資源簡介

(共41張PPT)
3.2.1利用移項、去括號解一元一次方程
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
利用移項、去括號解一元一次方程
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上節課我們學習了等式的基本性質，知道等式兩邊同時加上（或減去）同一個整式，或者同時乘（或除以）同一個不為 0 的數，等式仍然成立。這為我們解方程提供了重要依據。今天我們將學習利用移項和去括號來解一元一次方程。
學習目標
理解移項的概念，掌握移項的法則和依據。
能熟練運用去括號法則和移項法則解含有括號的一元一次方程。
經歷解一元一次方程的過程，體會轉化的數學思想。
提高運算的準確性和規范性，培養嚴謹的解題習慣。
課堂導入
我們來看一個方程：\(4x + 5 = 2x + 11\)。如何求出這個方程的解呢？根據等式的基本性質 1，我們可以在等式兩邊同時減去\(2x\)，得到\(4x - 2x + 5 = 11\)；再在等式兩邊同時減去 5，得到\(4x - 2x = 11 - 5\)。像這樣，把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。移項是解方程的重要步驟，它可以使方程變得更簡單。
再看一個含有括號的方程：\(2(x - 3) + 5 = 13\)。要解這個方程，我們需要先去掉括號，再進行移項等操作。那么，如何正確地去括號和移項呢？這就是我們本節課要重點學習的內容。
知識點：移項
定義
把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。
依據
移項的依據是等式的基本性質 1。例如，對于方程\(x + 3 = 5\)，根據等式的基本性質 1，兩邊同時減去 3，得到\(x = 5 - 3\)，這里的 “\(+3\)” 從左邊移到右邊后變成了 “\(-3\)”，就是移項。
注意事項
移項時，被移的項一定要改變符號，不移動的項符號不變。例如，方程\(3x - 2 = 2x + 1\)，移項后得到\(3x - 2x = 1 + 2\)，而不是\(3x + 2x = 1 - 2\)。
移項的目的是把含有未知數的項移到方程的一邊，把常數項移到方程的另一邊，使方程更接近\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
知識點：去括號法則在解方程中的應用
在解含有括號的一元一次方程時，需要先按照去括號法則去掉括號，再進行移項等操作。去括號法則如下：
如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同。例如，\(2(x + 3)=2x + 6\)。
如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反。例如，\(-3(x - 2)=-3x + 6\)。
注意事項
去括號時，要將括號外的因數與括號內的每一項都相乘，不能漏乘。例如，\(3(2x - 1)=6x - 3\)，不能寫成\(6x - 1\)。
當括號前面是 “\(-\)” 號時，去掉括號后，括號內的各項都要改變符號，千萬不要忘記改變括號內每一項的符號。
解含有括號的一元一次方程的步驟
去括號：按照去括號法則去掉方程中的括號。
移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，常數項移到方程的另一邊（移項要變號）。
合并同類項：把方程化成\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
系數化為 1：根據等式的基本性質 2，方程兩邊同時除以未知數的系數\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{b}{a}\)。
例題解析
例 1：解下列方程：
（1）\(4x + 5 = 2x + 11\)；
（2）\(7x - 3 = 5x + 9\)。
解：（1）移項，得：\(4x - 2x = 11 - 5\)
合并同類項，得：\(2x = 6\)
系數化為 1，得：\(x = 3\)
（2）移項，得：\(7x - 5x = 9 + 3\)
合并同類項，得：\(2x = 12\)
系數化為 1，得：\(x = 6\)
例 2：解下列方程：
（1）\(2(x - 3) + 5 = 13\)；
（2）\(3(2x + 1) - 2(x - 2) = 25\)。
解：（1）去括號，得：\(2x - 6 + 5 = 13\)
合并同類項，得：\(2x - 1 = 13\)
移項，得：\(2x = 13 + 1\)\(2x = 14\)
系數化為 1，得：\(x = 7\)
（2）去括號，得：\(6x + 3 - 2x + 4 = 25\)
合并同類項，得：\(4x + 7 = 25\)
移項，得：\(4x = 25 - 7\)\(4x = 18\)
系數化為 1，得：\(x=\frac{9}{2}\)
例 3：解下列方程：
（1）\(5 - 3(x - 1)=1\)；
（2）\(\frac{1}{2}(4x - 6)-\frac{1}{3}(6x + 3)=1\)。
解：（1）去括號，得：\(5 - 3x + 3 = 1\)
合并同類項，得：\(-3x + 8 = 1\)
移項，得：\(-3x = 1 - 8\)\(-3x = -7\)
系數化為 1，得：\(x=\frac{7}{3}\)
（2）去括號，得：\(2x - 3 - 2x - 1 = 1\)
合并同類項，得：\(-4 = 1\)
顯然，這個等式不成立，所以原方程無解。
例 4：當\(x\)為何值時，代數式\(2(x - 1) + 3\)的值等于代數式\(3x + 1\)的值？
解：根據題意，可列出方程：\(2(x - 1) + 3 = 3x + 1\)
去括號，得：\(2x - 2 + 3 = 3x + 1\)
合并同類項，得：\(2x + 1 = 3x + 1\)
移項，得：\(2x - 3x = 1 - 1\)\(-x = 0\)
系數化為 1，得：\(x = 0\)
答：當\(x = 0\)時，兩個代數式的值相等。
小練習
解下列方程：
（1）\(3x + 7 = 5x - 1\)；
（2）\(6x - 5 = 3x + 4\)；
（3）\(4(x + 2) - 3 = 17\)；
（4）\(2(3x - 1) - 3(x + 2) = 1\)；
（5）\(5 - 2(x - 3)=1\)；
（6）\(\frac{1}{3}(3x - 6)-\frac{1}{2}(2x + 4)=0\)。
當\(x\)為何值時，代數式\(3x - 2\)的值比代數式\(2x + 3\)的值大 5？
已知關于\(x\)的方程\(2(x + 1) - m = -2(m - 2)\)的解是\(x = -2\)，求\(m\)的值。
填空：
（1）方程\(3x + 5 = 2x - 4\)移項后得（ ）。
（2）方程\(2(x - 1) = 3x + 4\)去括號后得（ ）。
（3）若方程\(ax + b = 0\)（\(a 0\)）的解是\(x = 5\)，則方程\(a(x + 3) + b = 0\)（\(a 0\)）的解是（ ）。
思考討論
移項和交換律有什么區別？
移項是把方程中的某一項從一邊移到另一邊時改變符號，它的依據是等式的基本性質 1；而交換律是在同一個數的運算中，交換加數或因數的位置，符號不變。例如，在\(a + b = b + a\)中，運用的是加法交換律，符號沒有改變；而在方程\(x + 3 = 5\)移項得到\(x = 5 - 3\)中，“\(+3\)” 變成了 “\(-3\)”，是移項。
解含有括號的一元一次方程時，去括號要注意什么？
解含有括號的一元一次方程時，去括號要注意以下幾點：一是要將括號外的因數與括號內的每一項都相乘，不能漏乘；二是當括號前面是 “\(-\)” 號時，去掉括號后，括號內的各項都要改變符號；三是如果括號前面有系數，要先把系數乘進去，再去括號，或者先去括號，再處理系數，具體方法可以根據方程的特點選擇。
課堂小結
移項：把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，依據是等式的基本性質 1，移項時要注意變號。
去括號：解含有括號的方程時，要先按照去括號法則去掉括號，注意不要漏乘和符號的變化。
解含有括號的一元一次方程的步驟：去括號→移項→合并同類項→系數化為 1。
在解方程的過程中，要認真仔細，每一步都要依據相應的法則或性質，確保運算的準確性。
課后作業
解下列方程：
（1）\(5x - 2 = 7x + 8\)；
（2）\(3(x - 2) + 1 = x - (2x - 1)\)；
（3）\(4 - 3(2 - x)=5x\)；
（4）\(\frac{1}{2}(x + 1)-\frac{1}{3}(x - 1)=1\)。
當\(x\)為何值時，代數式\(2(3x - 1)\)的值與代數式\(5 - (x + 1)\)的值相等？
已知關于\(x\)的方程\(3x - 2m = 4\)的解是\(x = m\)，求\(m\)的值。
若方程\(2x + 3 = 5\)與方程\(2 - \frac{a - x}{3}=0\)的解相同，求\(a\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
復習回顧
判斷下列各式哪些是方程
7-1=6
3x-3=21
x-1
x>3
36+x=2(12+x)
a2-1=0
b2≠-1
4y+2=5y-5
√
√
√
√
√
含有未知數的等式叫作方程.
方程的兩邊都是整式，這樣的方程稱為整式方程.
探索新知
觀察下面的方程，它們有什么共同特征
3x-3=21
36+x=2(12+x)
4y+2=5y-5
共同點：
1.只含有一個未知數（元）.
2.未知數的次數都是1.
3.等號兩邊都是整式.
定義：只含有一個未知數（元），未知數的次數是1，且等式兩邊都是整式的方程叫作一元一次方程.
下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序號）.
① 1+4=2+3；② x + y=1；③ =3；④ x2-2x-1=0；
⑤ =3；⑥ 6+5y=2y-3.
練一練
③⑥
3x-3=21
仔細觀察以下解答過程：
解：3x-3+3=21+3
3x=24
x=8
3x-3=21
解：3x=21+3
3x=24
x=8
你發現了什么？
你覺得這兩種方法都對嗎？哪種形式更好？
定義：把方程中某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項.
依據是等式的性質1
移項要變號！
例1：解方程：3x+5 = 5x-7.
解：移項，得
3x-5x = -7-5.
合并同類項，得
-2x = -12.
兩邊同除以-2，得
x = 6.
移項
合并同類項
系數化為1
步驟：
一元方程的解也叫作根.
【教材P98 例1】
練一練
解下列方程：
（1）8x=4x+1； （2）2-3x = 5x+10.
解：移項，得-3x-5x = 10-2.
合并同類項，得-8x = 8.
兩邊同除以-8，得x = -1.
解：移項，得8x-4x = 1.
合并同類項，得 4x = 1.
兩邊同除以4，得 x = .
注意：①方程的各項包括它前面的符號；
②移項時，不管是把某一項從左邊移到右邊還是從右邊移到左邊，都要變號.
例2：解方程：2(x-2)-3(4x-1) = 9(1-x).
思考：這個方程要怎么解？要先做什么？
先去括號.
解：去括號，得
2x-4-12x+3 = 9-9x.
移項，得
2x-12x+9x = 9+4-3.
合并同類項，得
-x = 10.
兩邊同除以-1，得
x = -10.
步驟：
去括號
移項
合并同類項
系數化為1
解一元一次方程：目標向 x = a 的形式轉化.
【教材P99 例2】
隨堂練習
1.下面的移項對不對 如果不對，錯在哪里 應當怎樣改正
（1）由9+x=7，得x=7+9；
（2）由5x=7-4x，得5x-4x=7；
（3）由2y-1=3y+6，得2y-3y=6-1.
【教材P99 練習 第1題】
不對，9移項沒變號，改正：x=7-9.
不對，-4x移項沒變號，改正：5x+4x=7.
不對，-1移項沒變號，改正：2y-3y=6+1.
2.下面解方程的過程正確嗎 請說明理由.
解方程：3(y-3)-5(1+y) = 7(y-1).
解：去括號，得 3y-3-5+5y = 7y-1.
移項，得 3y+5y-7y = -1+3-5.
合并同類項，得 y = -3.
【教材P99 練習 第2題】
解：不正確. 理由：①3(y-3)與7(y-1)去括號時漏乘常數項；②-5(1+y)去括號時弄錯符號；③-5移項時未變號.
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
（1）解：移項，得5x+2x = 7-21.
合并同類項，得7x = -14.
兩邊同除以7，得x = -2.
【教材P100 練習 第3題】
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【教材P100 練習 第3題】
（2）解：移項，得2x+ x = 2+ .
合并同類項，得 x = .
兩邊同除以 ，得x = 1.
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【教材P100 練習 第3題】
（3）解：去括號，得0.5m+4-1.2m+4.2 = 1.9.
移項，得0.5m-1.2m = 1.9-4-4.2.
合并同類項，得-0.7m = -6.3.
兩邊同除以-0.7，得m = 9.
3.解下列方程：
（1）5x+21=7-2x； （2）2x- =- x+2；
（3）0.5(m+8)-0.6(2m-7)=1.9；（4）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【教材P100 練習 第3題】
（4）解：去括號，得6y+3 = 2+2y+3y+9.
移項，得6y-2y-3y = 2+9-3.
合并同類項，得y = 8.
4.解方程：7(1-2x)+11(1-2x)=2x-1.
你有幾種解法？
方法1：
解：去括號得7-14x+11-22x=2x-1
移項，得-14x-22x-2x=-1-7-11
合并同類項，得-38x=-19
系數化為1得x= .
方法2：
解：7(1-2x)+11(1-2x)=-(1-2x)
移項得7(1-2x)+11(1-2x)+(1-2x)=0
合并同類項得(7+11+1)(1-2x)=0
19(1-2x)=0
1-2x=0
移項，得-2x=0-1
化系數為1，得x= .
利用整體思想，叫作換元法。
1星題 基礎練
知識點1 一元一次方程的概念
1.［2025·安慶月考］下列方程中是一元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.［2024·阜陽期中］已知 是一元一次方程，則
的值為___.
1
知識點2 移項
3.［知識初練］如圖，將方程
移項，令含有未知數
的項移到等號的____邊，需要注意
的是移項要______，故“ ”處應填
寫的是_____.
左
變號
4.將方程 移項，正確的是( )
D
A. B.
C. D.
5.(8分)判斷下列方程的變形是否正確，如果不正確請改正.
(1)由得 ;
解：不正確. 改正：由得 .
(2)由得 ;
不正確. 改正：由得 .
(3)由得 ;
正確.
(4)由得 .
不正確. 改正：由得 .
知識點3 移項解一元一次方程(不含括號)
6.［知識初練］解方程 的一般步驟：
解：移項，得___________________，
合并同類項，得____________，
兩邊同除以 ，得______.
7.若的值是12，則 的值是___.
5
8.(8分)教材改編題 解方程：
(1) ；
解：移項，得,合并同類項，得 ，
兩邊同除以2，得 .
(2) .
解：移項，得 ，合并同類項，得
，兩邊同除以，得 .
知識點4 移項解一元一次方程(含括號)
9.［知識初練］解方程 的一般步驟:
解：去括號，得_____________________，
移項，得_____________________，
合并同類項，得_________，
兩邊同除以4，得______.
10.［2025年1月蕪湖期末］將方程 去括號，
得________________.
11.(8分)教材改編題 解方程：
(1) ；
解：去括號，得 ，移項、合并同類項，得
，兩邊同除以，得 .
(2) .
解：去括號，得 ，移項、合并同類項，
得，兩邊同除以，得 .
2星題 中檔練
12.易錯題[2025年1月合肥期末] 方程
是關于的一元一次方程，則 ( )
B
A.2 B. C. D.
13.［2025年1月淮北期末］王涵同學在解關于 的方程
時，誤將“”看成了“ ”，得到方程的解為
，那么原方程的解為( )
A
A. B. C. D.
14.創新題·新考法 規定一種新運算： ，若
，則 的值為( )
A
A. B.1 C.2 D.
15.若關于的方程的解比 的解小
8，則 的值為___.
1
16.(8分)解下列方程：
(1) ;
解：去括號，得 ,
移項，得 ，
合并同類項，得，系數化為1，得 .
(2) .
解：去中括號，得 ,
去小括號，得 ,移項、合并同類項，得
,兩邊同除以，得 .
17.(8分)［2025·上海模擬］解方程： .
解：去括號，得 .①
移項，得 .②
合并同類項，得 .③
兩邊同除以2，得
上述解答過程從哪一步開始出錯？指出并寫出正確的解答過程.
解：解答過程從第①步開始出錯.正確的解答過程如下：去括
號，得 ,
移項，得,合并同類項，得 ,
兩邊同除以2，得 .
3星題 提升練
18.(8分)分類討論思想先閱讀下面的解題過程，然后解答后
面的問題.
解方程： .
解：當時，原方程可化為 ，
解得 ；
當時，原方程可化為 ，
解得 .
所以原方程的解是或 .
解方程： .
解：當時，原方程可化為，解得 ；
當時，原方程可化為，解得 .
所以原方程的解是或 .
課堂小結
解一元一次方程步驟：
去括號
移項
合并同類項
系數化為1
解一元一次方程：目標向 x = a 的形式轉化.
謝謝觀看！

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