資源簡介

(共40張PPT)
2.2.3 整式加減
第2章 整式及其加減
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
2.2.3 整式加減
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
前面我們學習了同類項、合并同類項以及去括號和添括號的知識。合并同類項是把多項式中的同類項合并成一項；去括號和添括號是代數式變形的重要方法，它們都遵循一定的法則。今天我們要學習的整式加減，就是以這些知識為基礎進行的運算。
學習目標
理解整式加減的意義，知道整式加減的實質是去括號和合并同類項。
能熟練進行整式的加減運算，包括整式的加法和減法。
能運用整式加減解決實際問題，提高分析和解決問題的能力。
感受整式加減在數學中的應用，體會數學的邏輯性和嚴謹性。
課堂導入
我們來看一個問題：一個長方形的長為\((3x + 2y)\)厘米，寬為\((x - y)\)厘米，那么這個長方形的周長是多少厘米呢？
長方形的周長公式是\(2 (é + )\)，所以這個長方形的周長可以表示為\(2[(3x + 2y)+(x - y)]\)厘米。要算出這個結果，我們需要先去掉括號，再合并同類項，這就是整式的加減運算。通過今天的學習，我們就能輕松解決這類問題。
知識點：整式加減的意義
整式的加減就是求幾個整式的和或差的運算。它的實質是運用去括號法則和合并同類項法則，將整式化簡為一個最簡整式（即不含同類項的整式）。
例如：
求整式\(3x + 2y\)與\(x - y\)的和，就是進行整式的加法運算，可表示為\((3x + 2y)+(x - y)\)。
求整式\(5a^2 - 3b^2\)與\(2a^2 + b^2\)的差，就是進行整式的減法運算，可表示為\((5a^2 - 3b^2)-(2a^2 + b^2)\)。
知識點：整式加減的步驟
整式加減的一般步驟如下：
去括號：如果整式加減運算中有括號，要先根據去括號法則去掉括號。如果括號前面是 “+” 號，去掉括號后，括號內的各項符號不變；如果括號前面是 “-” 號，去掉括號后，括號內的各項符號都要改變。
合并同類項：去掉括號后，按照合并同類項的法則，把多項式中的同類項合并成一項，使結果化為最簡整式。
例如，計算\((3x + 2y)+(x - y)\)：
去括號：\(3x + 2y + x - y\)；
合并同類項：\((3x + x)+(2y - y)=4x + y\)。
再如，計算\((5a^2 - 3b^2)-(2a^2 + b^2)\)：
去括號：\(5a^2 - 3b^2 - 2a^2 - b^2\)；
合并同類項：\((5a^2 - 2a^2)+(-3b^2 - b^2)=3a^2 - 4b^2\)。
例題解析
例 1：計算：
（1）\((2x^2 + 3x - 1)+(x^2 - 2x + 5)\)；
（2）\((4a^2b - 3ab^2)-(2a^2b - 5ab^2)\)；
（3）\(3(x^2 - 2xy + y^2)-2(x^2 - xy + y^2)\)。
解：（1）\(
\begin{align*}
&(2x^2 + 3x - 1)+(x^2 - 2x + 5)\\
=&2x^2 + 3x - 1 + x^2 - 2x + 5\\
=&(2x^2 + x^2)+(3x - 2x)+(-1 + 5)\\
=&3x^2 + x + 4
\end{align*}
\)
（2）\(
\begin{align*}
&(4a^2b - 3ab^2)-(2a^2b - 5ab^2)\\
=&4a^2b - 3ab^2 - 2a^2b + 5ab^2\\
=&(4a^2b - 2a^2b)+(-3ab^2 + 5ab^2)\\
=&2a^2b + 2ab^2
\end{align*}
\)
（3）\(
\begin{align*}
&3(x^2 - 2xy + y^2)-2(x^2 - xy + y^2)\\
=&3x^2 - 6xy + 3y^2 - 2x^2 + 2xy - 2y^2\\
=&(3x^2 - 2x^2)+(-6xy + 2xy)+(3y^2 - 2y^2)\\
=&x^2 - 4xy + y^2
\end{align*}
\)
例 2：先化簡，再求值：
（1）\((5x^2 - 3y^2)-(5x^2 + 3y^2)\)，其中\(x = 1\)，\(y = -1\)；
（2）\(2(2a + b)^2 - 3(2a + b)+8(2a + b)^2 - 6(2a + b)\)，其中\(a = -\frac{3}{4}\)，\(b = \frac{1}{2}\)。
解：（1）先化簡：\(
\begin{align*}
&(5x^2 - 3y^2)-(5x^2 + 3y^2)\\
=&5x^2 - 3y^2 - 5x^2 - 3y^2\\
=&-6y^2
\end{align*}
\)
當\(x = 1\)，\(y = -1\)時，代入得：\(-6 (-1)^2=-6 1 = -6\)
（2）先化簡，把\((2a + b)\)看作一個整體合并同類項：\(
\begin{align*}
&2(2a + b)^2 - 3(2a + b)+8(2a + b)^2 - 6(2a + b)\\
=&(2 + 8)(2a + b)^2+(-3 - 6)(2a + b)\\
=&10(2a + b)^2 - 9(2a + b)
\end{align*}
\)
當\(a = -\frac{3}{4}\)，\(b = \frac{1}{2}\)時，計算\(2a + b\)：\(2 (-\frac{3}{4})+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=-1\)
把\(2a + b=-1\)代入化簡后的式子得：\(
\begin{align*}
&10 (-1)^2 - 9 (-1)\\
=&10 1 + 9\\
=&19
\end{align*}
\)
例 3：已知一個多項式與\(3x^2 - 2x + 5\)的和是\(x^2 + x - 1\)，求這個多項式。
解：設這個多項式為\(A\)，根據題意可得：\(A+(3x^2 - 2x + 5)=x^2 + x - 1\)
所以\(A=(x^2 + x - 1)-(3x^2 - 2x + 5)\)\(
\begin{align*}
&=x^2 + x - 1 - 3x^2 + 2x - 5\\
&=(x^2 - 3x^2)+(x + 2x)+(-1 - 5)\\
&=-2x^2 + 3x - 6
\end{align*}
\)
答：這個多項式是\(-2x^2 + 3x - 6\)。
例 4：如圖，在一個長方形空地中，有一塊正方形草坪和一塊長方形花壇，正方形草坪的邊長為\(a\)米，長方形花壇的長為\(b\)米，寬為\(c\)米，長方形空地的長為\((3a + b)\)米，寬為\((2a + c)\)米。求空地中除了草坪和花壇之外的面積。
解：首先計算長方形空地的面積：\((3a + b)(2a + c)\)（此處暫不展開計算，僅進行整式加減相關的面積差計算）
正方形草坪的面積為\(a^2\)平方米，長方形花壇的面積為\(bc\)平方米。
則空地中除了草坪和花壇之外的面積 = 長方形空地的面積 - 正方形草坪的面積 - 長方形花壇的面積，即：
\((3a + b)(2a + c)-a^2 - bc\)（展開并化簡）\(
\begin{align*}
&=6a^2 + 3ac + 2ab + bc - a^2 - bc\\
&=(6a^2 - a^2)+2ab + 3ac+(bc - bc)\\
&=5a^2 + 2ab + 3ac
\end{align*}
\)
答：空地中除了草坪和花壇之外的面積是\((5a^2 + 2ab + 3ac)\)平方米。
小練習
計算：
（1）\((2x - 3y)+(5x + 4y)\)；
（2）\((8a - 7b)-(4a - 5b)\)；
（3）\(3(x^2 - 2x + 1)-2(2x^2 - 3x - 3)\)。
先化簡，再求值：
（1）\(3x^2 - [7x - (4x - 3)-2x^2]\)，其中\(x = -1\)；
（2）\(5(3a^2b - ab^2)-(ab^2 + 3a^2b)\)，其中\(a = \frac{1}{2}\)，\(b = -1\)。
已知一個多項式減去\(x^2 - 2y^2\)等于\(3x^2 + y^2\)，求這個多項式。
一個三角形的第一條邊長為\((2a + b)\)厘米，第二條邊比第一條邊短\((a - b)\)厘米，第三條邊是第一條邊與第二條邊的和的一半。求這個三角形的周長。
填空：
（1）若\(A = x^2 - 2x + 1\)，\(B = 3x - 2\)，則\(A + B = \)。
（2）計算\((a^2 + 2ab + b^2)-(a^2 - 2ab + b^2)= \)。
（3）若多項式\(2x^2 + ax - y + 6\)與多項式\(2bx^2 - 3x + 5y - 1\)的差不含\(x^2\)項和\(x\)項，則\(a = \)，\(b = \)。
思考討論
整式加減運算的關鍵是什么？
整式加減運算的關鍵是正確地去括號和熟練地合并同類項。去括號時，要嚴格按照去括號法則進行，注意括號前面的符號對括號內各項符號的影響；合并同類項時，要準確找到同類項，再按照合并同類項的法則將系數相加，字母和字母的指數不變。
在進行整式加減時，如何處理多層括號？
在進行整式加減時，如果遇到多層括號，可以由內向外逐層去括號，也可以由外向內逐層去括號。每去掉一層括號后，要及時合并同類項，這樣可以簡化運算。例如，計算\(a - [b - (c - d)]\)，可以先去小括號得\(a - [b - c + d]\)，再去中括號得\(a - b + c - d\)。
課堂小結
整式加減的實質：去括號和合并同類項。
整式加減的步驟：
去括號：根據去括號法則去掉整式中的括號；
合并同類項：將去括號后的多項式中的同類項合并成一項。
整式加減的應用：可以求幾個整式的和或差，也可以解決與面積、周長等相關的實際問題。
在進行整式加減時，要注意符號的變化和同類項的準確識別，以保證運算的正確性。
課后作業
教材 P78 練習 1、2、3、4 題。
計算：
（1）\((5m + 4n)-(7m - 2n)\)；
（2）\(2(x^2 - xy)-3(2x^2 - 3xy)\)；
（3）\(3a^2 - [5a - (\frac{1}{2}a - 3)+2a^2]\)。
先化簡，再求值：
（1）\((2x^2 - y^2)-2(3y^2 - 2x^2)\)，其中\(x = -1\)，\(y = 2\)；
（2）已知\(x + y = 3\)，\(xy = -2\)，求\(3(x + y)-2(xy + x + y)\)的值。
已知多項式\(A = 3x^2 - 2x + 1\)，\(B = 2x^2 + 3x - 4\)，求\(2A - 3B\)。
一個長方形的長為\((2x + 3)\)厘米，寬為\((x - 1)\)厘米，另一個正方形的邊長為\((x + 2)\)厘米。求長方形的面積與正方形的面積的差。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
1.掌握整式加減的運算法則，并能熟練地進行整式的加減計算.
2.能將多項式按照某一個字母的升冪（降冪）排列.
3.經歷整式加減的法則概括過程，提高思考及語言表達能力，培養符號感.
學習目標
復習回顧
回顧添括號法則，在下列各題的括號內，填寫適當的項：
（1）-9a2+16b2= -（ ）；
（2）b2-4a2+4a-1=b2-（ ）；
（3）2x-x2+y2=2x+（ ）；
（4）2a-b-x+3y=2a-b-（ ）；
（5）am-bn-an-bm=am+（ ）-bm.
9a2-16b2
4a2-4a+1
-x2+y
x-3y
-bn-an
進行新課
知識點一
整式加減
利用學過的知識計算下列式子：
（1）(5x+4y)+(2x-3y)
（2）(5x+4y)-(2x-3y)
解： (5x+4y)+(2x-3y）
=5x+4y+2x-3y
=7x+y
解： (5x+4y)-(2x-3y)
=5x+4y-2x+3y
=3x+7y
整式的加減運算可歸結為去括號、合并同類項
去括號
合并同類項
思考：觀察計算過程，你發現了什么規律？
求多項式4-5x2+3x與-2x+7x2-3的差.
例
3
解：(4-5x2+3x)-(-2x+7x2-3)
=4-5x2+3x+2x-7x2+3
=(-5x2-7x2)+(3x+2x)+(4+3)
= -12x2+5x+7
有括號要先去括號
有同類項再合并同類項
結果中不能再有同類項
整式加減的運算結果，通常將多項式按照某個字母（如x）的指數從大到小（或從小到大）依次排列，這種排列叫作關于這個字母（如x）的降（升）冪排列.
按照x的降冪排序
注意：
整式加減的結果要最簡：
不能有同類項；
含字母的項的系數不能出現帶分數，如果有帶分數，必須將其化成假分數；
一般不含括號.
練一練：已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2，求下列結果并按x的降冪排列：
（1）A-2B；（2）2A+B.
解：（1） A-2B
=(3x2-2xy+y2)- 2(2x2+3xy-4y2 )
=3x2-2xy+y2-4x2-6xy+8y2
= -x2-8xy+9y2
去括號時要注意括號前面系數
按照y的降冪排序
9y2-8xy-x2
練一練：已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2，求下列結果并按x的降冪排列：
（1）A-2B；（2）2A+B.
解：（2） 2A+B
=2(3x2-2xy+y2)+( 2x2+3xy-4y2 )
=6x2-4xy+2y2+2x2+3xy-4y2
=8x2-xy-2y2
歸納：
1.幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加、減連接，然后進行計算.
2.整式加減實際上就是：去括號、合并同類項.
3.整式加減的結果要最簡，不能含有同類項.
4.運算結果，常將多項式按某個字母的降（升）冪排列.
知識點二
整式的化簡求值
先化簡，再求值.
例
4
5a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)]，其中a=4.
解：原式= 5a2-(a2-2a+5a2-2a2+6a)
= 5a2-(4a2+4a)
= 5a2-4a2-4a
= a2-4a
當a=4時，原式=a2-4a=42-4×4=0.
思考：還可以怎樣化簡？
由內向外，
先去小括號
由外向內，
先去大括號
解：原式= 5a2-a2+(2a-5a2)+2(a2-3a)
= 5a2-a2+ 2a-5a2+2a2-6a
= a2-4a
5a2-[a2-(2a-5a2)-2(a2-3a)]，其中a=4.
當a=4時，原式=a2-4a=42-4×4=0.
先化簡，再求值.
例
4
練一練：先化簡，再求值：
（1）(2x2-5x+4)-3(x2-x+1)，其中x= -2；
（2）3a2b+(-2ab2+a2b)-2(a2b+2ab2)，其中a= -2，b= -1.
解：（1）原式= 2x2-5x+4-3x2+3x-3
= -x2-2x+1
當x= -2時，
原式= -x2-2x+1= -(-2)2-2×(-2)+1= -4+4+1=1
練一練：先化簡，再求值：
（1）(2x2-5x+4)-3(x2-x+1)，其中x= -2；
（2）3a2b+(-2ab2+a2b)-2(a2b+2ab2)，其中a= -2，b= -1.
（2）原式=3a2b-2ab2+a2b-2a2b-4ab2
=2a2b-6ab2
當a= -2，b= -1時，
原式=2a2b-6ab2= 2×(-2)2×(-1)-6×(-2)×(-1)2
= -8+12=4
整式化簡求值的一般步驟：
化：利用整式加減的運算法則將整式化簡.
代：把已知字母的值代入化簡后的式子.
算：依據有理數的運算法則進行計算.
1
2
3
對于某些特殊式子，可采用“整體代入”進行計算.
核心必知
1.將多項式按某個字母(如 )的指數__________(或__________)
依次排列，這種排列叫作關于這個字母(如 )的降(升)冪排列.
2.一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后
再合并同類項.整式加減的最后結果中不能含有同類項，即要
合并到不能再合并為止.
從大到小
從小到大
1星題 基礎練
知識點1 多項式的降(升)冪排列
1.關于多項式 的說法正確的是( )
D
A.按的降冪排列 B.按 的升冪排列
C.按的降冪排列 D.按 的升冪排列
2.創新題·新題型 多項式是按字母 降
冪排列的，則 代表的項不可能是( )
B
A. B. C. D.
3.把多項式按 的降冪排列是
___________________________，按 的升冪排列的第三項是
_______.
4.(8分)把多項式 按下列要
求重新排列：
(1)按 的升冪排列；
解：按的升冪排列為 .
(2)按 的降冪排列.
按的降冪排列為 .
知識點2 整式加減
5.化簡： ________.
6.［2025年1月廈門期末］已知, ,則
的結果為( )
D
A. B. C. D.
7.［2024·亳州期中］一個多項式與的和是 ，
則這個多項式為( )
C
A. B.
C. D.
【變式題】 若，則
___________________.
8.(8分)［2024·阜陽第十八中期中］化簡下列各式：
(1) ；
解：原式
.
(2) .
解：原式 .
9.(8分)先化簡，再求值：
，其中， .
解：原式 ，
當，時，原式 .
2星題 中檔練
10.［2024·北京期中］若關于， 的多項式
不含二次項，則 的值為____.
11.小程做一道題“已知兩個多項式、，計算 ”時，誤
將看 作，求得結果是 .若
，則 ______________.
12.(12分)已知：, .
(1)化簡： ；
解：由題意知 .
(2)若,，求 的值；
將， 代入，得
，所以
的值為54.
(3)若代數式的值與無關，求此時 的值.
由(1)知， ，
因為代數式的值與無關，所以 ，所以
.
3星題 提升練
13.(8分) 創新題·新問法 [2025·深圳模擬] 每一個新生命的
誕生都會給親人帶來歡樂和希望．我們可以把人出生的年份
減去組成這個年份的數字之和所得的差稱為關聯年份．例如，
提出“華氏定理”、被美國數學家貝特曼稱為“中國的愛因斯
坦，足以成為全世界所有著名科學院的院士”的數學家華羅
庚出生于1910年，他的關聯年份是
.
(1)某人出生于1981年，他的關聯年份是_______；
(2)觀察猜想：能整除這些關聯年份的最大值為___.請你用所
學的數學知識說明理由.
9
解：理由：設出生年份為 ，
則關聯年份為
，
所以能整除這些關聯年份的最大值為9.
【思路點撥】在整式的化簡求值中，當單個字母的值不易求
出或化簡后的結果與已知式子相關聯時，需要將已知式子的
值整體代入計算.
1.若,則整式 的值為___.
6
2.若，則整式 的值是_____.
3.已知， ，則整式
的值是____.
25
4.已知， ，則代數式
的值為____.
59
課堂小結
整式加減
整式加減的步驟
①列代數式
②去括號
③合并同類項
整式的化簡求值
①化簡
②值代入化簡后的式子
③計算
謝謝觀看！

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