資源簡介

(共42張PPT)
3.4.2代入消元法
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學(xué)年】2024滬科版 數(shù)學(xué) 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.4.2 代入消元法
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二元一次方程、二元一次方程組以及它們的解的概念。知道了二元一次方程組是由幾個含有相同未知數(shù)的二元一次方程組成的，其解是方程組中所有方程的公共解。那么，如何求出二元一次方程組的解呢？今天我們就來學(xué)習(xí)一種解二元一次方程組的基本方法 —— 代入消元法。
學(xué)習(xí)目標
理解代入消元法的思想，掌握用代入消元法解二元一次方程組的步驟。
能熟練運用代入消元法解簡單的二元一次方程組。
經(jīng)歷用代入消元法將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程的過程，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
提高分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。
課堂導(dǎo)入
我們來看一個二元一次方程組：\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)。這個方程組我們在前面的課堂導(dǎo)入中見過，是關(guān)于買筆和筆記本的問題。我們知道這個方程組的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}\)，但當時只是通過嘗試得到的。如果方程組比較復(fù)雜，嘗試法就很難奏效了。
那有沒有一種更通用、更有效的方法呢？我們知道一元一次方程我們已經(jīng)會解了，如果能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，問題就解決了。如何轉(zhuǎn)化呢？觀察方程組中的第一個方程\(x + y = 8\)，我們可以把它變形為\(x = 8 - y\)，這樣就用含\(y\)的式子表示出了\(x\)。然后把\(x = 8 - y\)代入第二個方程\(2x + 3y = 21\)中，就可以得到一個只含有\(zhòng)(y\)的一元一次方程，解這個方程就能求出\(y\)的值，再把\(y\)的值代入\(x = 8 - y\)中，就能求出\(x\)的值。這種方法就是我們今天要學(xué)習(xí)的代入消元法。
知識點：代入消元法的概念和思想
概念
代入消元法是指將二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解的方法。
思想
代入消元法的核心思想是 “消元”，即把 “二元” 轉(zhuǎn)化為 “一元”，將陌生的二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來求解。
知識點：用代入消元法解二元一次方程組的步驟
變形：從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來。例如，對于方程組\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)，如果選擇第一個方程，可將其變形為\(x = \frac{c_1 - b_1y}{a_1}\)（或\(y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1}\)）。
代入：將變形后的方程代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程。
求解：解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值。
回代：將求出的未知數(shù)的值代入變形后的方程中，求出另一個未知數(shù)的值。
檢驗：把求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的兩個方程，檢驗是否都是方程的解。
寫出答案：用大括號 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把兩個未知數(shù)的值括起來，作為方程組的解。
例題解析
例 1：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}x + y = 8\\2x + 3y = 21\end{cases}\)。
解：變形：由方程①\(x + y = 8\)，得\(x = 8 - y\) ③。
代入：把③代入方程②\(2x + 3y = 21\)，得：\(2(8 - y)+3y = 21\)
求解：解這個一元一次方程：\(
\begin{align*}
16 - 2y + 3y&=21\\
16 + y&=21\\
y&=5
\end{align*}
\)
回代：把\(y = 5\)代入③，得\(x = 8 - 5 = 3\)。
檢驗：把\(x = 3\)，\(y = 5\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=3 + 5 = 8\)，右邊\(=8\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=2 3 + 3 5 = 6 + 15 = 21\)，右邊\(=21\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = 5\end{cases}\)。
例 2：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}3x - y = 5\\5x + 2y = 15\end{cases}\)。
解：變形：由方程①\(3x - y = 5\)，得\(y = 3x - 5\) ③。
代入：把③代入方程②\(5x + 2y = 15\)，得：\(5x + 2(3x - 5)=15\)
求解：解這個一元一次方程：\(
\begin{align*}
5x + 6x - 10&=15\\
11x&=25\\
x&=\frac{25}{11}
\end{align*}
\)
回代：把\(x = \frac{25}{11}\)代入③，得\(y = 3 \frac{25}{11}-5=\frac{75}{11}-\frac{55}{11}=\frac{20}{11}\)。
檢驗：把\(x = \frac{25}{11}\)，\(y = \frac{20}{11}\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=3 \frac{25}{11}-\frac{20}{11}=\frac{75}{11}-\frac{20}{11}=\frac{55}{11}=5\)，右邊\(=5\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=5 \frac{25}{11}+2 \frac{20}{11}=\frac{125}{11}+\frac{40}{11}=\frac{165}{11}=15\)，右邊\(=15\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = \frac{25}{11}\\y = \frac{20}{11}\end{cases}\)。
例 3：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}2x + 3y = 16\\x + 4y = 13\end{cases}\)。
解：變形：由方程②\(x + 4y = 13\)，得\(x = 13 - 4y\) ③。
代入：把③代入方程①\(2x + 3y = 16\)，得：\(2(13 - 4y)+3y = 16\)
求解：解這個一元一次方程：\(
\begin{align*}
26 - 8y + 3y&=16\\
26 - 5y&=16\\
-5y&=-10\\
y&=2
\end{align*}
\)
回代：把\(y = 2\)代入③，得\(x = 13 - 4 2 = 13 - 8 = 5\)。
檢驗：把\(x = 5\)，\(y = 2\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=2 5 + 3 2 = 10 + 6 = 16\)，右邊\(=16\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=5 + 4 2 = 5 + 8 = 13\)，右邊\(=13\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = 5\\y = 2\end{cases}\)。
例 4：用代入消元法解方程組\(\begin{cases}3x + 2y = 5\\y = 1 - x\end{cases}\)。
解：代入：把方程②\(y = 1 - x\)代入方程①\(3x + 2y = 5\)，得：\(3x + 2(1 - x)=5\)
求解：解這個一元一次方程：\(
\begin{align*}
3x + 2 - 2x&=5\\
x + 2&=5\\
x&=3
\end{align*}
\)
回代：把\(x = 3\)代入方程②，得\(y = 1 - 3 = -2\)。
檢驗：把\(x = 3\)，\(y = -2\)代入原方程組：
方程①：左邊\(=3 3 + 2 (-2)=9 - 4 = 5\)，右邊\(=5\)，左邊 = 右邊；
方程②：左邊\(=-2\)，右邊\(=1 - 3=-2\)，左邊 = 右邊。
所以，原方程組的解是\(\begin{cases}x = 3\\y = -2\end{cases}\)。
小練習(xí)
用代入消元法解下列方程組：
（1）\(\begin{cases}x = 2y\\x + y = 3\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}y = x - 1\\2x + y = 5\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}2x + y = 7\\3x - 4y = 5\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}3x + 4y = 16\\5x - 6y = 33\end{cases}\)。
已知方程組\(\begin{cases}ax + by = 4\\bx + ay = 5\end{cases}\)的解是\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)，求\(a + b\)的值。
若\(\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}mx + ny = 1\\nx - my = 7\end{cases}\)的解，求\(m\)，\(n\)的值。
思考討論
用代入消元法解二元一次方程組時，選擇哪個方程進行變形以及用哪個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)有什么技巧？
選擇方程時，應(yīng)選擇系數(shù)比較簡單的方程，這樣變形起來更簡便。用哪個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，要看哪個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值比較小，一般選擇系數(shù)的絕對值為 1 的未知數(shù)，這樣可以避免出現(xiàn)分數(shù)，使計算更簡單。例如，方程組\(\begin{cases}x + 2y = 5\\3x - y = 1\end{cases}\)中，第二個方程\(3x - y = 1\)中\(zhòng)(y\)的系數(shù)是\(-1\)，所以選擇用\(x\)表示\(y\)，即\(y = 3x - 1\)。
代入消元法的關(guān)鍵是什么？在代入過程中容易出現(xiàn)哪些錯誤？
代入消元法的關(guān)鍵是 “消元”，即通過代入將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。在代入過程中，容易出現(xiàn)的錯誤有：
變形后的方程代入時，漏乘系數(shù)或符號錯誤；
回代時，代入的不是變形后的方程，而是原方程，導(dǎo)致計算復(fù)雜或出錯；
忘記檢驗，導(dǎo)致求出的解不是原方程組的解。
課堂小結(jié)
代入消元法的概念：將二元一次方程組中一個方程的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進而求得方程組的解的方法。
代入消元法的思想：消元，將二元轉(zhuǎn)化為一元。
用代入消元法解二元一次方程組的步驟：變形、代入、求解、回代、檢驗、寫出答案。
運用代入消元法時，要注意選擇合適的方程進行變形，代入時要仔細計算，避免出現(xiàn)錯誤，最后一定要檢驗所求的解是否正確。
課后作業(yè)
用代入消元法解下列方程組：
（1）\(\begin{cases}y = 2x - 3\\3x + 2y = 8\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}2x - y = 5\\3x + 4y = 2\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}3x + 2y = 19\\2x - y = 1\end{cases}\)；
（4）\(\begin{cases}4x + 7y = 10\\6x - 11y + 28 = 0\end{cases}\)。
已知\(\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}2x + (m - 1)y = 2\\nx + y = 1\end{cases}\)的解，求\(m + n\)的值。
甲、乙兩人共同解方程組\(\begin{cases}ax + 5y = 15\\4x - by = -2\end{cases}\)，由于甲看錯了方程中的\(a\)，得到方程組的解為\(\begin{cases}x = -3\\y = -1\end{cases}\)；乙看錯了方程中的\(b\)，得到方程組的解為\(\begin{cases}x = 5\\y = 4\end{cases}\)。試計算\(a^{2023}+\left(-\frac{1}{10}b\right)^{2024}\)的值。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓(xùn)練
7
中考考法
8
小結(jié)梳理
學(xué)習(xí)目錄
1
復(fù)習(xí)引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導(dǎo)入
根據(jù)已知的x或y的值，求另一個未知數(shù)的值，并填入下表.
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值.
二元一次方程有無數(shù)組解！
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
觀察表格可知， 同時滿足兩個二元一次方程.
所以 是此二元一次方程組的解.
使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數(shù)的值.
探索新知
思考：問題1（“雞兔同籠”）中，我們得到方程組
x+y=35
①
②
怎樣求出其中x，y的值呢？
解：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
①
②
由①，得 y=35-x， ③
把③代入②，得2x+4(35-x)=94，
解方程，得x=23.
把x=23代入③，得y=12.
所以這個二元一次方程組的解是 .
二元一次方程組
一元一次方程
代入消元
轉(zhuǎn)化
代入
消元法
二元一次方程組
一元一次方程
代入消元
轉(zhuǎn)化
代入消元法：從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式， 再把它“代入”另一個方程，進行求解，這種方法叫作代入消元法，簡稱代入法.
代入
消元法
例1：解方程組.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得x=3-2y，③
把③代入①，得2(3-2y)+3y=-7.
-y=-13.
y=13.
把y=13代入③，得x=3-2×13.
x=-23.
所以
變形
代入
求解
回代
寫解
可以用x表示y嗎 試試看.
解題步驟：
變
代
解
回
寫
【教材P110 例1】
例1：解方程組.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得y= (3-x)，③
把③代入①，得2x+ (3-x)=-7.
x= .
x=-23.
把x=-23代入③，得y= (3+23).
y=13.
所以
用代入消元法解二元一次方程組：
練一練
（1） （2）
①
②
（1）解：把①代入②，得3x+2(2x-3)=8.
x=2.
把x=2代入①，得y=2×2-3=1.
所以
用代入消元法解二元一次方程組：
練一練
（1） （2）
①
②
（2）解：由①，得x=2y-1，③
把③代入②，得2(2y-1)+y=3.
y=1.
把y=1代入③，得x=1.
所以
隨堂練習(xí)
1.把下列方程寫成用含x的代數(shù)式表示y的形式：
（1）3x-2y=4； （2）5x-y=5； （3）5x+2y+1=0.
【教材P111 練習(xí) 第1題】
解：（1） ；
（3） .
（2）y=5x-5；
（1）
（2）
2.用代入法解下列方程組：
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【教材P111 練習(xí) 第2題】
3.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組 的解為
求a，b的值.
【教材P111 練習(xí) 第3題】
解：由 是二元一次方程組 的解，
得
由②，得a=9-3b.③
把③代入①，得3(9-3b)+2b=13.
-7b=-14.
b=2.
把b=2代入③，得a=9-3×2=3.
所以
4.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組 的解也是二元一次方程3x+2y=17的解，求m的值.
解：將方程②移項，得x=y+9m.③
把③式代入方程①中，得y+9m+2y=3m，所以 y=-2m.
把y用-2m代入③式，得x=7m.
把x用7m，y用-2m代入3x+2y=17中，得21m-4m=17，
解得m=1.
1星題 基礎(chǔ)練
知識點1 二元一次方程(組)的解
1.［知識初練］在 中，
______是方程的解，____是方程 的解，
所以____是方程組 的解.(填序號)
③
③
2.若是關(guān)于，的方程的一個解，則 的
值為( )
D
A.3 B. C.1 D.
3.［2025·嘉興模擬］下列方程可以與 組成方程組的
解為 的是( )
C
A. B.
C. D.
4.創(chuàng)新題·開放題 寫出一個解為 的二元一次方程組：
_ ________________________.
(答案不唯一)
知識點2 用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)
5.［知識初練］已知方程，改寫成用含 的代
數(shù)式表示的形式，則 ______.
6.已知二元一次方程，用含的代數(shù)式表示 ，
正確的是( )
C
A. B. C. D.
知識點3 代入消元法解二元一次方程組
7.［2025年1月合肥期末］用代入消元法解方程組
將①代入②可得( )
B
A. B.
C. D.
8.用代入法解方程組： 較為簡便的方法是
先消去___，具體是將方程____(填“①”或“②”)變形為______
______，再代入方程____(填“①”或“②”).
②
①
9. 代入消元法
10.(4分)用代入法解方程組：
解：由②，得 ,③
將③代入①，得,解得.將 代
入③，得,所以方程組的解為
2星題 中檔練
11.［2025年1月馬鞍山期末］已知則與 的關(guān)系
式是________________.
12.整體思想 已知是方程 的解，則
____.
13.［2024·合肥期末］若關(guān)于， 的兩個方程組
與有相同的解，則
___, ___.
6
4
【變式題】 (8分)已知關(guān)于, 的二元一次方程組
的解滿足,求 的值.
解：由方程組
得因為 ，所以
,解得 .
14.(8分)用代入消元法解方程組：
(1)
解：原方程組可化為
將①代入②，得，解得 ，
將代入①，得，所以原方程組的解為
(2)
解：原方程組可化為
將①代入②，得，解得 ，
將代入①，得，所以原方程組的解為
15.(8分)［2025年1月蕪湖期末］甲、乙兩人共同解方程組
由于甲看錯了方程①中的 ，得到方程組
的解為乙看錯了方程②中的 ，得到方程組的解為
(1)求， 的值；
解：由題意，得解得
(2)求出方程組的正確解.
由(1)知, ，
所以原方程組為
由①知 ，③
將③代入②，得，解得 ，
把代入③，得 .
所以原方程組的解為
3星題 提升練
16.(8分)運算能力 閱讀材料：
解方程組
在本題中，先將 看成一個整體，將①整體代入②，得
，解得 .
把代入①，得，所以方程組的解為
這種解法稱為“整體代入法”.若留心觀察，你會發(fā)現(xiàn)有很多方
程組可采用此方法解答.請用這種方法解方程組
解：由①，得 ，③
把③代入②,得，解得，把 代入③，
得，解得 ，
所以方程組的解為
課堂小結(jié)
用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)
代入消元
解一元一次方程得到一個未知數(shù)的值
求另一個未知數(shù)的值
代入法的核心思想是消元
謝謝觀看！

展開更多......

收起↑