資源簡介

(共38張PPT)
3.3.1幾何問題與行程問題
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.3.1 幾何問題與行程問題
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上一部分我們學習了利用一元一次方程解決和、差、倍、分問題以及行程問題中的相遇問題。今天我們將重點學習幾何問題和行程問題中的追及問題，這些問題在實際生活中也經常遇到，解決它們同樣需要我們找出等量關系，列出方程求解。
學習目標
能運用一元一次方程解決與幾何圖形的周長、面積、體積相關的問題，掌握幾何問題中常見的等量關系。
理解行程問題中追及問題的特點，能找出追及問題中的等量關系，列出方程并求解。
進一步體會方程思想在解決實際問題中的應用，提高分析和解決問題的能力。
知識點：幾何問題
幾何問題主要涉及幾何圖形的周長、面積、體積等計算，解決這類問題需要我們熟悉各種幾何圖形的相關公式，然后根據題目中的條件找出等量關系，列出方程。
常見幾何圖形的公式
長方形：
周長公式：\(C = 2 (é + )\)
面積公式：\(S = é \)
正方形：
周長公式：\(C = 4 è é \)
面積公式：\(S = è é è é \)
三角形：
面積公式：\(S=\frac{1}{2} é \)
圓：
周長公式：\(C = 2 r\)（\(r\)為半徑）
面積公式：\(S = r \)
長方體：
體積公式：\(V = é é \)
正方體：
體積公式：\(V = ±é ±é ±é \)
例題解析
例 1：一個長方形的周長是 40 厘米，長比寬多 4 厘米，求這個長方形的長和寬。
解：審：已知長方形的周長是 40 厘米，長比寬多 4 厘米，求長和寬。
設：設長方形的寬為\(x\)厘米，則長為\((x + 4)\)厘米。
找：等量關系是 “長方形的周長 = 2×(長 + 寬)”。
列：根據等量關系，列出方程：\(2 (x + x + 4)=40\)。
解：解這個方程：\(
\begin{align*}
2 (2x + 4)&=40\\
4x + 8&=40\\
4x&=32\\
x&=8
\end{align*}
\)
則長方形的長為：\(x + 4 = 8 + 4 = 12\)（厘米）。
驗：長方形的長是 12 厘米，寬是 8 厘米，周長為\(2 (12 + 8)=40\)厘米，且長比寬多 4 厘米，符合題意。
答：這個長方形的長是 12 厘米，寬是 8 厘米。
例 2：一個三角形的面積是 24 平方厘米，底是 8 厘米，求這個三角形的高。
解：審：已知三角形的面積是 24 平方厘米，底是 8 厘米，求高。
設：設這個三角形的高為\(h\)厘米。
找：等量關系是 “三角形的面積 =\(\frac{1}{2} é \)”。
列：根據等量關系，列出方程：\(\frac{1}{2} 8 h = 24\)。
解：解這個方程：\(
\begin{align*}
4h&=24\\
h&=6
\end{align*}
\)
驗：三角形的底是 8 厘米，高是 6 厘米，面積為\(\frac{1}{2} 8 6 = 24\)平方厘米，符合題意。
答：這個三角形的高是 6 厘米。
例 3：一個長方體的體積是 120 立方厘米，長是 6 厘米，寬是 5 厘米，求這個長方體的高。
解：審：已知長方體的體積是 120 立方厘米，長是 6 厘米，寬是 5 厘米，求高。
設：設這個長方體的高為\(h\)厘米。
找：等量關系是 “長方體的體積 = 長 × 寬 × 高”。
列：根據等量關系，列出方程：\(6 5 h = 120\)。
解：解這個方程：\(
\begin{align*}
30h&=120\\
h&=4
\end{align*}
\)
驗：長方體的長是 6 厘米，寬是 5 厘米，高是 4 厘米，體積為\(6 5 4 = 120\)立方厘米，符合題意。
答：這個長方體的高是 4 厘米。
例 4：把一個長為 10 厘米，寬為 8 厘米的長方形鐵片，從四個角各剪去一個邊長為\(x\)厘米的小正方形，再折成一個無蓋的長方體盒子，已知這個盒子的容積是 48 立方厘米，求\(x\)的值。（厚度忽略不計）
解：審：長方形鐵片長 10 厘米，寬 8 厘米，從四角剪去邊長為\(x\)厘米的小正方形，折成無蓋長方體盒子，容積 48 立方厘米，求\(x\)。
分析：折成的長方體盒子的長為\((10 - 2x)\)厘米，寬為\((8 - 2x)\)厘米，高為\(x\)厘米，容積 = 長 × 寬 × 高。
設：設小正方形的邊長為\(x\)厘米。
找：等量關系是 “長方體盒子的容積 = 48 立方厘米”。
列：根據等量關系，列出方程：\((10 - 2x)(8 - 2x)x = 48\)。
解：展開方程：\(
\begin{align*}
(80 - 20x - 16x + 4x )x&=48\\
(80 - 36x + 4x )x&=48\\
4x - 36x + 80x - 48&=0\\
x - 9x + 20x - 12&=0
\end{align*}
\)
嘗試因式分解或代入數值驗證，可得\(x = 1\)是方程的解（\(x = 3\)時，寬為\(8 - 2 3 = 2\)，長為\(10 - 2 3 = 4\)，容積為\(4 2 3 = 24 48\)；\(x = 2\)時，長為\(10 - 4 = 6\)，寬為\(8 - 4 = 4\)，容積為\(6 4 2 = 48\)，所以\(x = 2\)也是解，需結合實際，\(x\)不能過大，否則長和寬為負數，所以\(x = 1\)和\(x = 2\)均有可能，經檢驗都符合題意）。
驗：當\(x = 1\)時，長為\(10 - 2 1 = 8\)厘米，寬為\(8 - 2 1 = 6\)厘米，高為 1 厘米，容積為\(8 6 1 = 48\)立方厘米；當\(x = 2\)時，長為 6 厘米，寬為 4 厘米，高為 2 厘米，容積為\(6 4 2 = 48\)立方厘米，均符合題意。
答：\(x\)的值為 1 厘米或 2 厘米。
知識點：行程問題中的追及問題
追及問題是行程問題中的另一種重要類型，指兩個物體同向運動，速度快的物體從后面追上速度慢的物體的問題。
常見等量關系
路程 = 速度 × 時間；
追及路程 = 速度快的物體所走的路程 - 速度慢的物體所走的路程；
追及時間 = 追及路程 ÷（快速度 - 慢速度）。
例題解析
例 5：甲、乙兩人在同一地點，甲騎自行車，乙步行。如果乙先出發 10 分鐘，甲騎自行車去追趕，甲每分鐘行 250 米，乙每分鐘走 80 米，甲出發后多少分鐘能追上乙？
解：審：甲、乙同一地點，乙先出發 10 分鐘，甲騎車追，甲速 250 米 / 分鐘，乙速 80 米 / 分鐘，求甲出發后追上乙的時間。
分析：乙先出發 10 分鐘，所走路程為\(80 10 = 800\)米，這就是追及路程。
設：設甲出發后\(x\)分鐘能追上乙。
找：等量關系是 “甲走的路程 = 乙先走路程 + 乙后走路程”。
列：根據等量關系，列出方程：\(250x = 80 10 + 80x\)。
解：解這個方程：\(
\begin{align*}
250x - 80x&=800\\
170x&=800\\
x&=\frac{80}{17}\approx4.71
\end{align*}
\)
驗：甲出發\(\frac{80}{17}\)分鐘走的路程為\(250 \frac{80}{17}=\frac{20000}{17}\)米，乙總共走的路程為\(80 (10 + \frac{80}{17})=80 \frac{250}{17}=\frac{20000}{17}\)米，兩者相等，符合題意。
答：甲出發后\(\frac{80}{17}\)分鐘能追上乙。
例 6：A、B 兩地相距 200 千米，甲車從 A 地出發，每小時行駛 60 千米，乙車從 B 地出發，每小時行駛 40 千米，兩車同時同向行駛，甲車在乙車后面，經過多少小時甲車追上乙車？
解：審：A、B 兩地相距 200 千米，甲從 A 出發，速 60 千米 / 小時，乙從 B 出發，速 40 千米 / 小時，同向行駛，甲在乙后，求甲追上乙的時間。
分析：追及路程就是 A、B 兩地的距離 200 千米。
設：設經過\(x\)小時甲車追上乙車。
找：等量關系是 “甲車行駛的路程 = 乙車行駛的路程 + 200 千米”。
列：根據等量關系，列出方程：\(60x = 40x + 200\)。
解：解這個方程：\(
\begin{align*}
60x - 40x&=200\\
20x&=200\\
x&=10
\end{align*}
\)
驗：10 小時后，甲車行駛\(60 10 = 600\)千米，乙車行駛\(40 10 = 400\)千米，\(600 = 400 + 200\)，符合題意。
答：經過 10 小時甲車追上乙車。
例 7：甲、乙兩人在環形跑道上跑步，跑道一圈長 400 米，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米。如果兩人同時同地同向出發，經過多少秒甲首次追上乙？
解：審：環形跑道長 400 米，甲速 6 米 / 秒，乙速 4 米 / 秒，同時同地同向出發，求甲首次追上乙的時間。
分析：甲首次追上乙時，甲比乙多跑了一圈，即 400 米，這是追及路程。
設：設經過\(x\)秒甲首次追上乙。
找：等量關系是 “甲跑的路程 - 乙跑的路程 = 400 米”。
列：根據等量關系，列出方程：\(6x - 4x = 400\)。
解：解這個方程：\(
\begin{align*}
2x&=400\\
x&=200
\end{align*}
\)
驗：200 秒后，甲跑了\(6 200 = 1200\)米，乙跑了\(4 200 = 800\)米，\(1200 - 800 = 400\)米，符合題意。
答：經過 200 秒甲首次追上乙。
小練習
一個長方形的周長是 30 厘米，長是寬的 2 倍，求這個長方形的長和寬。
一個圓的面積是\(25 \)平方厘米，求這個圓的半徑。
一個正方體的表面積是 54 平方厘米，求這個正方體的棱長。（正方體表面積公式：\(S = 6 ±é \)）
甲、乙兩人相距 10 千米，甲在前，乙在后，甲每小時走 5 千米，乙每小時走 7 千米，兩人同時同向出發，乙經過多少小時追上甲？
一列火車長 200 米，以每秒 20 米的速度通過一座長 1000 米的大橋，從車頭上橋到車尾離橋一共需要多少秒？
思考討論
解決幾何問題時，如何準確找到等量關系？
解決幾何問題，首先要明確涉及的幾何圖形類型，回憶其周長、面積、體積等公式。然后根據題目中給出的條件，如 “周長相等”“面積增加了多少”“體積是多少” 等，結合圖形的變化情況，確定等量關系。例如，在折疊問題中，折疊前后圖形的某些邊的長度或面積是不變的，這就是重要的等量關系。
追及問題和相遇問題在等量關系上有什么不同？
相遇問題中，等量關系通常是 “總路程 = 甲走的路程 + 乙走的路程”；而追及問題中，等量關系通常是 “快者走的路程 = 慢者走的路程 + 追及路程”（追及路程是兩者開始時的距離）。兩者的運動方向不同，相遇是相向而行，追及是同向而行，這導致了等量關系的差異。
課堂小結
幾何問題：關鍵是熟悉各種幾何圖形的周長、面積、體積公式，根據題目條件找出與這些公式相關的等量關系，列出方程求解。常見的有長方形、正方形、三角形、圓等平面圖形的問題，以及長方體、正方體等立體圖形的問題。
追及問題：重點是確定追及路程，即開始時兩者之間的距離，等量關系通常是快者行駛的路程等于慢者行駛的路程加上追及路程。要注意區分同向行駛的情況，準確計算兩者的路程差。
無論是幾何問題還是追及問題，都需要我們認真審題，分析數量關系，找出等量關系，這是列方程解決問題的核心。
課后作業
一個長方形的長比寬多 3 厘米，面積是 40 平方厘米，求這個長方形的長和寬。
一個梯形的上底是 5 厘米，下底是 9 厘米，面積是 42 平方厘米，求這個梯形的高。（梯形面積公式：\(S=\frac{1}{2} ( + ) é \)）
甲、乙兩車從同一地點出發，甲車先出發 2 小時，甲車每小時行駛 40 千米，乙車每小時行駛 60 千米，乙車出發后經過多少小時追上甲車？
一座大橋長 1500 米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用了 150 秒，整列火車完全在橋上的時間為 100 秒，求火車的長度和速度。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
復習回顧
常見幾何體的體積、面積公式：
（1）長方體的體積=長×寬×高；
（2）正方體的體積=棱長×棱長×棱長；
（3）圓柱的體積=底面積×高；
（4）長方形的面積=長×寬；
（5）正方形的面積=邊長×邊長；
（6）梯形的面積= (上底+下底)×高.
探索新知
例1：如圖，李明同學從一張正方形紙片上剪去一張寬為4cm的長方形紙條，再從剩下的長方形紙片上剪去一張寬5cm的長方形紙條．如果兩次剪下的長方形紙條面積正好相等，那么原正方形的邊長為多少
4
5
（單位：cm）
【教材P103 例1】
思考：1.本題中有什么等量關系？
4
5
（單位：cm）
寬為4cm的長方形面積=寬為5cm的長方形面積
2.設正方形的邊長是 x cm，完成下表：
寬 長 面積
圖形1 4 x 4x
圖形2 5 x-4 5(x-4)
4x
5(x-4)
4
5
（單位：cm）
解：設正方形的邊長是 x cm，根據題意，得
4x = 5(x-4).
解方程，得x=20.
答：原正方形的邊長為20cm.
4x
5(x-4)
寬為4cm的長方形面積=寬為5cm的長方形面積
形積變化中的等量關系
①形狀發生了變化，體積/面積不變. 其相等關系是：
變化前圖形的體積/面積=變化后圖形的體積/面積
②形狀、面積發生了變化，周長不變. 其相等關系是：
變化前圖形的周長=變化后圖形的周長
③形狀、體積不同，面積相同．根據題意找出面積之間的關系，即相等關系．
如圖，長方形紙片的長是15cm，現從 長、寬上各剪去一個寬為3cm的長條，剩下的面積是原長方形面積的 .求原長方形紙片的寬.
練一練
解：設原長方形紙片的寬為x cm，則剩下的長方形的長為15-3=12(cm)，寬為(x-3)cm.
根據題意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12.
答：原長方形紙片的寬為12cm.
例2：某縣舉辦越野賽. 選手從起點出發，先沿著山區公路跑步到達補給站，再登山到達比賽終點. 張老師參加了這個比賽，他的相關數據如下表：
總距離/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知張老師在補給站休息了10min，用時1.5h完成了比賽.求補給站與起點的距離.
8.2km
起點
補給站
終點
跑步距離+登山距離=總距離
【教材P103 例2】
8.2km
起點
補給站
終點
x km
8.2-x km
跑步時間+登山時間=總用時-休息時間
解：設補給站離起點x km. 根據題意，得
注意單位換算!
解方程，得x=6.
答：補給站與起點的距離為6km.
交流：運用一元一次方程解決實際問題的基本過程是怎樣的？
實際問題
找等量關系，列方程
數學問題
（一元一次方程）
解方程
數學問題的解
（一元一次方程的解）
檢驗
實際問題的答案
“讀萬卷書，行萬里路”，經歷是最好的學習，研學是最美的相遇. 11月中旬七年級的學生開啟了以“溯源千年譙城·浸潤萬縷藥香”為主題的亳州研學之旅. 已知①號車和②號車同時從合肥出發沿同一路線開往亳州，①號車的行駛速度是 80km/h，②號車的行駛速度是72km/h，①號車比②號車早到
h，求合肥與亳州相距多少千米
練一練
解：設合肥與亳州相距x km.
根據題意，得 ，解得x=320.
答：合肥與亳州相距320km.
歸納總結
列方程解應用題的一般步驟如下：
⑴弄清題意和題中的數量關系，用字母（如x，y）表示問題涉及的未知數；
⑵分析題意，找出等量關系（可借助示意圖、表格等）；
⑶根據等量關系，列出需要的代數式，并列出方程；
⑷解這個方程，求出未知數的值；
⑸檢查所得的值是否正確和符合實際情形，并寫出答案（包括單位）.
隨堂練習
1.列方程，解下列各題：
（1）一種小麥磨成面粉，出粉率為80%（即20%成為麩子）．為了得到4500 kg面粉，至少需要多少小麥
【教材P104 練習】
解：設至少需要x kg小麥.
根據題意，得x·80％ = 4500.
解方程，得x=5625.
答：至少需要 5625 kg小麥.
（2）甲廠有鋼材432t，乙廠有鋼材96t．如果每天從甲廠運出20t，乙廠運出4t，幾天后甲廠剩余的鋼材是乙廠的2倍
解：設x天后，甲廠剩余的鋼材是乙廠的2倍.
根據題意，得432-20x=2(96-4x).
解方程，得x=20.
答：20天后，甲廠剩余的鋼材是乙廠的2倍.
（3）甲、乙兩地相距180km．一人騎自行車從甲地出發，每小時騎行15km．另一人騎摩托車從乙地同時出發．兩人相向而行．已知摩托車車速是自行車車速的3倍．多少時間后兩人相遇？
解：設x h后兩人相遇.
根據題意，得x(15+15×3)=180.
解方程，得x=3.
答：3h后兩人相遇.
2.有一根合金圓柱，底面半徑為1 dm，高為64 cm，若將其鍛造成長方體工件，使長方體工件的長為20π cm，高為32 cm，則長方體工件的寬是多少
解：設長方體工件的寬是x cm.
1 dm=10 cm，
根據題意，得π×102×64=20π×32x，
解得x=10.
答：長方體工件的寬是10cm.
3. 甲、乙兩人從相距200km的兩地相向而行，甲乘汽車每小時行60km，乙騎自行車每小時行20km. 如果乙先行2h，那么甲出發多長時間后兩人相遇
解：設甲出發x h后兩人相遇.
根據題意，得60x+20(x+2)=200，解得x=2.
答：甲出發2h后兩人相遇.
1.為增加展示作品的質感，需要準備一些相框進行展示，現
將一根木條進行切割制作相框，原計劃制作正方形的相框，
現改為制作長方形的相框，若新的長方形相框的寬比原正方
形相框的邊長少 ，新的長方形相框的長等于原正方形相
框的邊長，且新的長方形相框需要用 長的木條，若設
原正方形相框的邊長為 ，則可列方程為______________
_____.
2.為增加展示作品的美感，學校打算用彩紙包裝相框.如圖，
將一張正方形彩紙剪下一個寬為 的長條后，再從剩下的
長方形彩紙上剪去一個寬為 的長條.如果兩次剪下的長
條面積相等，那么每一個長條的面積為_____ .
150
3.(8分)為增加展示現場的氛圍感，學校決定購買彩色的地墊，
進行地面裝飾.如圖，其中一部分圖案為用8個相同的小長方
形拼成的大長方形，求1個小長方形的面積.
解：設1個小長方形的寬為 ，根
據題圖可知1個小長方形的長為
，則 ，解得
，則
答：1個小長方形的面積為 .
知識點2 行程問題
4.［2025年1月滁州期末］一艘輪船在， 兩個碼頭之間航
行，順水航行需,逆水航行需.已知水流速度為 ,
求輪船在靜水中的航行速度.若設輪船在靜水中的航行速度為
,則可列一元一次方程為( )
B
A. B.
C. D.
5.［2025年1月馬鞍山期末］已知學校距離敬老院 .小
明和小剛兩人從學校出發去敬老院送水果，小明帶著水果先
走了，然后小剛才出發.若小明每分鐘行 ，小剛
每分鐘行，則小剛用___ 可以追上小明.
5
6.(8分)［2024·合肥模擬］小剛和小強從， 兩地同時出發，
小剛騎自行車，小強步行，沿同一條路線相向勻速而行，出
發后兩人相遇，相遇時小剛比小強多行進 ，相遇
后小剛到達 地.兩人的行進速度分別是多少？
解：設小剛的行進速度為 ，
則相遇時小剛走了,小強走了 ，
由題意，得，解得 ，
則小強的行進速度為
答：小剛的行進速度是 ，小強的行進速度是
.
2星題 中檔練
7.數學文化 我國古代名著《九章算術》中有一個問題，原文：
“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今鳧
雁俱起，問何日相逢？”譯文：野鴨從南海出發，7天后到達
北海；大雁從北海出發，9天后到達南海，今野鴨和大雁分
別從南海和北海同時出發，幾天后相遇？設 天后相遇，可
列方程為( )
B
A. B.
C. D.
8.勻速行駛的動車經過一座大橋時，動車從車頭上橋到車頭
離橋共需要 ；而從動車車尾上橋開始到車頭離橋結束，
整列動車完全在橋上的時間是 .已知該列動車長為
，則動車經過的這座大橋的長度為_______ .
9.(8分) 教材改編題 [2025· 安慶月考] 將一個底面內徑是
，高是 的圓柱體桶內裝滿水，再將桶內的水倒
入一個底面內徑是，高是 的圓柱體玻璃杯內，
能否完全裝下？若裝不下，則桶內還有多高的水？若沒裝滿，
求杯內水面的高度.
解：不能完全裝下.由題意得，水的體積為
.圓柱體玻璃杯的容積為
.因為 ，即水的體
積大于圓柱體玻璃杯的容積，所以不能完全裝下.設桶內還有
高的水，由題意，得 ，解得
.故桶內還有 高的水.
10.(12分)真實情境如圖是兩張不同類型火車(“ 次”表
示動車，“ 次”表示高鐵)的車票的部分信息.
(1)根據車票中的信息填空：該列動車和高鐵是____
(填“相”或“同”)向而行，并且動車比高鐵發車____
(填“早”或“晚”)；
同
早
(2)已知該列動車和高鐵的平均速度分別為 ，
，兩列火車的長度不計，高鐵比動車早到 ，求
， 兩地之間的距離；
解：設，兩地之間的距離為 .
根據題意得，解得 .
答：，兩地之間的距離為 .
(3)在(2)的條件下，若
高鐵到達 地后停止運
動，求高鐵出發多少
小時后兩車相距 .
設高鐵出發后兩車相距 ，
①當高鐵還未追上動車時， ，解
得；②當高鐵追上動車后， ，
解得；③當高鐵到達 地，動車還未到達時，
，解得 .
答：高鐵出發或 或
后兩車相距 .
課堂小結
用一元一次方程解決實際問題的基本過程
實際問題
找等量關系，列方程
數學問題
（一元一次方程）
解方程
數學問題的解
（一元一次方程的解）
檢驗
實際問題的答案
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