資源簡介

(共38張PPT)
3.1.2等式的基本性質
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.2 等式的基本性質
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上節課我們學習了方程及方程的解的概念，知道含有未知數的等式叫做方程，使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。例如，方程\(3x + 5 = 11\)的解是\(x = 2\)。那么，我們是如何找到這個解的呢？這就需要用到等式的基本性質，今天我們就來學習等式的基本性質。
學習目標
理解并掌握等式的兩條基本性質。
能運用等式的基本性質對等式進行變形。
體會等式的基本性質在解方程中的作用，為后續解方程打下基礎。
培養觀察、分析和歸納能力，感受數學的嚴謹性。
課堂導入
我們來看一個生活中的例子：天平的左盤放有 2 個質量為\(x\)克的砝碼，右盤放有 1 個質量為 10 克的砝碼，這時天平保持平衡，如圖所示。根據天平平衡的原理，我們可以得到等式：\(2x = 10\)。
如果我們在天平的左盤和右盤同時各加 1 個質量為 5 克的砝碼，天平仍然保持平衡，此時左盤的質量是\(2x + 5\)克，右盤的質量是\(10 + 5\)克，得到等式：\(2x + 5 = 10 + 5\)。
如果我們在天平的左盤和右盤同時各拿走 1 個質量為 3 克的砝碼，天平還是保持平衡，此時左盤的質量是\(2x - 3\)克，右盤的質量是\(10 - 3\)克，得到等式：\(2x - 3 = 10 - 3\)。
從這個例子中，我們可以發現等式的一些變化規律，這就是我們今天要學習的等式的基本性質。
知識點：等式的基本性質 1
內容
等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，所得結果仍是等式。
用字母表示為：如果\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\)（其中\(c\)為整式）。
例如：
已知\(x + 3 = 7\)，根據等式的基本性質 1，兩邊同時減去 3，可得\(x + 3 - 3 = 7 - 3\)，即\(x = 4\)。
已知\(y - 5 = 2\)，根據等式的基本性質 1，兩邊同時加上 5，可得\(y - 5 + 5 = 2 + 5\)，即\(y = 7\)。
注意事項
等式兩邊同時加上或減去的必須是同一個整式，如果兩邊加上或減去的不是同一個整式，等式可能不再成立。例如，在等式\(5 = 5\)中，左邊加上 2，右邊加上 3，得到\(7 = 8\)，這個等式不成立。
這里的 “整式” 可以是一個數、一個字母或一個多項式。
知識點：等式的基本性質 2
內容
等式兩邊同時乘（或除以）同一個數（除數不能為 0），所得結果仍是等式。
用字母表示為：如果\(a = b\)，那么\(ac = bc\)；如果\(a = b\)（\(c 0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)。
例如：
已知\(2x = 6\)，根據等式的基本性質 2，兩邊同時除以 2，可得\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)，即\(x = 3\)。
已知\(\frac{x}{3}=4\)，根據等式的基本性質 2，兩邊同時乘 3，可得\(\frac{x}{3} 3 = 4 3\)，即\(x = 12\)。
注意事項
等式兩邊同時乘或除以的必須是同一個數，如果兩邊乘或除以的不是同一個數，等式可能不再成立。例如，在等式\(8 = 8\)中，左邊乘 2，右邊乘 3，得到\(16 = 24\)，這個等式不成立。
等式兩邊同時除以一個數時，這個數不能為 0，因為 0 不能作為除數。例如，對于等式\(0 5 = 0 3\)，如果兩邊同時除以 0，就會得到\(5 = 3\)，這是錯誤的。
例題解析
例 1：根據等式的基本性質，把下列等式變形為用含一個字母表示另一個字母的形式：
（1）若\(x + 3 = y\)，則\(x = \)；
（2）若\(2x = 6y\)，則\(x = \)；
（3）若\(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\)，則\(x = \)。
解：（1）根據等式的基本性質 1，等式兩邊同時減去 3，可得\(x + 3 - 3 = y - 3\)，即\(x = y - 3\)；
（2）根據等式的基本性質 2，等式兩邊同時除以 2，可得\(\frac{2x}{2}=\frac{6y}{2}\)，即\(x = 3y\)；
（3）根據等式的基本性質 2，等式兩邊同時乘 2，可得\(\frac{x}{2} 2=\frac{y}{3} 2\)，即\(x=\frac{2y}{3}\)。
例 2：判斷下列等式的變形是否正確，并說明理由：
（1）若\(a = b\)，則\(a + 2 = b + 2\)；
（2）若\(a = b\)，則\(3a = 3b\)；
（3）若\(a = b\)，則\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)；
（4）若\(a + 3 = b + 3\)，則\(a = b\)。
解：（1）正確。根據等式的基本性質 1，等式兩邊同時加上 2，所得結果仍是等式。
（2）正確。根據等式的基本性質 2，等式兩邊同時乘 3，所得結果仍是等式。
（3）不正確。當\(c = 0\)時，等式\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)的分母為 0，無意義，所以該變形不正確。
（4）正確。根據等式的基本性質 1，等式兩邊同時減去 3，所得結果仍是等式。
例 3：利用等式的基本性質解下列方程：
（1）\(x - 5 = 7\)；
（2）\(4x = 3x + 9\)；
（3）\(\frac{1}{3}x = 6\)；
（4）\(2x - 1 = 5\)。
解：（1）根據等式的基本性質 1，兩邊同時加上 5，得：\(x - 5 + 5 = 7 + 5\)\(x = 12\)
（2）根據等式的基本性質 1，兩邊同時減去\(3x\)，得：\(4x - 3x = 3x + 9 - 3x\)\(x = 9\)
（3）根據等式的基本性質 2，兩邊同時乘 3，得：\(\frac{1}{3}x 3 = 6 3\)\(x = 18\)
（4）首先根據等式的基本性質 1，兩邊同時加上 1，得：\(2x - 1 + 1 = 5 + 1\)\(2x = 6\)
再根據等式的基本性質 2，兩邊同時除以 2，得：\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)\(x = 3\)
小練習
填空題
（1）若\(x + 2 = 5\)，則\(x = 5 - \)，這是根據等式的基本性質（ ），在等式兩邊同時（ ）。
（2）若\(3x = 15\)，則\(x = \)，這是根據等式的基本性質（ ），在等式兩邊同時（ ）。
（3）若\(x = y\)，則\(x + 3 = y + \)，\(2x = \)，\(\frac{x}{4}=\frac{ }{4}\)。
（4）若\(2a = 4b\)，則\(a = \)，這是根據等式的基本性質（ ）。
判斷題
（1）若\(a = b\)，則\(a + c = b - c\)。（ ）
（2）若\(ac = bc\)，則\(a = b\)。（ ）
（3）若\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)（\(c 0\)），則\(a = b\)。（ ）
（4）若\(a = b\)，則\(\frac{a}{c^2 + 1}=\frac{b}{c^2 + 1}\)。（ ）
利用等式的基本性質解下列方程：
（1）\(x + 7 = 12\)；
（2）\(x - 3 = 11\)；
（3）\(5x = 4x - 6\)；
（4）\(\frac{1}{2}x = 8\)；
（5）\(3x + 2 = 8\)。
若\(2x + 3 = 7\)，利用等式的基本性質求\(x + 1\)的值。
思考討論
等式的基本性質 1 和基本性質 2 有什么區別和聯系？
區別：等式的基本性質 1 是關于等式兩邊同時加或減同一個整式的變形，等式的基本性質 2 是關于等式兩邊同時乘或除以同一個數（除數不為 0）的變形，兩者的操作不同。
聯系：兩者都是等式的基本性質，都可以用于對等式進行變形，且變形后等式仍然成立，它們都是解方程的重要依據。
為什么等式兩邊同時除以一個數時，這個數不能為 0？
因為 0 不能作為除數，若等式兩邊同時除以 0，會導致無意義的結果。例如，對于等式\(0 5 = 0 3\)，如果兩邊同時除以 0，就會得到\(5 = 3\)，這顯然是錯誤的，所以等式兩邊同時除以的數不能為 0。
課堂小結
等式的基本性質 1：等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，所得結果仍是等式。
等式的基本性質 2：等式兩邊同時乘（或除以）同一個數（除數不能為 0），所得結果仍是等式。
等式的基本性質是對等式進行變形的依據，也是后續解方程的重要基礎，在運用時要注意相關的限制條件，如除以的數不能為 0 等。
利用等式的基本性質可以將等式進行變形，以達到用含一個字母表示另一個字母或解方程的目的。
課后作業
教材 P [具體頁碼] 練習 1、2、3 題。
填空題
（1）若\(x - 4 = 6\)，則\(x = \)，依據是（ ）。
（2）若\(6x = 18\)，則\(x = \)，依據是（ ）。
（3）若\(3x - 2 = 7\)，則\(3x = \)，\(x = \)。
利用等式的基本性質解下列方程：
（1）\(x - 9 = 1\)；
（2）\(6x = 5x + 4\)；
（3）\(\frac{1}{5}x = 3\)；
（4）\(4x - 5 = 11\)。
若\(3a = 2b\)，利用等式的基本性質求\(9a - 6b + 1\)的值。
已知\(2x = 3y\)，請利用等式的基本性質說明\(x=\frac{3}{2}y\)成立的理由。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
復習回顧
判斷：下列各式中哪些是等式？
① abc；②3a-2b；③ xy+y2-5；④3；⑤-a；⑥2+3=5；⑦3×4=12；⑧9x+10=19；⑨a+b=b+a；⑩S=πr2.
用等號表示相等關系的式子叫作等式.
通常用a=b表示一般的等式.
√
√
√
√
√
對于方程x+2=4，3x=6，你能用所學知識求出它們的解嗎
方程是等式，解方程的過程實際上就是等式的變形過程. 為了進一步討論解方程，我們先來看看等式有什么性質.
= b
探索新知
觀察：如圖，在一臺天平兩端的托盤中分別放置了質量為a，b的物體，天平平衡，這直觀地說明 a = b.
a
b
C
C
同時加上質量為c的物體，天平還保持平衡嗎
a
+c
+c
a
b
C
C
a
+c
+c
性質1 等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，所得結果仍是等式.
= b
等式的基本性質
如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
a =
如圖，天平還保持平衡嗎？這又反映了怎樣的數量關系呢？
b
3
3
a =
b
3
3
性質2 等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數（除數不能為0），所得結果仍是等式.
等式的基本性質
如果a=b，那么ac=bc，
.
=
3
a
b
3
等式的基本性質
性質3（對稱性） 如果a=b，那么b=a.
等式的基本性質
a
b
C
b
a
C
a = b
b = c
a = c
性質4（傳遞性） 如果a=b，b=c，那么a=c.
根據等式這一性質，將一個量用與它相等的量代替，稱為等量代換.
練一練
指出下列等式變形的依據.
（1）如果5x+3=7，那么5x=4；
（2）如果﹣8x=4，那么x= ；
（3）如果﹣5a=﹣5b，那么a=b；
（4）如果3x=2x+1，那么x=1；
（5）如果﹣0.25=x，那么x=﹣0.25；
（6）如果x=y，y=z，那么x=z.
【教材P96 練習 第1題】
等式的基本性質1
等式的基本性質2
等式的基本性質2
等式的基本性質1
等式的基本性質3
等式的基本性質4
例2：解方程：3x - 3 = 21.
【教材P96 例2】
解：兩邊都加上3，得 3x = 21+3，（性質1）
即 3x = 24.
兩邊同除以3，得 x = 8.（性質2）
檢驗：把 x = 8 代入原方程，得
左邊=3×8-3=21，
右邊=21，
左邊=右邊.
所以x=8是原方程的解.
練一練
根據等式的基本性質解方程，并檢驗：1.8x=2.5x+1.4.
解：兩邊都減去2.5x，得 -0.7x = 1.4，（性質1）
兩邊同除以-0.7，得 x = -2.（性質2）
檢驗：把 x = -2 代入原方程，得
左邊=1.8×(-2)=-3.6，右邊=2.5×(-2)+1.4=-3.6，左邊=右邊.
所以x=-2是原方程的解.
隨堂練習
2.下列變形中錯誤的是（ ）
A.若x=y，則x+a=y+a B.若mx=my，則x=y
C.若x+a=y+a，則x=y D.若x=y，則mx=my
B
1.由2x=-4得x=-2，變形的依據是根據等式的（ ）
A.基本性質1 B.基本性質2
C.基本性質3 D.基本性質4
B
3.解方程并檢驗.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 練習 第2題】
（1）解：兩邊都加上7，得5x=8+7，（性質1）
即5x=15.
兩邊同除以5，得x=3.（性質2）
檢驗：把x=3代入原方程，得左邊=5×3-7=8，右邊=8，左邊=右邊.
所以x=3是原方程的解.
3.解方程并檢驗.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 練習 第2題】
（2）解：由對稱性，得7+4x=27.（性質3）
兩邊都減去7，得4x=27-7，（性質1）即4x=20.
兩邊同除以4，得x=5.（性質2）
檢驗：把x=5代入原方程，得左邊=27，右邊=7+4×5=27，左邊=右邊.
所以x=5是原方程的解.
3.解方程并檢驗.
（1）5x -7 =8；（2）27=7+4x；（3） .
【教材P96 練習 第2題】
（3）解：由對稱性，得 .（性質3）
兩邊都加上 ，得 ，（性質1）即 .
兩邊同除以 ，得x=2.（性質2）
檢驗：把x=2代入原方程，得左邊= ，右邊= ，左邊=右邊.
所以x=2是原方程的解.
4.*已知2x2 – x=5，求多項式– 4x2 +2x – 8的值.
解：因為2x2 – x = 5，所以在等式兩邊都乘以– 2，得
–2(2x2 – x)=5×(–2).
化簡，得 – 4x2+2x= – 10.
等式兩邊都減去8，得 – 4x2+2x – 8= – 10 – 8.
所以– 4x2+2x – 8 = – 18.
核心必知
等式的基本性質：
性質1：等式的兩邊都加上(或減去)____________，所得結果
仍是等式.
性質2：等式的兩邊都乘以(或除以)______________________，
所得結果仍是等式.
性質3：如果，那么 ___.(對稱性)
性質4：如果，，那么 ___.(傳遞性)
同一個整式
同一個數(除數不能為0)
1星題 基礎練
知識點1 等式的基本性質1
1.［知識初練］圖①中的天平處于平衡狀態，用等式表示是
_______；如圖②，在天平兩邊托盤中同時加入砝碼 ，天平
仍然處于平衡狀態，用等式表示是_____________.
2.［2024·滁州期中］下列不屬于等式的基本性質1的應用的
是( )
C
A.由得 B.由得
C. D.由得
3.(1)已知等式 ，根據等式的基本性質1，等式兩邊
_________，得 ___；
(2)已知等式 ，根據等式的基本性質1，等式兩邊
__________，得 ___.
同時減2
2
同時減
7
知識點2 等式的基本性質2
4.［知識初練］圖①中的天平處于平衡狀態，用等式表示是
_______；如圖②，在天平兩邊托盤中同時加入相同數量的
物體，天平仍然處于平衡狀態，用等式表示是_________.
5.教材改編題 下列等式變形正確的是( )
C
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
知識點3 等式的基本性質3、4
6.在橫線上填上適當的數.
(1)如果，那么 ___；
(2)如果,，那么 ___.
4
5
知識點4 利用等式的基本性質解簡單方程
7.由得到 ，可分兩步，將下面步驟補充完整：
第一步：根據等式的基本性質___，等式兩邊同時_____，得
到 ；
第二步：根據等式的基本性質___，等式兩邊同時_______，
得到 .
1
加1
2
除以2
8.(8分)解方程并檢驗：
(1) ；
解：兩邊同時減5，得 .
檢驗：把代入原方程，得左邊 ，
右邊，左邊右邊，所以 是原方程的解.
(2) .
解：兩邊同時加2，得，兩邊同時除以6，得 .檢
驗：把代入原方程，得左邊，右邊 ，
左邊右邊，所以 是原方程的解.
2星題 中檔練
9.［2025年1月合肥期末］下列變形錯誤的是( )
B
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
補充設問 如果，那么成立時 應滿足的條件
是______.
10.［2025年1月大同期末］等式 中的部分內
容被墨漬污染，則被墨漬污染的“ ”為( )
A
A. B.
C. D.
11.跨學科·物理 某種彈簧秤原來的長度為 ，懸掛重物后的
長度可以用公式表示，其中是懸掛物的質量，
是常數，則_________(用含，， 的式子表示).
12.(8分)高階思維·批判性思維 小明學習了等式的基本性質后
對小亮說：“我發現4可以等于3，你看這里有一個方程：
，方程的兩邊都加上2，得 ，然后
方程的兩邊都除以，得 .”
(1)小明的說法對嗎？為什么？
解：不對，理由：對于方程，因為 可能等于0,所以
兩邊不能都除以 .
(2)請用等式的基本性質求出方程 的解.
解：方程的兩邊都加上2，得 ，方程的兩邊都減去
，得 .
13.(8分)［2025·蕪湖月考］利用等式的基本性質，說明由
如何變形得到 .
解： ，等式兩邊同時乘以2，得
，等式兩邊同時加上2，得
，即 .
3星題 提升練
14.推理能力 已知 、 、 分別代表不同的物體，用天平比
較它們的質量，如圖所示.根據砝碼顯示的質量，可得
______， _______ .
課堂小結
等式的基本性質
性質2：如果a=b，那么ac=bc，
.
性質3：如果a=b，那么b=a.
性質4：如果a=b，b=c，那么a=c.
利用等式的基本性質解方程
性質1：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c.
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