=&-2a^2 + 4b^2
\end{align*}
\)
例 3：求多項式\(3x^2 - 4x + 5 - 2x^2 + x - 1\)的值，其中\(x = -2\)。
解：先合并同類項，再代入求值：\(
\begin{align*}
&3x^2 - 4x + 5 - 2x^2 + x - 1\\
=&(3x^2 - 2x^2) + (-4x + x) + (5 - 1)\\
=&x^2 - 3x + 4
\end{align*}
\)
當\(x = -2\)時，\(
\begin{align*}
&(-2)^2 - 3 (-2) + 4\\
=&4 + 6 + 4\\
=&14
\end{align*}
\)
例 4：如果\(2x^3y^m\)與\(-3x^ny^2\)是同類項，求 m、n 的值。
解：因為\(2x^3y^m\)與\(-3x^ny^2\)是同類項，根據同類項的定義，所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，所以：\(n = 3\)，\(m = 2\)。
小練習
判斷下列各組中的項是不是同類項：
（1）\(3x\)與\(3y\)；
（2）\(-5a^2b\)與\(2ba^2\)；
（3）\(4\)與\(-6\)；
（4）\(3x^2\)與\(2x^3\)。
合并下列多項式中的同類項：
（1）\(5a + 4b - 3a - 7b\)；
（2）\(x^2y - 3xy^2 + 2yx^2 - y^2x\)；
（3）\(3x^2 - 1 - 2x - 5 + 3x - x^2\)。
求下列多項式的值：
（1）\(5x^2 - 3x^3 - x - 4 + 2x^3 + 2x + x^3 - 9\)，其中\(x = -1\)；
（2）\(3a + abc - \frac{1}{3}c^2 - 3a + \frac{1}{3}c^2\)，其中\(a = -\frac{1}{6}\)，\(b = 2\)，\(c = -3\)。
填空：
（1）若\(3x^ky\)與\(-x^2y\)是同類項，則\(k = \)。
（2）合并同類項：\(-p^2 - p^2 - p^2 = \)。
（3）多項式\(2x^2 + ax - y + 6\)與\(2bx^2 - 3x + 5y - 1\)的差中不含 x 項和 x 項，則\(a = \)，\(b = \)。
思考討論
同類項與系數有關嗎？與字母的排列順序有關嗎？
同類項與系數無關，與字母的排列順序也無關。判斷幾個項是否為同類項，只看所含字母是否相同和相同字母的指數是否相同，只要這兩個條件滿足，無論系數是否相同、字母的排列順序如何，都是同類項。例如，\(5xy\)與\(-3yx\)是同類項，雖然系數不同，字母的排列順序也不同，但所含字母相同，相同字母的指數也相同。
合并同類項的依據是什么？
合并同類項的依據是乘法分配律的逆運用。例如，合并\(3x + 5x\)時，根據乘法分配律\(ac + bc = (a + b)c\)，可得\(3x + 5x = (3 + 5)x = 8x\)。
課堂小結
同類項的概念：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，幾個常數項也是同類項。
合并同類項的法則：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變。
合并同類項的步驟：找出同類項→移動同類項→合并同類項→整理結果。
合并同類項可以使多項式變得更簡潔，便于進一步的運算和求值。
課后作業
教材 P69 練習 1、2、3、4 題。
合并下列多項式中的同類項：
（1）\(6a^2b + 5ab^2 - 4ab^2 - 7a^2b\)；
（2）\(4a^2 + 3b^2 + 2ab - 4a^2 - 4b^2\)；
（3）\(3x^2 - [7x - (4x - 3) - 2x^2]\)。
求下列多項式的值：
（1）\(3x^2y^2 + 2xy - 7x^2y^2 - \frac{3}{2}xy + 2 + 4x^2y^2\)，其中\(x = 2\)，\(y = -\frac{1}{4}\)；
（2）\(2(a^2b + ab^2) - 2(a^2b - 1) - 2ab^2 - 2\)，其中\(a = -2\)，\(b = 2\)。
若多項式\(x^4 - (a - 1)x^3 + 5x^2 - (b + 3)x - 1\)中不含 x 項和 x 項，求 a、b 的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.理解同類項、合并同類項的概念及合并同類項的法則.
2.能運用合并同類項的法則進行同類項的合并以及多項式的化簡與求值.
3.通過類比數的運算法則探究合并同類項的法則，體會類比的數學思想.
學習目標
復習回顧
除系數不同外，字母部分相同．
1.觀察：式子 a與4a，ab與 ab有什么特點？
2.計算： 用到了什么運算定律？2a+3b=5ab呢？
分配律；
思考：什么樣的式子才可以合并？
2a+3b≠5ab
進行新課
知識點一
同類項的概念
問題
在甲、乙兩面墻壁上，各挖去一個圓形空洞設置排氣管道，其余部分刷上油漆. 請根據圖中尺寸算出：兩面墻上油漆面積一共有多大？
b
2a
r
b
a
r
兩面墻上油漆面積= 兩個長方形墻面面積之和-兩個圓面積之和
2ab+ab
πr2+πr2
得兩面墻上油漆面積共為：
2ab +ab –(πr2 + πr2)
b
2a
r
b
a
r
觀察：2ab+ab中的兩項2ab和ab，πr2+πr2中的兩項πr2和πr2，它們有什么共同特征？
2 ab + ab – (π r2 + π r2 )
2ab和ab都含有字母a和b，并且a的指數都是1，b的指數也都是1
πr2和πr2都含字母r，并且r的指數都是2
2 ab + ab – (π r2 + π r2 )
常數項與常數項是同類項
像這樣，所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同的項叫作同類項.
練一練：下列各組式子中，是同類項的是（ ）
A.①②③ B.①③④⑥ C.③⑤⑥ D.只有⑥
C
【分析】字母相同：① ③ ⑤
相同字母的指數相同：③ ⑤
都是常數項：⑥
兩“相同”
①所含字母相同；
②相同字母的指數分別相同.
兩“無關”
①與系數的大小無關；
②與它們所含字母的順序無關.
歸納：怎樣判斷同類項？
一“特例”
常數項都是同類項
知識點二
合并同類項
在多項式中遇到同類項，可以運用加法交換律、加法結合律、分配律進行合并.
=4x2-3x2+2x+3x-1+2
=(4-3)x2+(2+3)x+(-1+2)
=x2+5x+1
4x2+2x -1 -3x2+3x+2
移
組
=(4x2-3x2)+(2x+3x)+[(-1)+2]
并
加法交換律
加法結合律
分配律
算
找
合并同類項：
把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項.
合并同類項的法則：
同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變.
合并同類項：
例
1
（1）4a2+3b2-2ab-3a2+b2；
解：（1） 4a2+3b2-2ab-3a2+b2
= 4a2-3a2-2ab+3b2+b2
= (4-3)a2-2ab+(3+1)b2
= a2-2ab+4b2
合并同類項：
例
1
合并同類項的方法：
“找”：找出多項式中的同類項，不同類的同類項用不同的標記標出；
“移”：利用加法的交換律和結合律把同類項放在一起，在交換位置時，連同項的符號一起交換；
“并”：利用合并同類項的法則合并同類項，即將系數相加，而字母與其指數不變.
1
2
3
隨堂演練
【選自教材P76練習 第1題】
1.下列各題中的兩項是不是同類項？
（1）3a2b與3ab2； （2）xy與-xy；
（2）4abc與4ac； （4）-3與
不是
不是
是
是
2.下列運算正確的是（ ）
A. 3a+2b=5ab
B. 3a2b-3ba2=0
C. 3x2+2x3=5x5
D. 5y2-4y2=1
B
3.下列合并同類項的結果是否正確？若不正確，請給出正確結果.
（1）5x2+6x2=11x4； （2）5x+2x=7x2；
（3）5x2-3x2=2； （4）16xy-16yx=0.
解：（1）錯誤， 5x2+6x2=11x2.
（2）錯誤， 5x+2x=7x.
（3）錯誤， 5x2-3x2=2x2.
（4）正確.
【選自教材P76練習 第2題】
4.合并同類項：
（1）-8x+8x=_______；（2）-a-7a+3a=_______；
（3） =_______；
（4） =_______.
0
0
-5a
【選自教材P76練習 第3題】
5.已知 -4xaya+1 與 mx5yb-1 的和是 3x5yn，求(m-n)(2a-b)的值.
解：因為-4xaya+1與mx5yb-1的和是3x5yn，
所以-4+m=3，a=5，a+1=b-1=n.
所以a=5，b=7，m=7，n=6.
所以(m-n)(2a-b)=(7-6)×(2×5-7)=3.
1星題 基礎練
知識點1 同類項
1.下列整式中，與 是同類項的是( )
D
A.2 B. C. D.
2.教材改編題下列各組中的兩個式子不屬于同類項的是
( )
D
A.和 B.和
C.和 D.和
3.若單項式和是同類項，則 的值為___.
4
4.在中， 與_____是同類項，
與_____是同類項， 與___是同類項.
1
知識點2 合并同類項
5.［知識初練］合并同類項：
(1)______ ；
(2)(___-___) .
2
6
2
3
6.［2024·合肥蜀山區期中］下列計算正確的是( )
C
A. B.
C. D.
7.(12分)化簡：
(1) ；
解：原式
.
(2) ；
解：原式
.
(3) .
解：原式 .
8.(8分)先化簡，再求值：
.其中 ，
.
解：原式 .
當，時，原式 .
2星題 中檔練
9.一個五次六項式加上一個五次三項式，合并同類項后一定
是( )
D
A.十次九項式 B.五次六項式
C.五次九項式 D.不超過五次的整式
10.若與的和為單項式，則 的值是____.
11.易錯題 若關于， 的多項式
中不含項，則 的值是____.
12.整體思想 已知，，則 的
值為____.
15
13.［2025·天津模擬］如圖所示的月
歷中，帶陰影的方框里有四個數，隨
著方框的移動，方框里的四個數存在
一定的關系.設方框里最小的一個數為
，則這四個數之和為_________
(用含 的代數式表示，并化為最簡).
14.創新題·新考法 [2024·江蘇淮安期中] 類比同類項的概念，
我們規定：所含字母相同，并且相同字母的指數之差的絕對
值等于0或1的項是“準同類項”，例如：與 是“準
同類項”.已知、均為關于， 的單項式，如果
、是“準同類項”，那么 可能的結果共有
___種.
5
15.(8分)已知代數式
的值與字母 的取
值無關，求 的值.
解：原式 ，
因為結果與字母 的取值無關，
所以， ，
解得， ，
則 .
3星題 提升練
16.(12分)運算能力 我們知道 ，類
似地，我們把 看成一個整體，則
.“整體思
想”是中學數學解題中常用的一種重要的思想方法，它在多
項式的化簡與求值中應用比較廣泛，請嘗試應用“整體思想”
解答下列問題.
(1)把 看成一個整體，合并同類項：
___________；
(2)化簡： ；
解：原式 .
(3)若，，求 的值.
因為，，所以 ．
課堂小結
同類項的概念
合并同類項
同類項的判斷
合并同類項
兩“相同”、兩“無關”、一“特例”
同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變.
所含字母相同，并且相同字母的指數也分別相同
謝謝觀看！

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