資源簡介

(共37張PPT)
3.4.1二元一次方程組
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.4.1 二元一次方程組
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)掌握了一元一次方程的相關(guān)知識，知道只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是 1，等號兩邊都是整式的方程叫做一元一次方程。今天我們將學(xué)習(xí)一種新的方程類型 —— 二元一次方程，以及由多個二元一次方程組成的二元一次方程組。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
理解二元一次方程、二元一次方程組的概念，能識別二元一次方程和二元一次方程組。
知道二元一次方程的解和二元一次方程組的解的含義，能檢驗一組數(shù)是不是二元一次方程（組）的解。
經(jīng)歷從實際問題中抽象出二元一次方程組的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。
培養(yǎng)觀察、分析和概括的能力，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。
課堂導(dǎo)入
我們來看一個生活中的問題：小明去商店買筆和筆記本，已知買 1 支筆和 1 本筆記本一共花了 8 元，買 2 支筆和 3 本筆記本一共花了 21 元，那么 1 支筆和 1 本筆記本分別多少錢？
如果我們設(shè) 1 支筆的價格為\(x\)元，1 本筆記本的價格為\(y\)元，根據(jù)題意可以列出兩個方程：\(x + y = 8\)和\(2x + 3y = 21\)。這兩個方程中都含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是 1，像這樣的方程就是二元一次方程，而這兩個方程合在一起就組成了一個二元一次方程組。通過解這個方程組，我們就能求出筆和筆記本的單價。這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
知識點：二元一次方程
定義
含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程。
例如：\(x + y = 5\)、\(2a - 3b = 7\)都是二元一次方程。
注意事項
方程中必須含有兩個未知數(shù)；
含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1，而不是未知數(shù)的次數(shù)是 1。例如，方程\(xy = 6\)中，含有未知數(shù)的項\(xy\)的次數(shù)是 2，所以它不是二元一次方程；
方程的兩邊必須都是整式。
二元一次方程的解
使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。
例如，對于方程\(x + y = 5\)，當(dāng)\(x = 2\)，\(y = 3\)時，方程左邊\(=2 + 3=5\)，右邊\(=5\)，左邊 = 右邊，所以\(\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}\)是方程\(x + y = 5\)的解。
二元一次方程的解有無數(shù)個，只要給定其中一個未知數(shù)的值，就可以求出另一個未知數(shù)的值。
例題解析
例 1：判斷下列方程是不是二元一次方程：
（1）\(3x + y = 4\)；
（2）\(2x + 3 = 7\)；
（3）\(xy + 1 = 0\)；
（4）\(x + \frac{1}{y}=2\)。
解：（1）方程\(3x + y = 4\)含有兩個未知數(shù)\(x\)和\(y\)，含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1，且兩邊都是整式，所以是二元一次方程。
（2）方程\(2x + 3 = 7\)只含有一個未知數(shù)\(x\)，所以不是二元一次方程。
（3）方程\(xy + 1 = 0\)中，含有未知數(shù)的項\(xy\)的次數(shù)是 2，所以不是二元一次方程。
（4）方程\(x + \frac{1}{y}=2\)中，\(\frac{1}{y}\)不是整式，所以不是二元一次方程。
例 2：已知\(\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}\)是方程\(2x + my = 7\)的解，求\(m\)的值。
解：因為\(\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}\)是方程\(2x + my = 7\)的解，所以將\(x = 1\)，\(y = -2\)代入方程中，等式成立，即：\(2 1 + m (-2)=7\)
化簡得：\(2 - 2m = 7\)
移項得：\(-2m = 7 - 2\)\(-2m = 5\)
系數(shù)化為 1 得：\(m=-\frac{5}{2}\)
知識點：二元一次方程組
定義
由幾個含有相同未知數(shù)的二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
例如：\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)、\(\begin{cases}3a - b = 5\\a + 2b = 4\end{cases}\)都是二元一次方程組。
注意事項
方程組中含有兩個未知數(shù)；
方程組中的每個方程都是二元一次方程；
“合在一起” 通常是指用大括號 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把它們連接起來。
二元一次方程組的解
二元一次方程組中的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。
例如，方程組\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)，我們可以通過嘗試找到它的解。當(dāng)\(x = 3\)，\(y = 5\)時，第一個方程左邊\(=3 + 5 = 8\)，右邊\(=8\)；第二個方程左邊\(=2 3 + 3 5=6 + 15 = 21\)，右邊\(=21\)，所以\(\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}\)是這個方程組的解。
例題解析
例 3：判斷下列方程組是不是二元一次方程組：
（1）\(\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 1\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}x + 2y = 5\\3z - y = 4\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}x^2 + y = 7\\x - y = 2\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}x + y = 6\\\frac{1}{x} + y = 2\end{cases}\)。
解：（1）方程組\(\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 1\end{cases}\)含有兩個未知數(shù)\(x\)和\(y\)，每個方程都是二元一次方程，所以是二元一次方程組。
（2）方程組\(\begin{cases}x + 2y = 5\\3z - y = 4\end{cases}\)含有三個未知數(shù)\(x\)、\(y\)、\(z\)，所以不是二元一次方程組。
（3）方程組\(\begin{cases}x^2 + y = 7\\x - y = 2\end{cases}\)中，第一個方程含有未知數(shù)的項\(x^2\)的次數(shù)是 2，不是二元一次方程，所以不是二元一次方程組。
（4）方程組\(\begin{cases}x + y = 6\\\frac{1}{x} + y = 2\end{cases}\)中，第二個方程含有\(zhòng)(\frac{1}{x}\)，不是整式方程，所以不是二元一次方程組。
例 4：檢驗\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)和\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}2x + y = 5\\x - y = 1\end{cases}\)的解。
解：將\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)代入方程組：
第一個方程：左邊\(=2 2 + 1 = 5\)，右邊\(=5\)，左邊 = 右邊；
第二個方程：左邊\(=2 - 1 = 1\)，右邊\(=1\)，左邊 = 右邊。
所以\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)是方程組的解。
將\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)代入方程組：
第一個方程：左邊\(=2 1 + (-1)=1\)，右邊\(=5\)，左邊≠右邊；
所以\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)不是方程組的解。
小練習(xí)
下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. \(x + y^2 = 0\) B. \(x = \frac{2}{y} + 1\) C. \(x - 2y = 3\) D. \(xy = 6\)
若\(\begin{cases}x = 3\\y = -1\end{cases}\)是方程\(3x + my = 6\)的解，則\(m = \)
下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A. \(\begin{cases}x + y = 5\\x^2 = 3\end{cases}\) B. \(\begin{cases}x + y = 2\\y + z = 3\end{cases}\) C. \(\begin{cases}x - y = 1\\2x + 3y = 10\end{cases}\) D. \(\begin{cases}\frac{1}{x} + y = 3\\x - y = 4\end{cases}\)
寫出二元一次方程\(x + 2y = 5\)的三個解。
檢驗\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}x + y = 5\\2x - y = 4\end{cases}\)的解。
思考討論
二元一次方程和一元一次方程有什么區(qū)別和聯(lián)系？
區(qū)別：二元一次方程含有兩個未知數(shù)，而一元一次方程含有一個未知數(shù)；二元一次方程有無數(shù)個解，而一元一次方程只有一個解。
聯(lián)系：它們都是整式方程，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是 1；在解二元一次方程組時，常常會通過消元的方法將其轉(zhuǎn)化為一元一次方程來求解。
如何理解二元一次方程組的解的含義？
二元一次方程組的解是方程組中所有方程的公共解，即它既要滿足方程組中的第一個方程，又要滿足方程組中的第二個方程。也就是說，將這組解代入方程組中的每個方程，等式都成立。
課堂小結(jié)
二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1 的整式方程。其解是使方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，有無數(shù)個解。
二元一次方程組：由幾個含有相同未知數(shù)的二元一次方程合在一起組成的方程組。其解是方程組中兩個方程的公共解，通常只有一個解（特殊情況下可能無解或有無數(shù)個解）。
判斷一個方程是不是二元一次方程，要緊扣定義，看是否滿足 “含有兩個未知數(shù)、含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1、整式方程” 這三個條件；判斷一個方程組是不是二元一次方程組，要看是否含有兩個未知數(shù)且每個方程都是二元一次方程。
檢驗一組數(shù)是不是二元一次方程組的解，只需將這組數(shù)代入方程組中的每個方程，若所有方程都成立，則是方程組的解，否則不是。
課后作業(yè)
下列方程中，哪些是二元一次方程？
（1）\(3x - y = 0\)；（2）\(x + \frac{1}{y} = 2\)；（3）\(x^2 + y = 5\)；（4）\(2x + 3y = z\)。
若\(\begin{cases}x = -1\\y = 2\end{cases}\)是方程\(2x + ay = 4\)的解，求\(a\)的值。
下列方程組中，哪些是二元一次方程組？
（1）\(\begin{cases}x + y = 3\\2x - y = 1\end{cases}\)；（2）\(\begin{cases}x + y = 5\\xy = 6\end{cases}\)；（3）\(\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\)；（4）\(\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1\\x - y = 2\end{cases}\)。
寫出二元一次方程\(3x - 2y = 6\)的兩個解。
檢驗\(\begin{cases}x = 4\\y = 3\end{cases}\)是不是方程組\(\begin{cases}x + y = 7\\x - y = 1\end{cases}\)的解。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
復(fù)習(xí)回顧
只含有_______未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是____，且等式兩邊都是_______的方程叫作一元一次方程.
下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序號）.
① x-2= ；② 0.3x=1；③ =5x+1；④ x2-4x=3；
⑤ x=6；⑥ x+2y=0.
一個
1
整式
②③⑤
探索新知
問題1：“雞兔同籠”是我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》上的一道題. 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何.
思考1：如何列一元一次方程？
解：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
思考2：問題中有兩個未知數(shù)，能不能根據(jù)題意直接設(shè)兩個未知數(shù)，使列方程變得容易呢？
分析：
雞的只數(shù)+兔的只數(shù)=總頭數(shù)
雞的腳數(shù)+兔的腳數(shù)=總腳數(shù)
解：設(shè)雞有x只，兔有y只.
雞 兔 合計
頭數(shù) x y 35
腳數(shù) 2x 4y 94
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
觀察下面的方程：
2.它與你學(xué)過的一元一次方程比較有什么區(qū)別？
1.它們有什么共同特征？
3.你能給它起個名字嗎？
定義：含有兩個未知數(shù)的一次方程叫作二元一次方程.
注意：
1.是整式方程；
2.只含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的系數(shù)不為0；
3. “一次”是指含未知數(shù)的項的次數(shù)是1，而不是未知數(shù)的次數(shù).
x+y=35
2x+4y=94
二元一次方程
三者缺一不可！
下列式子中，是二元一次方程的是_______（填序號）.
① 8x-y=3y；② 3x-z=y；③ 2x-5=3；④ +y=2；
⑤ xy=2；⑥ 3x2+1=y；⑦ x-y= .
練一練
判斷一個方程是否為二元一次方程的方法：
1.原方程是否是整式方程且只含有兩個未知數(shù)；
2.整理化簡后的方程中兩個未知數(shù)的系數(shù)都不為0，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1.
①⑦
x+y=35
2x+4y=94
①
②
幾個方程聯(lián)立在一起，稱為方程組.
兩個或兩個以上
定義：由兩個一次方程組成，且含兩個未知數(shù)的方程組叫作二元一次方程組.
注意：
1.組成方程組的方程都是整式方程；
2.兩個方程共含有兩個未知數(shù)；
3.方程組中含有未知數(shù)的項的次數(shù)必須都是1.
下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
練一練
A. B. C. D.
看兩個方程是否為整式方程
看方程組是否一共含有兩個未知數(shù)
看含未知數(shù)的項的次數(shù)是否都是1
C
問題2：某班同學(xué)在植樹節(jié)時植樟樹和白楊樹共50棵. 已知樟樹苗每棵10元，白楊樹苗每棵3元，購買這些樹苗用了290元.樟樹苗、白楊樹苗各買了多少棵
設(shè)樟樹苗買了x棵，白楊樹苗買了y棵，可得二元一次方程組
x+y=50，
10x+3y=290.
①
②
隨堂練習(xí)
1.已知2xa-5-(b-2)y|b|-1=4是關(guān)于x，y的二元一次方程，則
a-2b=________.
10
2.若 是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則
a=________，b=________.
﹣1
5
3.根據(jù)題意，列出二元一次方程組：
（1）小華買了60分與80分的郵票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的郵票各買了多少枚
【教材P109 練習(xí) 第1題】
解：設(shè)買了x枚60分的郵票和y枚80分的郵票.
根據(jù)題意，得
（2）植樹節(jié)七(1)班和七(2)班共植樹138棵，七(1)班植樹數(shù)量比七(2)班的 多8棵. 兩班分別植樹多少棵
解：設(shè)七(1)班植樹x棵，七(2)班植樹y棵.
根據(jù)題意，得
（3）將一摞筆記本分給若干同學(xué). 每個同學(xué)5本，則剩下8本；每個同學(xué)8本，又差了7本. 共有多少本筆記本、多少個同學(xué)
解：設(shè)共有x本筆記本，y個同學(xué).
根據(jù)題意，得
4.請你根據(jù)生活實例，編一道應(yīng)用二元一次方程組的問題，并列出方程組.
解：答案不唯一，如：某船的載重為260t，容積為1000m3. 現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為8m3，乙種貨物每噸體積為2m3，若要充分利用這艘船的載重與容積，則甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少噸（裝運貨物時不留空隙）？
設(shè)甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝x t，y t.
根據(jù)題意，得
【教材P109 練習(xí) 第2題】
1星題 基礎(chǔ)練
知識點1 二元一次方程
1.［2025·杭州月考］下列方程是二元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.關(guān)于，的方程是二元一次方程，則
的取值范圍是( )
C
A. B. C. D.
3.若方程是關(guān)于， 的二元一次方程，則
___.
3
知識點2 二元一次方程組
4.下列方程組是二元一次方程組的是( )
C
A. B.
C. D.
5.創(chuàng)新題·新考法 若方程組 是二元一次方程組，
則“……”不可能是( )
C
A. B. C. D.
6.［2025年1月安慶期末］若是關(guān)于,
的二元一次方程組，則___， ____.
1
知識點3 建立二元一次方程組模型
7.某班35名學(xué)生共種87棵樹苗.其中男生每人種3棵，女生每
人種2棵，設(shè)該班男生有人，女生有 人.根據(jù)題意，所列方
程組正確的是( )
D
A. B.
C. D.
8.(8分)教材改編題 根據(jù)題意列二元一次方程組.
(1)一個長方形的周長是，寬比長短 ，求這個長方
形的長和寬.
解：設(shè)這個長方形的長為,寬為 ，則
(2)某校有兩種類型的學(xué)生宿舍共30間，大宿舍每間可住8人，
小宿舍每間可住5人，該校住宿生198人恰好住滿這30間宿舍，
大、小宿舍各有多少間？
設(shè)大宿舍有間，小宿舍有間，則
2星題 中檔練
9.易錯題 [2024·合肥廬陽區(qū)期末] 若方程
是關(guān)于，的二元一次方程，則 的值
為( )
D
A. B. C.0 D.1
10.已知方程組：
下列說法正確的是( )
D
A.只有①是二元一次方程組
B.只有②是二元一次方程組
C.只有②③是二元一次方程組
D.只有②不是二元一次方程組
11.數(shù)學(xué)文化 [2025年1月阜陽期
末] 《九章算術(shù)》中的“方程”
一章中講述了算籌圖，如圖①②
所示，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)，
的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，圖①表示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟
悉的方程組形式表述出來為 類似地，圖②所
示的算籌圖用方程組可表述為
_ ______________.
12.若 ，則可轉(zhuǎn)化為方程組：
_ ________________.
13.創(chuàng)新題·新考法 問題：“小明家離學(xué)校 ，其中有一
段為上坡路，另一段為下坡路.他跑步去學(xué)校共用時 ，
已知小明上坡的平均速度為 ，下坡的平均速度為
，小明上坡和下坡各用了多長時間？”
小亮設(shè)出未知數(shù)，后列出了方程組
則“……”表示的方程是___________，小穎設(shè)出未知數(shù)，
后卻列了和小亮不同的方程組： 則“……”
表示的方程是___________________________.
14.(8分)［2025年1月蕪湖期末］如圖是
由截面為同一種長方形的墻磚組成的部
分墻面，其中3塊橫放的墻磚比1塊豎放
的墻磚高，2塊橫放的墻磚比2塊豎放的墻磚低 ，
試求每塊墻磚截面的長和寬.若設(shè)每塊墻磚的截面的長為
，寬為 ，請根據(jù)題意，列出二元一次方程組.
解：由“3塊橫放的墻磚比1塊豎放的墻磚
高”得 .由“2塊橫放的墻
磚比2塊豎放的墻磚低 ”得
.故可列出二元一次方程組
為
3星題 提升練
15.跨學(xué)科·語文 成語“朝三暮四”講述了一位老翁喂養(yǎng)猴子的故事，老翁為
了限定猴子的食量分早晚兩次投喂，早上的糧食是晚上的 ，猴子們對于
這個安排很不滿意，于是老翁進(jìn)行調(diào)整，從晚上的糧食中取2千克放在早
上投喂，這樣早上的糧食是晚上的 ，猴子們對這樣的安排非常滿意.設(shè)調(diào)
整前早上的糧食是千克，晚上的糧食是 千克，則可列方程組為( )
A. B. C. D.
B
課堂小結(jié)
二元一次方程組
二元一次方程及二元一次方程組的定義
根據(jù)實際問題列二元一次方程組
含有兩個未知數(shù)的一次方程叫作二元一次方程.
由兩個一次方程組成，且含兩個未知數(shù)的方程組叫作二元一次方程組.
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