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3.1.1方程及方程的解
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.1.1 方程及方程的解
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
在前面的學(xué)習中，我們已經(jīng)接觸過很多用字母表示數(shù)的例子，也學(xué)習了整式及其加減運算。比如，用\(x\)表示一個未知數(shù)，我們可以寫出像\(2x + 3\)這樣的整式。今天，我們要學(xué)習一種新的數(shù)學(xué)式子 —— 方程，它與我們之前學(xué)的整式有著密切的聯(lián)系，又有其獨特的特點。
學(xué)習目標
理解方程的概念，能準確判斷一個式子是不是方程。
掌握方程的解的定義，能判斷一個數(shù)是不是某個方程的解。
經(jīng)歷從實際問題到方程的抽象過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。
培養(yǎng)觀察、分析和歸納能力，激發(fā)學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣。
課堂導(dǎo)入
我們來看一個生活中的問題：小明去商店買文具，他買了 3 支鉛筆，每支鉛筆\(x\)元，還買了一個筆記本花了 5 元，一共花了 11 元。那么，每支鉛筆多少錢呢？
我們可以用文字來描述這個問題中的數(shù)量關(guān)系：3 支鉛筆的價錢 + 一個筆記本的價錢 = 總價錢。如果用含有\(zhòng)(x\)的式子來表示，就是\(3x + 5 = 11\)。像這樣的式子就是我們今天要學(xué)習的方程。
再看幾個例子：
\(2x = 8\)
\(x + 3 = 7\)
\(4x - 1 = 15\)
這些式子都有什么共同的特點呢？它們都含有未知數(shù)，并且都是等式。這就是方程的基本特征。
知識點：方程的概念
定義
含有未知數(shù)的等式叫做方程。
從定義中可以看出，方程必須滿足兩個條件：
是等式，即式子中含有等號 “=”；
含有未知數(shù)，未知數(shù)通常用字母\(x\)、\(y\)、\(z\)等表示。
例如：
是方程的式子：\(3x + 5 = 11\)、\(2x - 3 = 7\)、\(y + 2y = 9\)（既含有未知數(shù)，又是等式）。
不是方程的式子：
\(3x + 5\)（不是等式，是整式）；
\(5 + 6 = 11\)（是等式，但不含有未知數(shù)）；
\(\frac{1}{x} + 2 = 3\)（雖然含有未知數(shù)且是等式，但分母中含有未知數(shù)，后續(xù)會學(xué)習這類方程不是我們現(xiàn)在所學(xué)的整式方程）。
知識點：方程的解
定義
使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
例如：
對于方程\(3x + 5 = 11\)，當\(x = 2\)時，左邊\(=3 2 + 5 = 6 + 5 = 11\)，右邊\(=11\)，左邊 = 右邊，所以\(x = 2\)是方程\(3x + 5 = 11\)的解。
對于方程\(x + 3 = 7\)，當\(x = 4\)時，左邊\(=4 + 3 = 7\)，右邊\(=7\)，左邊 = 右邊，所以\(x = 4\)是方程\(x + 3 = 7\)的解。
檢驗一個數(shù)是否為方程的解的步驟
要判斷一個數(shù)是不是某個方程的解，只需將這個數(shù)代入方程的左右兩邊，分別計算出左右兩邊的值，如果左右兩邊的值相等，那么這個數(shù)就是方程的解；否則，就不是方程的解。
例如，檢驗\(x = 5\)是不是方程\(4x - 1 = 15\)的解：
把\(x = 5\)代入方程左邊：\(4 5 - 1 = 20 - 1 = 19\)；
方程右邊\(=15\)；
因為左邊\( \)右邊，所以\(x = 5\)不是方程\(4x - 1 = 15\)的解。
再檢驗\(x = 4\)是不是方程\(4x - 1 = 15\)的解：
把\(x = 4\)代入方程左邊：\(4 4 - 1 = 16 - 1 = 15\)；
方程右邊\(=15\)；
因為左邊\(=\)右邊，所以\(x = 4\)是方程\(4x - 1 = 15\)的解。
例題解析
例 1：判斷下列式子是不是方程：
（1）\(3x + 8\)；
（2）\(5x - 2 = 9\)；
（3）\(7 + 8 = 15\)；
（4）\(y - 3 > 2\)；
（5）\(2x + 3y = 10\)。
解：（1）\(3x + 8\)不是等式，所以不是方程；
（2）\(5x - 2 = 9\)是含有未知數(shù)的等式，所以是方程；
（3）\(7 + 8 = 15\)是等式，但不含有未知數(shù)，所以不是方程；
（4）\(y - 3 > 2\)不是等式（是不等式），所以不是方程；
（5）\(2x + 3y = 10\)是含有未知數(shù)的等式，所以是方程。
例 2：檢驗下列各數(shù)是不是方程\(2x - 1 = 5\)的解：
（1）\(x = 3\)；
（2）\(x = 2\)。
解：（1）把\(x = 3\)代入方程左邊：\(2 3 - 1 = 6 - 1 = 5\)，方程右邊\(=5\)。
因為左邊\(=\)右邊，所以\(x = 3\)是方程\(2x - 1 = 5\)的解。
（2）把\(x = 2\)代入方程左邊：\(2 2 - 1 = 4 - 1 = 3\)，方程右邊\(=5\)。
因為左邊\( \)右邊，所以\(x = 2\)不是方程\(2x - 1 = 5\)的解。
例 3：根據(jù)下列問題，列出方程：
（1）一個數(shù)的 2 倍加上 3 等于 11，求這個數(shù)。設(shè)這個數(shù)為\(x\)；
（2）小明今年\(x\)歲，他爸爸今年 35 歲，比小明大 26 歲；
（3）一個長方形的周長是 20 厘米，長是 6 厘米，寬是\(x\)厘米。
解：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系 “一個數(shù)的 2 倍 + 3 = 11”，可列出方程：\(2x + 3 = 11\)；
（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系 “爸爸的年齡 - 小明的年齡 = 26”，可列出方程：\(35 - x = 26\)；
（3）長方形的周長公式是\(2 (é + )\)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系 “長方形的周長 = 20”，可列出方程：\(2 (6 + x)=20\)。
小練習
判斷下列式子是不是方程：
（1）\(x + 5\)；
（2）\(3x - 2 = 7\)；
（3）\(6 + 8 = 14\)；
（4）\(4y + 1 = 9\)；
（5）\(x - y = 3\)。
檢驗下列各數(shù)是不是方程\(3x + 2 = 8\)的解：
（1）\(x = 2\)；
（2）\(x = 3\)。
根據(jù)下列問題，列出方程：
（1）一個數(shù)的 5 倍減去 4 等于 16，求這個數(shù)。設(shè)這個數(shù)為\(x\)；
（2）小紅買了 4 本練習本，每本\(x\)元，付給售貨員 10 元，找回 2 元；
（3）一個三角形的面積是 12 平方厘米，底是 6 厘米，高是\(h\)厘米（三角形面積公式：\(é § =\frac{1}{2} é \)）。
填空：
（1）方程\(x - 5 = 3\)的解是\(x = \)。
（2）若\(x = 2\)是方程\(2x + a = 7\)的解，則\(a = \)。
（3）寫出一個解為\(x = 4\)的方程：（ ）。
思考討論
方程與等式有什么區(qū)別和聯(lián)系？
聯(lián)系：方程一定是等式，等式包含方程，方程是等式的一部分。
區(qū)別：等式不一定是方程，等式可以不含未知數(shù)，而方程必須含有未知數(shù)。例如，\(5 + 3 = 8\)是等式，但不是方程；\(2x = 6\)既是等式，又是方程。
是不是所有的方程都有解？
不是所有的方程都有解。例如，方程\(x + 1 = x + 2\)，無論\(x\)取什么值，左邊都比右邊小 1，左右兩邊永遠不相等，所以這個方程沒有解。隨著我們學(xué)習的深入，會遇到更多不同類型的方程，對這個問題會有更深刻的認識。
課堂小結(jié)
方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫做方程，它必須滿足是等式和含有未知數(shù)兩個條件。
方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。
檢驗一個數(shù)是不是方程的解的步驟：將這個數(shù)代入方程的左右兩邊，計算出兩邊的值，若相等，則是方程的解；若不相等，則不是。
列方程的關(guān)鍵是找出實際問題中的數(shù)量關(guān)系，用含有未知數(shù)的等式表示出來。
課后作業(yè)
教材 P [具體頁碼] 練習 1、2、3 題。
判斷下列式子是不是方程：
（1）\(7x - 3\)；
（2）\(5x + 1 = 9\)；
（3）\(9 - 3 = 6\)；
（4）\(x^2 + 2 = 5\)；
（5）\(3(x + 2)=15\)。
檢驗下列各數(shù)是不是方程\(4x - 3 = 9\)的解：
（1）\(x = 3\)；
（2）\(x = 4\)。
根據(jù)下列問題，列出方程：
（1）一個數(shù)的 3 倍與 5 的和是 20，求這個數(shù)。設(shè)這個數(shù)為\(x\)；
（2）一輛汽車每小時行駛\(v\)千米，3 小時行駛了 180 千米；
（3）一個長方形的長是寬的 2 倍，周長是 30 厘米，設(shè)寬為\(x\)厘米。
若\(x = 1\)是方程\(ax + 3 = 6\)的解，求\(a\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習目錄
1
復(fù)習引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導(dǎo)入
今有雉兔同籠 上有三十五頭
下有九十四足 問雉兔各幾何
你有哪些方法解決這道經(jīng)典有趣的數(shù)學(xué)題
列算式：列出的算式表示解題的計算過程，只能用已知數(shù).對于較復(fù)雜的問題，列算式比較困難.
列方程：方程是根據(jù)題中的相等關(guān)系列出的等式. 既可用已知數(shù)，又可用未知數(shù)，解決問題比較方便.
從算式到方程是數(shù)學(xué)的進步！
探索新知
問題1：在參加2022年北京冬奧會的中國代表隊中，自由式滑雪運動員有21人，比花樣滑冰運動員的3倍少3人. 參加本屆冬奧會的花樣滑冰運動員有多少人
設(shè)參加冬奧會的花樣滑冰運動員有x人，根據(jù)題意，得3x-3=21.
問題2：王玲今年12歲，她的爸爸36歲. 再過幾年，她爸爸年齡是她年齡的2倍
設(shè)再過x年，王玲爸爸的年齡是她年齡的2倍. 這時王玲的年齡是(12+x)歲，她爸爸的年齡是(36+x)歲.
根據(jù)題意，得 36+x=2(12+x).
問題3：已知長方形的面積為180m2，其中長比寬多3m，求長方形的寬是多少.
設(shè)寬為x m，則長為(x+3)m. 根據(jù)題意，得x(x+3)=180.
3x-3=21
36+x=2(12+x)
x(x+3)=180
觀察這些式子有什么共同特點
共同點
1.含有未知數(shù)；
2.是等式.
方程
定義：含有未知數(shù)的等式叫作方程.
判斷下列各式是不是方程？
①7-1=6；②3x+y=10；③x-1；④ ；
⑤x>3；⑥x=1；⑦a2-1=0；⑧b2≠-1.
√
√
√
√
1.含有未知數(shù)；
2.等式.
練一練
3x-3=21
當x取7時，代入原方程左邊，得3x-3=18；
當x取8時，代入原方程左邊，得3x-3=21；
當x取9時，代入原方程左邊，得3x-3=24.
左邊=右邊
定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解.
求方程的解的過程叫作解方程.
類型 方程的解 解方程
區(qū)別 是一個具體的數(shù)，是解方程的結(jié)果 求方程的解的過程
聯(lián)系 方程的解是通過解方程求得的 方程的解與解方程的區(qū)別及聯(lián)系：
例1 根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)并列出方程.
（1）已知長方形的周長是16 cm，長比寬多2 cm，則這個長方形的長是多少
（2）把若干本書發(fā)給學(xué)生. 如果每人發(fā)4本，還剩下2本；如果每人發(fā)5本，還差5本. 共有多少名學(xué)生
解：（1）設(shè)這個長方形的長是x cm，則寬是(x-2)cm，根據(jù)題意，得2[x+(x-2)]=16.
（2）設(shè)共有y名學(xué)生，根據(jù)題意，得4y+2=5y-5.
【教材P93 例1】
列方程的一般步驟：
（1）審：審清題意，找出相等關(guān)系；
（2）設(shè)：根據(jù)題意，設(shè)出未知數(shù)；
（3）列：根據(jù)相等關(guān)系列出方程.
實際問題
方程
設(shè)未知數(shù)，用含有未知數(shù)的等式表示相等關(guān)系
隨堂練習
1.根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)并列出方程.
（1）小華的年齡是21歲，小華的年齡比小強年齡的2倍小5歲，求小強的年齡；
解：設(shè)小強的年齡是x歲.根據(jù)題意，得21=2x-5.
（2）某班50名學(xué)生集體看電影，買電影票共花費1350元. 電影票有單價25元和單價30元兩種. 這兩種電影票各買了多少張
解：設(shè)單價25元的電影票買了y張，則單價30元的電影票買了(50-y)張. 根據(jù)題意，得 25y+30(50-y)=1350.
【教材P93 練習 第1題】
（3）足球比賽的計分規(guī)則為：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分. 一支球隊打了14場比賽，負5場，得19分，那么這支球隊勝了多少場
解：設(shè)這支球隊勝了z場，則平了(9-z)場. 根據(jù)題意，得3z+(9-z)=19.
2.下列各數(shù)中，哪些是方程x(x+3)=180的解
﹣15，﹣12，12，15.
解：﹣15和12是方程x(x+3)=180的解.
【教材P94 練習 第2題】
3.近年來，網(wǎng)購的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活. 某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送，若每名快遞員派送10件，還剩6件；若每名快遞員派送12件，還差6件. 快遞員有多少名
解：設(shè)快遞員有x名.
由題意，得每名快遞員派送10件，還剩6件，則現(xiàn)有包裹(10x+6)件；
每名快遞員派送12件，還差6件，則現(xiàn)有包 裹(12x-6)件，可得方程10x+6=12x-6.
1星題 基礎(chǔ)練
知識點1 方程的概念
1.［2025·杭州月考］下列各式中，屬于方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.下列式子：；； ；
； .其中是等式的是_________，
是方程的是________.(填序號)
知識點2 方程的解
3.［2025年1月合肥期末］下列方程中，解為 的是
( )
A
A. B. C. D.
4.下列各方程后面括號內(nèi)的數(shù)不是前面方程的解的是( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月淮北期末］已知是方程 的解，
則 ____.
知識點3 根據(jù)實際問題列方程
6.“的5倍與2的和等于的 與4的差”，用等式表示為_______
__________.
7.(8分)根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)并列出方程：英語競賽共20道題，
每道題有4個選項，只有1個正確選項，選對得5分，不選或
錯選扣1分，已知小華得了76分，則小華選對了多少道題？
解：設(shè)小華選對了道題，則不選或錯選 道題，由
題意，得 .
2星題 中檔練
8.整體思想 若是方程 的解，則
的值為_______.
9.真實情境 下表是學(xué)習等量關(guān)系和方程時老師板書的問題和
兩名同學(xué)所列的方程：
(1)小明所列的方程中的 表示__________________，并嘗試
描述等量關(guān)系：___________________；
(2)小紅所列的方程中的 表示__________________，并嘗試
描述等量關(guān)系:________________________.
體育室里的排球數(shù)
籃球數(shù)-排球數(shù)
體育室里的籃球數(shù)
排球數(shù)的2倍籃球數(shù)
10.(8分)［2024·安慶期中］已知是方程 的解，
檢驗是不是方程 的解.
解：因為是方程的解，所以把 代入，
得，解得.將 代入方程
，得.將 代入方
程①左邊得，左邊，代入方程①右邊得，右邊 .因為
左邊右邊，所以不是方程 的解.
課堂小結(jié)
方程
含有未知數(shù)的等式叫作方程.
使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫作方程的解.
求方程的解的過程叫作解方程.
根據(jù)實際問題列方程.
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