資源簡介

(共34張PPT)
3.4.4選擇合適的方法解方程組
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.4.4 選擇合適的方法解方程組
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
前面我們學習了兩種解二元一次方程組的方法 —— 代入消元法和加減消元法。代入消元法是將一個未知數用含另一個未知數的式子表示后代入另一個方程；加減消元法是通過將兩個方程相加或相減消去一個未知數。這兩種方法各有特點，在實際解題中，我們需要根據方程組的具體情況選擇合適的方法，以提高解題效率。
學習目標
進一步鞏固代入消元法和加減消元法的解題步驟和適用條件。
能根據二元一次方程組的特點，靈活選擇代入消元法或加減消元法求解，提高解題的準確性和效率。
培養觀察、分析和判斷能力，體會數學方法的靈活性和多樣性。
方法對比與選擇技巧
代入消元法適用情況
當方程組中存在一個未知數的系數為 1 或 - 1 時，優先考慮代入消元法。此時，用含另一個未知數的式子表示該未知數會非常簡便，能減少計算量。
例如：方程組\(\begin{cases}y = 2x - 3\\3x + 2y = 8\end{cases}\)中，第一個方程里\(y\)的系數是 1，適合用代入消元法。
加減消元法適用情況
當方程組中兩個方程的同一未知數的系數相等或互為相反數時，直接使用加減消元法，可快速消去該未知數。
當方程組中同一未知數的系數成倍數關系，或通過簡單變形（兩邊同乘一個數）能使同一未知數的系數相等或互為相反數時，選擇加減消元法更合適。
例如：方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 11\\5x - 3y = 1\end{cases}\)中，\(y\)的系數分別是 3 和 - 3，互為相反數，適合用加減消元法；方程組\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)通過變形可使\(y\)的系數變為 12 和 - 12，也適合用加減消元法。
例題解析
例 1：解方程組\(\begin{cases}x - 2y = 3\\3x + y = 2\end{cases}\)
分析：第二個方程中\(y\)的系數是 1，適合用代入消元法。
解：由②得：\(y = 2 - 3x\) ③
把③代入①得：\(x - 2(2 - 3x)=3\)\(
\begin{align*}
x - 4 + 6x&=3\\
7x&=7\\
x&=1
\end{align*}
\)
把\(x = 1\)代入③得：\(y = 2 - 3 1=-1\)
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)
例 2：解方程組\(\begin{cases}4x + 5y = 19\\4x - 3y = 3\end{cases}\)
分析：兩個方程中\(x\)的系數都是 4，相等，適合用加減消元法。
解：① - ②得：\(
\begin{align*}
(4x + 5y)-(4x - 3y)&=19 - 3\\
8y&=16\\
y&=2
\end{align*}
\)
把\(y = 2\)代入②得：\(4x - 3 2 = 3\)\(
\begin{align*}
4x - 6&=3\\
4x&=9\\
x&=\frac{9}{4}
\end{align*}
\)
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y = 2\end{cases}\)
例 3：解方程組\(\begin{cases}3x - 2y = 5\\5x + 4y = 12\end{cases}\)
分析：\(y\)的系數分別是 - 2 和 4，成倍數關系，把第一個方程兩邊同乘 2，可使\(y\)的系數變為 - 4 和 4，適合用加減消元法。
解：①×2 得：\(6x - 4y = 10\) ③
② + ③得：\(
\begin{align*}
5x + 4y + 6x - 4y&=12 + 10\\
11x&=22\\
x&=2
\end{align*}
\)
把\(x = 2\)代入①得：\(3 2 - 2y = 5\)\(
\begin{align*}
6 - 2y&=5\\
-2y&=-1\\
y&=\frac{1}{2}
\end{align*}
\)
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}\)
例 4：解方程組\(\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\\\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}\)
分析：先將方程組去分母化為整數系數方程組，再觀察選擇方法。
解：原方程組去分母（兩邊同乘 12 和 6 的最小公倍數 12）得：\(\begin{cases}4x + 3y = 12& \\6x - 4y = -12& \end{cases}\)
觀察發現，\(x\)和\(y\)的系數無明顯簡單關系，選擇消去\(y\)：
①×4 得：\(16x + 12y = 48\) ③
②×3 得：\(18x - 12y = -36\) ④
③ + ④得：\(
\begin{align*}
34x&=12\\
x&=\frac{6}{17}
\end{align*}
\)
把\(x=\frac{6}{17}\)代入①得：\(4 \frac{6}{17}+3y = 12\)\(
\begin{align*}
\frac{24}{17}+3y&=12\\
3y&=12-\frac{24}{17}\\
3y&=\frac{204 - 24}{17}\\
3y&=\frac{180}{17}\\
y&=\frac{60}{17}
\end{align*}
\)
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x=\frac{6}{17}\\y=\frac{60}{17}\end{cases}\)
易錯點分析
代入時漏乘系數：例如，將\(y = 2x - 1\)代入\(3x + 2y = 5\)時，誤寫成\(3x + 2x - 1 = 5\)，遺漏系數 2 與\(2x\)的乘法。
加減時符號錯誤：例如，方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 7\\3x - 3y = 8\end{cases}\)相加時，誤算為\(5x = -1\)，忽略\(-3y\)與\(+3y\)相加為 0 的正確結果。
變形后系數計算錯誤：例如，將方程\(2x - 5y = 3\)兩邊同乘 3 時，誤寫成\(6x - 5y = 9\)，忘記給\(-5y\)乘 3。
實戰練習
解下列方程組，選擇合適的方法：
（1）\(\begin{cases}y = 3x - 1\\2x + 3y = 8\end{cases}\)
（2）\(\begin{cases}3x + 2y = 10\\5x - 2y = 6\end{cases}\)
（3）\(\begin{cases}4x - 3y = 5\\2x + 5y = 12\end{cases}\)
（4）\(\begin{cases}\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5\\3x - 2y = 6\end{cases}\)
已知方程組\(\begin{cases}ax + by = 2\\bx + ay = -3\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 1\\y = -2\end{cases}\)，求\(a\)和\(b\)的值，并用合適的方法解方程組\(\begin{cases}a(x + y)+b(x - y)=2\\b(x + y)+a(x - y)=-3\end{cases}\)
課堂總結
方法選擇核心：觀察方程組中未知數的系數特點，系數為 1 或 - 1 優先用代入法；系數相等、相反或易變形為上述情況優先用加減法。
解題原則：盡量避免復雜計算（如分數運算），選擇步驟最少、最不易出錯的方法。
檢驗習慣：解完方程組后，務必將結果代入原方程組檢驗，確保解的正確性。
通過本節課的學習，相信你能根據方程組的特點快速判斷并選擇最優解法，讓解方程組的過程更高效、更準確。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
復習回顧
交流：1.用代入法、加減法解方程組的基本思路、具體步驟各是什么
基本思路：消元
二元
一元
轉化
代入法：
變形
代入
求解
回代
寫解
加減法：
變形
加減
求解
回代
寫解
交流：2.用代入法、加減法解題時各應注意些什么？
用代入法解二元一次方程組的變形技巧：
1.當方程組中含有用一個未知數表示另一個未知數的關系式時，直接代入；
2.當方程組中有未知數的系數為1或﹣1時，選擇系數為 1或﹣1的方程進行變形；
3.當未知數的系數都不是1或﹣1時，一般選擇未知數系數 的絕對值小的方程變形.
交流：2.用代入法、加減法解題時各應注意些什么？
用加減法解二元一次方程組的變形技巧：
1.當某個未知數的系數的絕對值相等時，直接相加減消去該未知數；
2.當某個未知數的系數成整數倍時，消去該未知數；
3.當兩個未知數的系數都成整數倍或者系數的絕對值既不相等，也不成整數倍時，常消去系數絕對值的最小公倍數較小的那個未知數.
探索新知
例4：解方程組：
【教材P115 例4】
2(x-150)=5(3y+50)，
①
②
10%·x+6%·y=8.5%×800.
加減法？
代入法？
2(x-150)=5(3y+50)，
①
②
10%·x+6%·y=8.5%×800.
解：將原方程組化簡，得
③+④×5，得27x=17550.
x=650.
將x=650代入④得，5×650+3y=3400.
y=50.
所以
解方程組：
練一練
解：原方程組整理得
②-①，得4y=-16，解得y=-4.
將y=-4代入①，得2x+4=16，解得x=6.
故原方程組的解為
（1）
（2）
隨堂練習
1.解下列方程組：
（3）
（4）
【教材P115 練習 第1題】
（1）
解：將原方程組化簡，得
②×3，得18x-9y=12.③
③-①，得10x=10. x=1.
把x=1代入②，得6-3y=4. y= .
所以
（2）
解：將原方程組化簡，得
②×3，得12m+n=24.③
③-①，得5m=0. m=0.
把m=0代入①，得n=24.
所以
（3）
解：①+②，得16(x+y)=64，即x+y=4.③
①-②，得2(x-y)=-4，即x-y=-2.④
③+④，得2x=2. x=1.
把x=1代入③，得1+y=4. y=3.
所以
①
②
（4）
解：將原方程組化簡，得
②-①，得y=20-60. y=-40.
把y=-40代入①，得x-40=60. x=100.
所以
2.解方程組：
解：設x+y=A，x-y=B，則原方程組可變形為
解得
所以
解得
我們把某個式子看成一個整體，用一個字母去代替它，這種解方程組的方法叫作“換元法”.
3.已知關于x，y的二元一次方程(3x-2y+9)+m(2x+y-1)=0，不論m取何值，方程總有一個固定不變的解，這個解是多少？
解：不論m取何值，方程(3x-2y+9)+m(2x+y-1)=0總有一個固定不變的解，與m的值無關，則這個解滿足2x+y-1=0，因而
3x-2y+9=0，解方程組 得
解法1 代入消元法
1.(12分)［2025年1月合肥期末］用代入消元法解下列方程組.
(1)
解：把①代入②，得 ，
解得.把代入①，得 .所以原方程組的解為
(2)
解：由①,得 ，③
把③代入②，得，解得 .
將代入③，得 ,
所以原方程組的解為
(3)
解：原方程組整理為
由②,得 .③
將③代入①，得，解得，將
代入③,得,所以原方程組的解為
解法2 加減消元法
2.(12分)用加減消元法解下列方程組.
(1)
解：,得,解得.把 代入①，得
,解得.所以原方程組的解為
(2)
解：，得 .③
，得,解得 .
把代入①，得,解得 .
所以原方程組的解為
(3)
解：，得 .③
，得 .④
解由③④構成的方程組，可得
解法3 整體代入法
3.(14分) 如何解方程組：
解法4 整體加減法
4.(8分)解方程組:
解：并化簡，得 .③
分別把③代入①和②，求得, .所以原方程組的解
為
解法5 換元法
5.(8分)解方程組:
解：令,.則原方程組可變為
解得即
解得
解法6 用適當的方法解二元一次方程組
6.(12分)中考趨勢·閱讀理解
(1)仔細閱讀下面解方程組的方法，并將解題過程補充完整：
解方程組 時，直接采用代入消元法或加
減消元法，計算會很復雜，若采用下面的解法，則會簡單很多.
解：，得，即 ，③
，得 ，④
，得 ____.
將____代入③，得 ___.
所以方程組的解為_ ________；
2
(2)請你采用上述方法解方程組：
解：，得，即 ，③
，得 ，④
，得.將代入③，得 ，
所以原方程組的解為
(3)探究：求關于, 的方程組
的解其中 .
,得 ,
即 .③
,得 .④
,得.將代入③,得 .
所以原方程組的解為
課堂小結
代入法和加減法是二元一次方程組的兩種解法，它們都是通過消元使方程組轉化為一元一次方程. 我們應該根據方程組的具體情況，選擇合適的解法.
謝謝觀看！

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