資源簡介

(共39張PPT)
3.4.3加減消元法
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.4.3 加減消元法
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上一節(jié)課我們學(xué)習了用代入消元法解二元一次方程組，其核心思想是 “消元”，將二元轉(zhuǎn)化為一元。但在有些情況下，代入消元法可能會涉及較多的計算，尤其是當方程組中未知數(shù)的系數(shù)較大或不是 1 時。今天我們將學(xué)習另一種重要的消元方法 —— 加減消元法，它同樣能實現(xiàn) “消元” 的目的，并且在某些方程組的求解中更加簡便。
學(xué)習目標
理解加減消元法的思想，掌握用加減消元法解二元一次方程組的步驟。
能根據(jù)方程組的特點，靈活運用加減消元法解二元一次方程組。
進一步體會 “消元” 思想在解方程組中的作用，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
提高運算的準確性和靈活性，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力。
課堂導(dǎo)入
我們來看一個二元一次方程組：\(\begin{cases}2x + y = 7\\x + y = 4\end{cases}\)。這個方程組中，兩個方程都含有\(zhòng)(y\)，且\(y\)的系數(shù)都是 1。如果我們用第一個方程減去第二個方程，會得到什么呢？\((2x + y)-(x + y)=7 - 4\)，化簡后得到\(x = 3\)，這樣就消去了\(y\)，求出了\(x\)的值。再把\(x = 3\)代入第二個方程，可得\(3 + y = 4\)，解得\(y = 1\)。這種通過將兩個方程相加或相減來消去一個未知數(shù)的方法，就是我們今天要學(xué)習的加減消元法。
知識點：加減消元法的概念和思想
概念
當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
思想
加減消元法的核心思想仍然是 “消元”，即通過方程的加減運算，消除一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，進而求解。與代入消元法相比，加減消元法更適用于方程組中同一未知數(shù)的系數(shù)相同或相反的情況。
知識點：用加減消元法解二元一次方程組的步驟
變形：觀察方程組中兩個方程的同一未知數(shù)的系數(shù)，如果系數(shù)不相等也不互為相反數(shù)，就根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把其中一個方程或兩個方程的兩邊同時乘以適當?shù)臄?shù)，使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。
加減：把變形后的兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。（當系數(shù)相等時相減，當系數(shù)互為相反數(shù)時相加）
求解：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值。
回代：將求出的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程，求出另一個未知數(shù)的值。
檢驗：把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的兩個方程，檢驗是否都是方程的解。
寫出答案：用大括號 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把兩個未知數(shù)的值括起來，作為方程組的解。
例題解析
例 1：用加減消元法解方程組\(\begin{cases}2x + y = 7\\x + y = 4\end{cases}\)。
解：觀察：方程組中\(zhòng)(y\)的系數(shù)都是 1，相等。
加減：① - ②，得：\((2x + y)-(x + y)=7 - 4\)
化簡得：\(x = 3\)
求解：\(x = 3\)
回代：把\(x = 3\)代入②，得\(3 + y = 4\)，解得\(y = 1\)。
檢驗：把\(x = 3\)，\(y = 1\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=2 3 + 1 = 7\)，右邊\(=7\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=3 + 1 = 4\)，右邊\(=4\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}\)。
例 2：用加減消元法解方程組\(\begin{cases}3x + 2y = 13\\3x - 2y = 5\end{cases}\)。
解：觀察：方程組中\(zhòng)(y\)的系數(shù)分別是 2 和\(-2\)，互為相反數(shù)。
加減：① + ②，得：\((3x + 2y)+(3x - 2y)=13 + 5\)
化簡得：\(6x = 18\)
求解：\(x = 3\)
回代：把\(x = 3\)代入①，得\(3 3 + 2y = 13\)，即\(9 + 2y = 13\)，解得\(2y = 4\)，\(y = 2\)。
檢驗：把\(x = 3\)，\(y = 2\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=3 3 + 2 2 = 9 + 4 = 13\)，右邊\(=13\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=3 3 - 2 2 = 9 - 4 = 5\)，右邊\(=5\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)。
例 3：用加減消元法解方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 1\end{cases}\)。
解：觀察：方程組中\(zhòng)(y\)的系數(shù)分別是 3 和\(-3\)，互為相反數(shù)。
加減：① + ②，得：\((2x + 3y)+(5x - 3y)=11 + 1\)
化簡得：\(7x = 12\)
求解：\(x=\frac{12}{7}\)
回代：把\(x = \frac{12}{7}\)代入①，得\(2 \frac{12}{7}+3y = 11\)，即\(\frac{24}{7}+3y = 11\)，\(3y = 11-\frac{24}{7}=\frac{77}{7}-\frac{24}{7}=\frac{53}{7}\)，解得\(y=\frac{53}{21}\)。
檢驗：把\(x=\frac{12}{7}\)，\(y = \frac{53}{21}\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=2 \frac{12}{7}+3 \frac{53}{21}=\frac{24}{7}+\frac{53}{7}=\frac{77}{7}=11\)，右邊\(=11\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=5 \frac{12}{7}-3 \frac{53}{21}=\frac{60}{7}-\frac{53}{7}=\frac{7}{7}=1\)，右邊\(=1\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x=\frac{12}{7}\\y=\frac{53}{21}\end{cases}\)。
例 4：用加減消元法解方程組\(\begin{cases}4x + 7y = 19\\4x - 5y = -17\end{cases}\)。
解：觀察：方程組中\(zhòng)(x\)的系數(shù)都是 4，相等。
加減：① - ②，得：\((4x + 7y)-(4x - 5y)=19 - (-17)\)
化簡得：\(12y = 36\)
求解：\(y = 3\)
回代：把\(y = 3\)代入①，得\(4x + 7 3 = 19\)，即\(4x + 21 = 19\)，\(4x = -2\)，解得\(x=-\frac{1}{2}\)。
檢驗：把\(x=-\frac{1}{2}\)，\(y = 3\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=4 (-\frac{1}{2})+7 3=-2 + 21 = 19\)，右邊\(=19\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=4 (-\frac{1}{2})-5 3=-2 - 15=-17\)，右邊\(=-17\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y = 3\end{cases}\)。
例 5：用加減消元法解方程組\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)。
解：觀察：方程組中\(zhòng)(x\)和\(y\)的系數(shù)都不相等也不互為相反數(shù)，需要先變形。
變形：①×3，得\(9x + 12y = 48\) ③；
②×2，得\(10x - 12y = 66\) ④。（使\(y\)的系數(shù)互為相反數(shù)）
加減：③ + ④，得：\((9x + 12y)+(10x - 12y)=48 + 66\)
化簡得：\(19x = 114\)
求解：\(x = 6\)
回代：把\(x = 6\)代入①，得\(3 6 + 4y = 16\)，即\(18 + 4y = 16\)，\(4y=-2\)，解得\(y=-\frac{1}{2}\)。
檢驗：把\(x = 6\)，\(y=-\frac{1}{2}\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=3 6 + 4 (-\frac{1}{2})=18 - 2 = 16\)，右邊\(=16\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=5 6 - 6 (-\frac{1}{2})=30 + 3 = 33\)，右邊\(=33\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = 6\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}\)。
小練習
用加減消元法解下列方程組：
（1）\(\begin{cases}x + 2y = 5\\x - 2y = 1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}3x + y = 7\\2x - y = 3\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}2x + 3y = 12\\3x + 4y = 17\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}5x + 2y = 25\\3x + 4y = 15\end{cases}\)。
已知方程組\(\begin{cases}ax + by = 5\\bx + ay = 2\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}\)，求\(a + b\)的值。
解方程組\(\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=2\\2x + 3y = 28\end{cases}\)。
思考討論
如何根據(jù)二元一次方程組的特點選擇使用代入消元法還是加減消元法？
當方程組中有一個方程的某個未知數(shù)的系數(shù)為 1 或\(-1\)時，使用代入消元法比較簡便；當方程組中兩個方程的同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，或者通過簡單變形可以使同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時，使用加減消元法比較簡便。例如，方程組\(\begin{cases}y = 2x - 3\\3x + 2y = 8\end{cases}\)適合用代入消元法；方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 1\end{cases}\)適合用加減消元法。
用加減消元法時，如何確定變形時每個方程應(yīng)乘以的數(shù)？
變形的目的是使兩個方程中某一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，所以應(yīng)找到兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)的最小公倍數(shù)。例如，方程組\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)中，\(y\)的系數(shù)是 4 和\(-6\)，它們的最小公倍數(shù)是 12，所以給第一個方程乘以 3，使\(y\)的系數(shù)變?yōu)?12；給第二個方程乘以 2，使\(y\)的系數(shù)變?yōu)閈(-12\)，這樣就可以通過相加消去\(y\)。
課堂小結(jié)
加減消元法的概念：當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，進而求得方程組的解的方法。
加減消元法的思想：仍然是 “消元”，將二元轉(zhuǎn)化為一元。
用加減消元法解二元一次方程組的步驟：變形、加減、求解、回代、檢驗、寫出答案。
運用加減消元法時，要根據(jù)方程組的特點進行變形，確保加減后能消去一個未知數(shù)，計算過程中要注意符號的變化，最后要檢驗解的正確性。同時，要學(xué)會根據(jù)方程組的特點靈活選擇代入消元法或加減消元法。
課后作業(yè)
用加減消元法解下列方程組：
（1）\(\begin{cases}x + y = 5\\x - y = -1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}2x + 3y = 10\\5x - 2y = 6\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}3x - 5y = 11\\4x + 3y = 5\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\\\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}\)。
已知關(guān)于\(x\)、\(y\)的方程組\(\begin{cases}2x + 3y = k\\3x + 4y = 2k + 1\end{cases}\)的解滿足\(x + y = 3\)，求\(k\)的值。
甲、乙兩位同學(xué)在解方程組\(\begin{cases}ax + by = 7\\2ax - by = -2\end{cases}\)時，甲看錯了第一個方程中的\(a\)，得到的解為\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)；乙看錯了第二個方程中的\(b\)，得到的解為\(\begin{cases}x = -2\\y = -6\end{cases}\)。求原方程組的解。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習目錄
1
復(fù)習引入
2
新知講解
3
典例講解
復(fù)習回顧
1.解二元一次方程組的基本思路是什么？
基本思路：消元
二元
一元
轉(zhuǎn)化
2.用代入法解方程的步驟是什么？
變形
代入
求解
回代
寫解
用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)
探索新知
思考：解問題1中的方程組，除代入消元法外，是否還有別的消元方法
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
①
②
x+2y=47
等式的基本性質(zhì)
此方程組中各個未知數(shù)的系數(shù)有什么特點？
x+y=35
①
②
x+2y=47
方程②的兩邊分別減去方程①的兩邊，得
2y-y=47-35.
一元一次方程
解方程，得y=12.
把y=12代入①，得x+12=35.
解方程，得x=23.
所以
聯(lián)系上面的解法，想─想怎樣解下列方程組：
3x+10y=2.8
①
②
15x-10y=8
1.未知數(shù)的系數(shù)有什么關(guān)系
2.如何消元
方程②的兩邊分別加上方程①的兩邊，得
3x+15x=2.8+8.
解方程，得x=0.6.
把x=0.6代入①，得1.8+10y=2.8.
解方程，得y=0.1.
所以
x+y=35
x+2y=47
3x+10y=2.8
15x-10y=8
1.這兩個方程組是如何消元的？
思考：
方程的兩邊分別相加或相減.
2.兩個方程相加或相減的依據(jù)是什么？
3.兩個方程加減后能夠?qū)崿F(xiàn)消元的前提條件是什么？
等式的基本性質(zhì).
兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù).
加減
消元法
加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數(shù)的方法叫作加減消元法，簡稱加減法.
二元一次方程組
一元一次方程
轉(zhuǎn)化
例2：解方程組：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
在這個方程組中，直接將兩個方程相加或相減，都不能消去未知數(shù)x或y，怎么辦
解：①×2，得8x+2y=28. ③
②-③，得 y=2.
把y=2代入①，得4x+2=14.
x=3.
所以
【教材P113 例2】
如果消去y，如何求解？
例2：解方程組：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
【教材P113 例2】
解：①×3，得12x+3y=42. ③
③-②，得4x=12.
x=3.
把x=3代入①，得12+y=14.
解方程，得y=2.
所以
變形
加減
求解
回代
寫解
例3：解方程組：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
1.方程組符合加減消元法的條件嗎
2.此方程組如何使用加減消元法
分析：比較方程組中的兩個方程，y的系數(shù)的絕對值比較小，①×3，②×2，就可使y的系數(shù)絕對值相等，再用加減法即可消去y.
y
y
找系數(shù)的最小公倍數(shù).
例3：解方程組：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
解：①×3，得12x+6y=-15. ③
②×2，得10x-6y=-18. ④
③+④，得22x=-33.
x= .
把x= 代入①，得
-6+2y=-5.
y= .
所以
隨堂練習
1.用加減法解方程組 時，方程①+②得（ ）
A. 2y=2 B. 3x=6 C. x-2y=-2 D. x+y=6
B
2.利用加減消元法解方程組 ，下列做法正確的是（ ）
A.要消去y，可以將①×5+②×2
B.要消去x，可以將①×3+②×(﹣5)
C.要消去y，可以將①×5+②×3
D.要消去x，可以將①×(﹣5)+②×2
D
3.用加減法解下列方程組：
【教材P114 練習 第1題】
（1）
①
②
（1）解：①-②，得-y=6. y=-6.
把y=-6代入②，得2x-2×(-6)=-1. x=-8.
所以
（2）
3.用加減法解下列方程組：
【教材P114 練習 第1題】
（1）
（2）
（2）解：②×2，得6x－2z+2=0.③
①+③，得7x-7=0. x=1.
把x=1代入①，得 1+2z-9=0. z=4.
所以
①
②
（3）
①
②
（3）解：①×2，得8x-4y=78.③
③-②，得5x=60. x=12.
把x=12代入②，得3×12-4y=18. y= .
（4）
所以
（3）
（4）
（4）解：②×9，得3y+27x=99.③
③-①，得 x=80. x=3.
把x=3代入①，得 ×3+3y=19. y=6.
①
②
所以
4.*解方程組：
解：①+②，得60(x+y)=180，即x+y=3.③
②-①，得14(x-y)=-14，即x-y=-1.④
③+④，得2x=2，解得x=1.
把x=1代入③，得1+y=3，解得y=2.
所以
①
②
1星題 基礎(chǔ)練
知識點1 直接利用加減消元法解二元一次方程組
1.［知識初練］方程組中，未知數(shù) 的系數(shù)
的關(guān)系是______，未知數(shù) 的系數(shù)的關(guān)系是____________.把
方程①②的兩邊分別相加，就能消去未知數(shù)___；把方程①
②的兩邊分別相減，就能消去未知數(shù)___.
相等
互為相反數(shù)
2.用“加減法”消去方程組中的 后得到的方程
是( )
D
A. B. C. D.
3.(4分)解方程組：
解：,得，解得 .
將代入①,得，解得 .
所以原方程組的解為
知識點2 變系數(shù)后用加減消元法解二元一次方程組
4.［2024·合肥期中］解方程組 用加減消元法
消去 ，需要用( )
C
A. B.
C. D.
5. 加減消元法
6.(8分)解方程組：
(1)
解：，得，解得 .
將代入①，得，解得 .
所以原方程組的解為
(2)
，得 ，③
，得 ，④
，得，解得 .
將代入①，得，解得 ，
所以原方程組的解為
知識點3 用適當?shù)姆椒ń舛淮畏匠探M
7.二元一次方程組 最適宜用______消元法直接
消元.
加減
8.(8分)選擇適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠探M.
(1)
解：由①，得 .③
把③代入②，得.解得.把 代入③，
得.所以原方程組的解為
(2)
,得 .③
，得，把代入①，得 ，解得
.所以原方程組的解為
2星題 中檔練
9.［2025年1月北京期末］在解二元一次方程組
時，下列方法中無法消元的是( )
C
A.
B.由①變形得 ，將其代入②
C.
D.由②變形得 ，將其代入①
10.整體思想 已知有理數(shù)，滿足方程組 則
的值為( )
A
A. B.0 C.1 D.2
11.［2025年1月淮北期末］若關(guān)于, 的二元一次方程組
的解滿足,則 的值是___.
2
12.創(chuàng)新題·新考法 [2025年1月蕪湖期末] 對于有理數(shù)， ，
定義一種新運算：，其中， 為常數(shù).已知
，，則 ____.
20
根據(jù)題中的新定義化簡得：
得，，解得，把代入①，得 ，
解得，則 .
13.(8分)在解關(guān)于，的方程組 時，
可以用消去未知數(shù),也可以用 消
去未知數(shù),試求， 的值.
解：由題意得解得
3星題 提升練
14.(8分)中考趨勢·閱讀理解 閱讀解方程組的過程，再回答相
應(yīng)的問題.
解方程組：
解：原方程組可化為
將兩個方程相減，得，則 .
把代入到方程②，可得，所以 ，
則原方程組的解是
以上解方程組的方法叫消常數(shù)項法.
請用上面的方法解方程組：
解：
，得，即 .③
把③代入①，得 ，
解得.把代入③，得 .
則原方程組的解是
課堂小結(jié)
加減消元法
條件：
步驟：
兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)
變形 加減 求解 回代 寫解
謝謝觀看！

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