資源簡介

(共37張PPT)
3.2.2利用去分母解一元一次方程
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.2.2 利用去分母解一元一次方程
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
前面我們學(xué)習(xí)了利用移項和去括號解一元一次方程，掌握了 “去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為 1” 的解題步驟。但當(dāng)方程中含有分母時，直接按照這些步驟求解會比較繁瑣。例如方程\(\frac{x}{2}+\frac{x - 1}{3}=1\)，如果能先去掉分母，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的不含分母的方程，求解會更簡便。今天我們就來學(xué)習(xí)利用去分母解一元一次方程。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解去分母的依據(jù)，掌握去分母的方法和步驟。
能熟練運(yùn)用去分母的方法解含有分母的一元一次方程。
經(jīng)歷從含有分母的方程到不含分母的方程的轉(zhuǎn)化過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
提高解方程的準(zhǔn)確性和效率，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。
課堂導(dǎo)入
我們來看一個方程：\(\frac{x}{2}+\frac{x - 1}{3}=1\)。這個方程中含有分母 2 和 3，要直接移項或合并同類項并不容易。那么，如何去掉這些分母呢？
我們知道，等式的基本性質(zhì) 2 告訴我們：等式兩邊同時乘同一個數(shù)（除數(shù)不能為 0），所得結(jié)果仍是等式。對于上面的方程，分母 2 和 3 的最小公倍數(shù)是 6，我們可以在方程兩邊同時乘 6，這樣就能去掉分母了。
計算一下：方程兩邊同時乘 6，得到\(6 \frac{x}{2}+6 \frac{x - 1}{3}=6 1\)，化簡后為\(3x + 2(x - 1)=6\)。這樣，方程就轉(zhuǎn)化為不含分母的形式了，接下來我們就可以用之前學(xué)過的方法求解。這就是利用去分母解一元一次方程的基本思路。
知識點(diǎn)：去分母的方法和依據(jù)
依據(jù)
去分母的依據(jù)是等式的基本性質(zhì) 2，即等式兩邊同時乘同一個不為 0 的數(shù)，等式仍然成立。
方法
找出方程中所有分母的最小公倍數(shù)；
方程兩邊同時乘這個最小公倍數(shù)，使方程中的分母被去掉；
去分母后，注意對分子是多項式的項添加括號，避免漏乘或符號錯誤。
例如，對于方程\(\frac{x - 1}{2}+\frac{2x + 1}{3}=1\)，分母 2 和 3 的最小公倍數(shù)是 6，方程兩邊同時乘 6，得到\(3(x - 1)+2(2x + 1)=6\)。
注意事項
去分母時，方程兩邊的每一項都要乘最小公倍數(shù)，不能漏乘不含分母的項。例如，方程\(\frac{x}{3}+1=\frac{x}{2}\)，兩邊同時乘 6，得到\(2x + 6 = 3x\)，這里的 “1” 也要乘 6，不能漏乘。
當(dāng)分子是多項式時，去分母后要給分子加上括號，以避免符號錯誤。例如，方程\(\frac{x - 2}{3}-\frac{x + 1}{2}=1\)，兩邊同時乘 6，得到\(2(x - 2)-3(x + 1)=6\)，而不是\(2x - 2 - 3x + 1 = 6\)。
解含有分母的一元一次方程的步驟
去分母：方程兩邊同時乘所有分母的最小公倍數(shù)，去掉分母。
去括號：按照去括號法則去掉方程中的括號。
移項：把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，常數(shù)項移到方程的另一邊（移項要變號）。
合并同類項：把方程化成\(ax = b\)（\(a 0\)）的形式。
系數(shù)化為 1：方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{b}{a}\)。
例題解析
例 1：解下列方程：
（1）\(\frac{x}{2}+\frac{x - 1}{3}=1\)；
（2）\(\frac{2x - 1}{3}-\frac{x + 1}{4}=1\)。
解：（1）去分母，方程兩邊同時乘 6（2 和 3 的最小公倍數(shù)），得：\(3x + 2(x - 1)=6\)
去括號，得：\(3x + 2x - 2 = 6\)
合并同類項，得：\(5x - 2 = 6\)
移項，得：\(5x = 6 + 2\)\(5x = 8\)
系數(shù)化為 1，得：\(x=\frac{8}{5}\)
（2）去分母，方程兩邊同時乘 12（3 和 4 的最小公倍數(shù)），得：\(4(2x - 1)-3(x + 1)=12\)
去括號，得：\(8x - 4 - 3x - 3 = 12\)
合并同類項，得：\(5x - 7 = 12\)
移項，得：\(5x = 12 + 7\)\(5x = 19\)
系數(shù)化為 1，得：\(x=\frac{19}{5}\)
例 2：解下列方程：
（1）\(\frac{1 - x}{3}=1-\frac{x + 2}{4}\)；
（2）\(\frac{x + 1}{2}-1=\frac{2 - 3x}{3}\)。
解：（1）去分母，方程兩邊同時乘 12（3 和 4 的最小公倍數(shù)），得：\(4(1 - x)=12 - 3(x + 2)\)
去括號，得：\(4 - 4x = 12 - 3x - 6\)
合并同類項，得：\(4 - 4x = 6 - 3x\)
移項，得：\(-4x + 3x = 6 - 4\)\(-x = 2\)
系數(shù)化為 1，得：\(x=-2\)
（2）去分母，方程兩邊同時乘 6（2 和 3 的最小公倍數(shù)），得：\(3(x + 1)-6 = 2(2 - 3x)\)
去括號，得：\(3x + 3 - 6 = 4 - 6x\)
合并同類項，得：\(3x - 3 = 4 - 6x\)
移項，得：\(3x + 6x = 4 + 3\)\(9x = 7\)
系數(shù)化為 1，得：\(x=\frac{7}{9}\)
例 3：解下列方程：
（1）\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}-\frac{x + 1}{0.5}=3\)；
（2）\(\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}(x - 1)\right)=\frac{2}{3}(x - 1)\)。
解：（1）先將小數(shù)分母化為整數(shù)分母，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02}=\frac{10x - 20}{2}=5x - 10\)\(\frac{x + 1}{0.5}=\frac{10x + 10}{5}=2x + 2\)
原方程可化為：\(5x - 10-(2x + 2)=3\)
去括號，得：\(5x - 10 - 2x - 2 = 3\)
合并同類項，得：\(3x - 12 = 3\)
移項，得：\(3x = 3 + 12\)\(3x = 15\)
系數(shù)化為 1，得：\(x = 5\)
（2）先去小括號，得：\(\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}(x - 1)\)
合并同類項，得：\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}(x - 1)\)
去括號，得：\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}=\frac{2}{3}x - \frac{2}{3}\)
去分母，方程兩邊同時乘 12（4 和 3 的最小公倍數(shù)），得：\(3x + 3 = 8x - 8\)
移項，得：\(3x - 8x = -8 - 3\)\(-5x = -11\)
系數(shù)化為 1，得：\(x=\frac{11}{5}\)
例 4：當(dāng)\(x\)為何值時，代數(shù)式\(\frac{x - 1}{3}\)的值比代數(shù)式\(\frac{x + 1}{2}\)的值小 1？
解：根據(jù)題意，可列出方程：\(\frac{x - 1}{3}=\frac{x + 1}{2}-1\)
去分母，方程兩邊同時乘 6（3 和 2 的最小公倍數(shù)），得：\(2(x - 1)=3(x + 1)-6\)
去括號，得：\(2x - 2 = 3x + 3 - 6\)
合并同類項，得：\(2x - 2 = 3x - 3\)
移項，得：\(2x - 3x = -3 + 2\)\(-x = -1\)
系數(shù)化為 1，得：\(x = 1\)
答：當(dāng)\(x = 1\)時，代數(shù)式\(\frac{x - 1}{3}\)的值比代數(shù)式\(\frac{x + 1}{2}\)的值小 1。
小練習(xí)
解下列方程：
（1）\(\frac{x}{4}+\frac{x - 2}{3}=1\)；
（2）\(\frac{2x - 1}{5}-\frac{x + 1}{2}=1\)；
（3）\(\frac{1 - x}{2}=1-\frac{x - 1}{3}\)；
（4）\(\frac{x + 2}{4}-\frac{2x - 3}{6}=1\)；
（5）\(\frac{0.2x - 0.1}{0.3}-\frac{3x - 2}{6}=1\)；
（6）\(\frac{1}{3}\left(x - \frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\left(x - \frac{1}{6}\right)\)。
當(dāng)\(x\)為何值時，代數(shù)式\(\frac{2x - 1}{3}\)與代數(shù)式\(\frac{x + 2}{4}-1\)的值相等？
已知關(guān)于\(x\)的方程\(\frac{x - m}{2}=x+\frac{m}{3}\)的解與方程\(\frac{x - 1}{2}=3x - 2\)的解互為倒數(shù)，求\(m\)的值。
填空：
（1）方程\(\frac{x}{2}-\frac{x - 1}{3}=1\)去分母后得（ ）。
（2）方程\(\frac{2x + 1}{4}-1=\frac{x - 1}{3}\)去分母后得（ ）。
（3）若方程\(\frac{x + a}{2}-\frac{2x - a}{3}=1\)的解是\(x = 1\)，則\(a = \)。
思考討論
去分母時，為什么要乘所有分母的最小公倍數(shù)？
去分母的目的是去掉方程中的分母，使方程轉(zhuǎn)化為我們熟悉的不含分母的形式。乘所有分母的最小公倍數(shù)可以確保去掉分母的同時，使方程中的系數(shù)盡可能小，從而簡化計算。如果乘的不是最小公倍數(shù)，雖然也能去掉分母，但可能會使方程中的系數(shù)變大，增加計算的難度。例如，方程\(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=1\)，分母 2 和 3 的最小公倍數(shù)是 6，乘 6 后得到\(3x + 2x = 6\)；如果乘 12，會得到\(6x + 4x = 12\)，雖然也能求解，但系數(shù)更大。
當(dāng)方程中含有小數(shù)分母時，如何處理？
當(dāng)方程中含有小數(shù)分母時，可以先根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將小數(shù)分母化為整數(shù)分母，即分子和分母同時乘 10、100 等，使分母變成整數(shù)。例如，方程\(\frac{0.1x + 0.2}{0.3}=1\)，可以將分子和分母同時乘 10，得到\(\frac{x + 2}{3}=1\)，再進(jìn)行去分母等操作。需要注意的是，這一步是利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，而不是等式的基本性質(zhì)，只需要對含有小數(shù)的項進(jìn)行處理，其他項不變。
課堂小結(jié)
去分母的依據(jù)：等式的基本性質(zhì) 2，即方程兩邊同時乘所有分母的最小公倍數(shù)，去掉分母。
去分母的方法：找出所有分母的最小公倍數(shù)，方程兩邊同時乘這個最小公倍數(shù)，注意不要漏乘不含分母的項，分子是多項式的要加括號。
解含有分母的一元一次方程的步驟：去分母→去括號→移項→合并同類項→系數(shù)化為 1。
在去分母的過程中，要仔細(xì)計算，確保每一步都正確，避免漏乘、符號錯誤等問題。
課后作業(yè)
解下列方程：
（1）\(\frac{x - 1}{3}+\frac{x + 2}{4}=1\)；
（2）\(\frac{3x - 1}{4}-\frac{x + 2}{3}=1\)；
（3）\(\frac{1 - 2x}{3}=3-\frac{x + 2}{4}\)；
（4）\(\frac{x + 1}{5}-\frac{2x - 1}{4}=1\)；
（5）\(\frac{0.3x - 0.1}{0.2}-\frac{2x + 1}{5}=0\)；
（6）\(\frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{3}\right)=\frac{3}{4}\left(x - \frac{1}{6}\right)\)。
當(dāng)\(x\)為何值時，代數(shù)式\(\frac{x + 3}{2}\)與代數(shù)式\(\frac{2x - 1}{3}+1\)的值相等？
已知關(guān)于\(x\)的方程\(\frac{2x - k}{3}-\frac{x - 3k}{2}=1\)的解是\(x = -1\)，求\(k\)的值。
若方程\(\frac{x - 1}{2}=3\)與方程\(\frac{x + a}{3}=x - 1\)的解相同，求\(a\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
解：設(shè)丟番圖去世時的年齡為x歲，得出方程
你能解出這道方程嗎
把你的解法與其他同學(xué)交流一下，看誰的解法好.
像上面這樣的方程中有些系數(shù)是分?jǐn)?shù)，如果能化去分母，把系數(shù)化為整數(shù)，則可以使解方程中的計算更方便些.
探索新知
例3：解方程： .
【教材P100 例3】
思考：1.若使方程各項的系數(shù)變成整數(shù)，方程兩邊應(yīng)該同乘以什么數(shù)？
2.去分母時要注意什么問題？
解：去分母，得12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12.
去括號，得12x-20x-2=6x+3-12.
去分母（方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)）
移項，得12x-20x-6x=3-12+2.
合并同類項，得-14x=-7.
兩邊同除以-14，得x= .
去括號
移項
合并同類項
系數(shù)化為1
小心漏乘，記得添括號！
練一練
下列方程解的過程是否正確？若不正確，請改正.
解方程：
解：去分母，得4x﹣1﹣3x+6=1.
移項，合并同類項，得x=4.
約去分母3后，(2x-1)×2在去括號時出錯
去括號符號錯誤
去分母時方程右邊的“1” 漏乘最小公倍數(shù)6
解：去分母，得4x-2-3x-6=6.
移項，合并同類項，得x=14.
1.勿漏乘：去分母時，每一項都要乘所有分母的最小公倍數(shù)，不帶分母的項，不能漏乘.
2.加括號：分?jǐn)?shù)線有括號的作用，去分母時，分子是多項式，要加括號.
注意事項：
一找二乘三不漏，分子多項加括號!
解：去分母，得
14x+7x+12x+420+42x+336=84x.
移項，合并同類項，得
9x=756.
兩邊同除以9，得x=84.
解一元一次方程的一般步驟有：
步驟 根據(jù) 注意事項
去分母 等式性質(zhì)2 ①不漏乘不含分母的項；
②注意給分子添括號.
去括號 分配律、去括號法則 ①不漏乘括號里的項；
②括號前是“-”號，要變號.
移項 移項法則 移項要變號
合并同類項 合并同類項法則 系數(shù)相加，不漏項
系數(shù)化1 等式性質(zhì)2 兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)或乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù).
隨堂練習(xí)
1.解下列方程：
【教材101 練習(xí) 第1題】
（1） ；
解：去分母，得3(2x+1)-5(x+1)=0.
去括號，得6x+3-5x-5=0.
移項，得6x-5x=-3+5.
合并同類項，得x=2.
（2） ；
解：去分母，得10y-5(y-1)=-2(y+2).
去括號，得10y-5y+5=-2y-4.
移項，得10y-5y+2y=-4-5.
合并同類項，得7y=-9.
兩邊同除以7，得y= .
（3） ；
解：去括號，得 x-1-x-5=0.
去分母，得x-4-4x-20=0.
移項，得x-4x=4+20.
合并同類項，得-3x=24.
兩邊同除以-3，得x=-8.
（4） .
解：方程整理，得 .
去分母，得2(32-20x)=3(13-30x).
去括號，得64-40x=39-90x.
移項，得-40x+90x=39-64.
合并同類項，得50x=-25.
兩邊同除以50，得x= .
2. x等于什么數(shù)時，代數(shù)式 與 的值相等？
解：根據(jù)題意，得 .
去分母，得7(x+3)-21=3(2x-1).
去括號，得7x+21-21=6x-3.
移項，得7x-6x=-3-21+21.
合并同類項，得x=-3.
所以當(dāng)x=-3時，代數(shù)式 與 的值相等.
3.已知關(guān)于x的方程 與方程3(x-2)=4x-5的解相同，求a的值.
解：先解方程3(x-2)=4x-5.去括號，得3x-6=4x-5.
移項，得3x-4x=-5+6. 合并同類項，得-x=1.
系數(shù)化為1，得x=-1.
把x=-1代入方程 中，得 .
去分母，得2(-2-a)-3(-1-a)=-12. 去括號，得-4-2a+3+3a=-12. 移項，得-2a+3a=-12+4-3. 合并同類項，得a=-11.
1星題 基礎(chǔ)練
知識點(diǎn)1 直接去分母解一元一次方程
1.［知識初練］
(1)解方程 ，兩邊同時乘以3，去掉分母后得________
__，解得 ___;
5
(2)解方程 ，去分母時兩邊同時乘以___，得_______
_____________,
這一步變形的依據(jù)是_________________.
6
等式的基本性質(zhì)2
2.［2025·滁州月考］方程 去分母時，需在方程兩
邊同乘( )
D
A.12 B.24 C.48 D.72
3.解方程 ，以下去分母正確的是( )
C
A. B.
C. D.
4.教材改編題 以下是解方程 的過程，則開始出
現(xiàn)錯誤的一步是( )
去分母，得 .①
去括號，得 .②
移項，得 .③
合并同類項，得 .④
A
A.① B.② C.③ D.④
5.若與互為相反數(shù)，則 等于( )
D
A. B.1 C. D.
6.(8分)教材改編題解方程：
(1) ；
解：去分母，得 ,去括號，得
，移項、合并同類項，得 ，兩
邊同除以5，得 .
(2) .
去分母，得 ，去括號，得
，移項、合并同類項，得
，兩邊同除以，得 .
知識點(diǎn)2 解分子或分母含小數(shù)的一元一次方程
7.［2025年1月南京期末］把方程 的分母化為整
數(shù)可得方程( )
B
A. B.
C. D.
8.(4分)解方程： .
解：原方程可化為 ，
去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ,
兩邊同除以，得 .
2星題 中檔練
9.［2025年1月合肥期末］在解關(guān)于的方程 時，
小冉在去分母的過程中，右邊的“ ”漏乘了公分母6，因而
求得方程的解為 ，則方程正確的解是( )
B
A. B.
C. D.
10.［2025年1月蕪湖期末］若不論取什么數(shù)，關(guān)于 的方程
,是常數(shù)的解總是，則 的值
是_ ___.
11.(8分)解方程：
(1) ；
解：去中括號，得 ,去小括號，得
,移項、合并同類項，得 ,兩邊同除
以，得 .
(2) .
解：原方程可化為 ，去分母，得
，移項、合并同類項，得 ,
兩邊同除以，得 .
12.(8分)已知關(guān)于的一元一次方程，其中 是
正整數(shù).
(1)當(dāng) 時，求方程的解；
解：當(dāng)時，原方程為,解得 .
(2)若方程有正整數(shù)解，求 的值.
由方程，得.因?yàn)?是正整數(shù)，方程有
正整數(shù)解，所以易得 .
3星題 提升練
13.(8分) 中考趨勢·閱讀理解 [2025· 北京模擬] 某初中數(shù)學(xué)
小組學(xué)完“一元一次方程”后，對一種新的求解方法進(jìn)行了交
流，請你仔細(xì)閱讀.
小明：對于 ，我
采取的是去括號移項的方法，計算比較繁瑣.
小亮：我有一種方法——整體求解法.可先將 、
分別看成整體進(jìn)行移項、合并同類項，得方程
，然后再繼續(xù)求解.
小明：你的這種方法比我的要簡便一些，我嘗試一下.
(1)請你繼續(xù)進(jìn)行小亮的求解；
解：，去括號，得 ，移
項，得，合并同類項，得 ，兩邊
同除以，得 .
(2)請利用小亮的方法解下面的方程：
.
將， 分別看成整體進(jìn)行移項、合并同類項，
得 ，
去分母，得 ，
去括號，得 ，
移項、合并同類項，得 ，
兩邊同除以33，得 .
課堂小結(jié)
解一元一次方程的一般步驟
去括號
移項
合并同類項
系數(shù)化為1
去分母
怎么去分母：方程兩邊都各乘分母的最小公倍數(shù)
去分母的依據(jù)：等式的性質(zhì)2
去分母的注意點(diǎn)：
1.各項都要乘以最小公倍數(shù)，不能漏乘
2.分子是多項式時，其作為一個整體應(yīng)加括號
謝謝觀看！

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