資源簡介

(共36張PPT)
3.5.1 比賽得分與行程問題
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.5.1 比賽得分與行程問題
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
前面我們學習了二元一次方程組的概念以及兩種解法 —— 代入消元法和加減消元法，還掌握了根據方程組特點選擇合適解法的技巧。今天我們將運用二元一次方程組解決實際生活中的兩類問題 —— 比賽得分問題和行程問題，進一步體會方程組在解決實際問題中的應用。
學習目標
能分析比賽得分問題中的數量關系，找出等量關系，列出二元一次方程組并求解。
能運用二元一次方程組解決行程問題中的相遇、追及等問題，進一步熟悉行程問題中的數量關系。
提高從實際問題中抽象出數學模型的能力，增強用數學解決實際問題的意識。
知識點：比賽得分問題
在比賽得分問題中，常見的有籃球比賽、足球比賽等，通常涉及勝場數、負場數、平場數以及對應的得分，基本等量關系為：
勝場數 + 負場數 + 平場數 = 總場數
勝場得分 + 負場得分 + 平場得分 = 總得分
例題解析
例 1：某籃球隊參加籃球比賽，勝一場得 2 分，負一場得 1 分，該隊共賽了 12 場，總得分為 20 分，問該隊勝了多少場，負了多少場？
解：審：已知勝一場得 2 分，負一場得 1 分，共賽 12 場，總得 20 分，求勝、負場數。
設：設該隊勝了\(x\)場，負了\(y\)場。
找：等量關系有兩個，一是 “勝場數 + 負場數 = 總場數”，二是 “勝場得分 + 負場得分 = 總得分”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}x + y = 12\\2x + y = 20\end{cases}\)
解：用加減消元法解方程組，② - ①得：\(
\begin{align*}
(2x + y)-(x + y)&=20 - 12\\
x&=8
\end{align*}
\)
把\(x = 8\)代入①得：\(8 + y = 12\)，解得\(y = 4\)。
驗：勝 8 場，負 4 場，總場數\(8 + 4 = 12\)場，總得分\(2 8 + 1 4 = 20\)分，符合題意。
答：該隊勝了 8 場，負了 4 場。
例 2：某足球隊在一場賽季中，共進行了 15 場比賽，勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負一場得 0 分，該隊在這個賽季中平的場數比負的場數多 2 場，總得分為 21 分，問該隊在這個賽季中勝了多少場，平了多少場，負了多少場？
解：審：共賽 15 場，勝得 3 分，平得 1 分，負得 0 分，平比負多 2 場，總得 21 分，求勝、平、負場數。
設：設該隊負了\(x\)場，則平了\((x + 2)\)場，勝了\(y\)場。
找：等量關系是 “勝場數 + 平場數 + 負場數 = 15 場” 和 “勝場得分 + 平場得分 = 21 分”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}y+(x + 2)+x = 15\\3y+(x + 2) 1=21\end{cases}\)
化簡方程組得：\(\begin{cases}y + 2x = 13& \\3y + x = 19& \end{cases}\)
解：由①得\(y = 13 - 2x\) ③，把③代入②得：\(
\begin{align*}
3(13 - 2x)+x&=19\\
39 - 6x + x&=19\\
-5x&=-20\\
x&=4
\end{align*}
\)
把\(x = 4\)代入③得：\(y = 13 - 2 4 = 5\)，則平的場數為\(x + 2 = 4 + 2 = 6\)場。
驗：勝 5 場，平 6 場，負 4 場，總場數\(5 + 6 + 4 = 15\)場，總得分\(3 5 + 1 6 + 0 4 = 21\)分，符合題意。
答：該隊勝了 5 場，平了 6 場，負了 4 場。
知識點：行程問題
行程問題中，涉及到速度、時間、路程三個量，基本數量關系為：路程 = 速度 × 時間。利用二元一次方程組解決的行程問題主要包括相遇問題和追及問題。
相遇問題：雙方相向而行，等量關系為雙方所走路程之和 = 總路程。
追及問題：雙方同向而行，等量關系為快者所走路程 - 慢者所走路程 = 初始距離。
例題解析
例 3：甲、乙兩人分別從相距 30 千米的 A、B 兩地同時出發，相向而行，甲每小時走 6 千米，乙每小時走 4 千米，問經過幾小時兩人相遇？相遇時甲、乙各走了多少千米？
解：審：A、B 兩地相距 30 千米，甲速 6 千米 / 小時，乙速 4 千米 / 小時，相向而行，求相遇時間及各自路程。
設：設經過\(x\)小時兩人相遇，相遇時甲走了\(y\)千米，乙走了\(z\)千米。
找：等量關系有 “甲走的路程 + 乙走的路程 = 30 千米”，“甲走的路程 = 甲的速度 × 時間”，“乙走的路程 = 乙的速度 × 時間”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}y + z = 30\\y = 6x\\z = 4x\end{cases}\)
解：把②③代入①得：\(6x + 4x = 30\)，解得\(x = 3\)。
把\(x = 3\)代入②得\(y = 6 3 = 18\)，代入③得\(z = 4 3 = 12\)。
驗：3 小時后，甲走 18 千米，乙走 12 千米，共走\(18 + 12 = 30\)千米，符合題意。
答：經過 3 小時兩人相遇，相遇時甲走了 18 千米，乙走了 12 千米。
例 4：一艘輪船順流航行時，每小時行 20 千米；逆流航行時，每小時行 16 千米，求輪船在靜水中的速度和水流的速度。
解：審：順流速度 20 千米 / 小時，逆流速度 16 千米 / 小時，求靜水速度和水流速度。
分析：順流速度 = 靜水速度 + 水流速度，逆流速度 = 靜水速度 - 水流速度。
設：設輪船在靜水中的速度為\(x\)千米 / 小時，水流的速度為\(y\)千米 / 小時。
找：等量關系是 “順流速度 = 靜水速度 + 水流速度”，“逆流速度 = 靜水速度 - 水流速度”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}x + y = 20\\x - y = 16\end{cases}\)
解：① + ②得：\(2x = 36\)，解得\(x = 18\)。
把\(x = 18\)代入①得：\(18 + y = 20\)，解得\(y = 2\)。
驗：靜水速度 18 千米 / 小時，水流速度 2 千米 / 小時，順流速度\(18 + 2 = 20\)千米 / 小時，逆流速度\(18 - 2 = 16\)千米 / 小時，符合題意。
答：輪船在靜水中的速度為 18 千米 / 小時，水流的速度為 2 千米 / 小時。
例 5：甲、乙兩人從同一地點出發，甲騎自行車，乙步行。如果乙先出發 1 小時，甲騎自行車追趕，甲出發后經過半小時追上乙；如果乙先出發 30 分鐘，甲出發后經過 20 分鐘追上乙。求甲、乙兩人的速度。
解：審：同一地點出發，乙先出發，甲追趕。第一種情況乙先出發 1 小時，甲半小時追上；第二種情況乙先出發 30 分鐘，甲 20 分鐘追上，求兩人速度。
分析：追及時，甲走的路程 = 乙走的路程。30 分鐘 = 0.5 小時，20 分鐘 =\(\frac{1}{3}\)小時，30 分鐘 = 0.5 小時。
設：設甲的速度為\(x\)千米 / 小時，乙的速度為\(y\)千米 / 小時。
找：第一種情況等量關系 “甲 0.5 小時路程 = 乙 (1 + 0.5) 小時路程”；第二種情況 “甲\(\frac{1}{3}\)小時路程 = 乙 (0.5+\(\frac{1}{3}\)) 小時路程”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}0.5x=(1 + 0.5)y\\\frac{1}{3}x=(0.5+\frac{1}{3})y\end{cases}\)
化簡方程組得：\(\begin{cases}0.5x = 1.5y& \\\frac{1}{3}x=\frac{5}{6}y& \end{cases}\)
由①得\(x = 3y\) ③，把③代入②得：\(\frac{1}{3} 3y=\frac{5}{6}y\)，即\(y=\frac{5}{6}y\)，解得\(y = 0\)（不符合實際，說明設未知數和找等量關系正確，重新檢查計算）。
重新分析：第二種情況乙先出發 30 分鐘即 0.5 小時，甲出發 20 分鐘即\(\frac{1}{3}\)小時追上，此時乙走的時間是\(0.5+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}\)小時，甲走的路程是\(\frac{1}{3}x\)，乙走的路程是\(\frac{5}{6}y\)，等量關系正確。由①得\(x = 3y\)，代入②得\(\frac{1}{3} 3y=\frac{5}{6}y\)，\(y=\frac{5}{6}y\)，\(y-\frac{5}{6}y = 0\)，\(\frac{1}{6}y = 0\)，\(y = 0\)，顯然錯誤，說明題目數據可能有問題，但假設數據正確，按步驟可得甲速度是乙的 3 倍。
小練習
某球隊參加比賽，勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負一場得 0 分，該隊共賽了 8 場，得了 17 分，其中平的場數是負的場數的 2 倍，問該隊勝了幾場？
甲、乙兩站相距 480 千米，一列快車從甲站開出，每小時行 70 千米，一列慢車從乙站開出，每小時行 50 千米。
（1）兩車同時開出，相向而行，經過多少小時相遇？
（2）快車先開 1 小時，慢車再開，相向而行，慢車開出后經過多少小時兩車相遇？
一只船順水航行 36 千米，逆水航行 24 千米，共用了 6 小時；順水航行 48 千米，逆水航行 18 千米，也用了 6 小時。求船在靜水中的速度和水流的速度。
思考討論
解決比賽得分問題時，如何確定等量關系？
解決比賽得分問題，首先要明確比賽的規則，即勝、平、負一場各得多少分，然后根據題目中給出的總場數和總得分，分別列出 “總場數 = 勝場數 + 平場數 + 負場數” 和 “總得分 = 勝場得分 + 平場得分 + 負場得分” 這兩個等量關系。如果題目中涉及平場數與負場數或勝場數的關系，還可以根據這個關系列出第三個等量關系，進而設未知數列出方程組。
用二元一次方程組解決行程問題與用一元一次方程解決行程問題有什么異同？
相同點：都需要根據行程問題中的基本數量關系（路程 = 速度 × 時間）以及相遇、追及等問題的特點找出等量關系。
不同點：用一元一次方程解決時，通常設一個未知數，然后用含這個未知數的式子表示另一個未知量；而用二元一次方程組解決時，可以直接設兩個未知數，分別表示兩個未知量，然后根據兩個等量關系列出兩個方程，組成方程組求解。對于較復雜的行程問題，用二元一次方程組更直觀，更容易理清數量關系。
課堂小結
比賽得分問題：關鍵是明確勝、平、負一場的得分，根據總場數和總得分列出兩個等量關系，設出勝、負、平的場數，列出二元一次方程組求解。
行程問題：要熟練掌握路程、速度、時間的關系，對于相遇問題，利用雙方路程之和等于總路程列方程；對于追及問題，利用快者路程減去慢者路程等于初始距離列方程；對于順流逆流問題，要知道順流速度和逆流速度與靜水速度、水流速度的關系。
無論是比賽得分問題還是行程問題，都需要認真審題，分析題目中的數量關系，找出等量關系，列出二元一次方程組，再選擇合適的方法求解，最后檢驗解的正確性。
課后作業
某班組織同學們看電影，買了甲、乙兩種電影票共 50 張，甲種票每張 20 元，乙種票每張 15 元，共用去 900 元，問甲、乙兩種電影票各買了多少張？
兩地相距 280 千米，一艘船在其間航行，順流用 14 小時，逆流用 20 小時，求船在靜水中的速度和水流速度。
某足球聯賽一個賽季共進行 26 輪比賽（即每隊均需賽 26 場），其中勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負一場得 0 分，某隊在這個賽季中平局的場數比負局的場數多 7 場，結果共得 34 分，問這個隊在這個賽季中勝、平、負各多少場？
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導入
同學們，你喜歡踢足球嗎？你知道足球聯賽中球隊的積分怎樣計算的嗎？
比賽積分問題的相等關系：
（1）比賽總場數 = 勝場數 + 負場數 + 平場數；
（2）比賽總積分 = 勝場積分 + 負場積分 + 平場積分.
探索新知
例 1 某市舉辦中學生足球比賽，規定勝一場得 3 分，平一場得 1 分，負一場得 0 分. 在本次比賽中，該市第二中學足球隊比賽 11 場，沒有輸過一場，共得 27 分.
該隊勝幾場，平幾場？
解法一 如果設該市第二中學足球隊勝 x 場，那么該隊平 (11-x) 場. 根據得分規定，勝 x 場，得 3x 分，平(11-x) 場，得(11-x)分，共得 27 分，得方程
3x +（11 – x）= 27.
解方程，得 x = 8.
此時 11 – x = 11 – 8 = 3
答：該市第二中學足球隊勝 8 場，平 3 場.
如果該市第二中學足球隊勝的場數與平的場數分別用未知數 x，y 來表示，是否能列出方程組來求解呢？
思 考
解法二 設該市第二中學足球隊勝 x 場，平 y 場.
由該隊共比賽 11 場，得方程
x + y = 11. ①
又根據得分規定，勝 x 場，得 3x 分，平 y 場，得 y 分，共得 27 分，因而得方程
3x + y = 27. ②
解方程①②組成的方程組 ，得
x + y = 11，
3x + y = 27
x = 8，
y = 3.
答：該市第二中學足球隊勝 8 場，平 3 場.
列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
審題，分析題中已知什么、求什么，明確各數量之間的關系
設未知數
根據等量關系列出兩個方程，組成方程組
解方程組，求出未知數的值
檢驗所求未知數的值是否符合題意及實際意義
寫出答案（包括單位名稱）
審
設
列
解
驗
答
例 2 甲、乙兩人相距 4 km，以各自的速度同時出發. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，兩人0.5 h 后相遇. 兩人的速度各是多少？
甲追上乙
乙2 h行程
甲2 h行程
分析：甲、乙同時出發，同向而行
甲出發點
乙出發點
4 km
例 2 甲、乙兩人相距 4 km，以各自的速度同時出發. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，兩人0.5 h 后相遇. 兩人的速度各是多少？
甲出發點
乙出發點
4 km
行程
行程
相
遇
地
甲0.5h
乙0.5h
甲、乙同時出發，相向而行
解 設甲、乙的速度分別是 x km/h，y km/h.根據題意得
2x – 2y = 4，
x + y = 4.
1
2
1
2
解方程組，得
x = 5，
x = 3.
答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h.
①
②
行程問題中的相等關系：
（1）相遇問題：甲走的路程 + 乙走的路程 = 兩出發地間的距離.
（2）追及問題：①同地不同時出發：前者走的路程 = 追者走的路程；②同時不同地出發：前者走的路程 + 兩出發地間的距離 = 追者走的路程.
練 習
1. 某班課外活動小組買了 9 副象棋和 7 副跳棋，共計 700 元. 已知 2 副象棋的價格比 1 副跳棋的價格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的價格各是多少元？
【教材P120 練習 第1題】
解：設 1 副象棋和 1 副跳棋的價格分別為 x 元、y 元.
根據題意，得 解方程組，得
9x + 7y = 700，
2x - y = 15.
x = 35，
y = 55.
答： 1 副象棋的價格為 35 元，1 副跳棋的價格為 55元.
2. 某人騎自行車，計劃用同樣時間往返于甲、乙兩地. 來時每小時行 12 km，結果多用了 6 min；返回時每小時行 15 km，結果少用了 20 min. 試求甲、乙兩地之間的路程和此人原來計劃使用的時間.
【教材P120 練習 第2題】
解：設甲、乙兩地之間的路程是 x km，此人原來計劃使用的時間為 y h.
6 min = h，20 min = h.
根據題意，得 解方程組，得
答：甲、乙兩地之間的路程是 26 km，此人原來計劃使用的時間為 h.
3. 一艘江輪航行在相距 72 km 的兩個港口之間，順流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江輪在靜水中的速度.
（順流航行的速度 = 靜水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 靜水中速度 - 水流速度）
【教材P120 練習 第3題】
解：設江輪在靜水中的速度是 x km/h，水流速度為 y km/h.
4 h 48 min = h.
根據題意，得 解方程組，得
4(x + y) = 72，
答：江輪在靜水中的速度是 km/h.
1.［2025年1月合肥期末］為激發同學們對圍棋的熱愛，學校
組織了圍棋比賽，積分規則如下：勝1場記2分，負1場記1分，
且每場比賽都要分出勝負.小明在5場比賽中共得到8分，若設
小明勝場，負 場，則可列方程組為( )
B
A. B.
C. D.
2.學校為增進親子關系，舉辦了“親子投籃大挑戰”活動，游
戲規則為：學生投中1個得2分，學生家長投中1個得1分，小
明與爸爸參加此活動，兩人共投中了25個.經計算，發現小明
比爸爸多得2分，則小明投中了___個，爸爸投中了____個.
9
16
3.(8分)［2024·淮北期末］為豐富校園生活，減輕學生學習壓
力，提高學生身體素質，小明學校舉辦了春季足球比賽.比賽
規定勝1場得3分，平1場得1分，負1場扣1分.某隊在10場比賽
中勝了6場，共得20分，問該隊負了幾場？
解：設該隊負了場，平了 場.
根據題意，得解得
答：該隊負了1場.
知識點2 行程問題
4.甲、乙兩地相距，小轎車從甲地出發， 后，大
客車從乙地出發相向而行，又經過 兩車相遇.已知小轎車
比大客車每小時多行，設大客車每小時行 ，小轎
車每小時行 ，則可列方程組為( )
D
A. B.
C. D.
5.真實情境 點點家離學校 ，每天騎自行車上學和放學.
有一天上學時順風，從家到學校共用時 ，放學時逆風，
從學?；丶夜灿脮r ，則點點在無風時騎自行車的平均
速度為____，平均風速為___ .
16
4
6.(8分)在 的環形跑道上，甲、乙兩人從同一起點同時
出發勻速而行，若反向而行， 后兩人第一次相遇；若同
向而行， 后甲第一次追上乙.求甲、乙兩人的速度.
解：設甲、乙兩人的速度分別為、 .根據題意，
得解得
答：甲、乙兩人的速度分別為、 .
2星題 中檔練
7.從甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡
每小時走，平路每小時走，下坡每小時走 ，
那么從甲地到乙地需要，從乙地到甲地需要 ，
則從甲地到乙地的全程是_____ .
8.創新題·新考法 某市高中籃球聯賽前三名的積分如下：
球隊 比賽場次 勝場 負場 平場 積分
34 21 7 6 69
34 20 7 7 67
34 8 64
規定：負一場積0分.觀察后可知，球隊 在這個賽季的勝場
次數是____場.
19
9.(8分)真實情境 2025年全國青少年 科技創新大賽中，有
20道必答題,每一道題答對得10分,答錯或不答都扣5分;3道搶
答題,每一道題搶答對得10分，搶答錯扣20分，搶答不到不得
分也不扣分.甲、乙兩隊決賽，甲隊必答題得了170分，乙隊
必答題只答錯了1道,其余均答對.
(1)甲隊必答題答對的有多少道 答錯或不答的有多少道
解：設甲隊必答題答對的有 道，答錯
或不答的有道.根據題意，得
解得
答：甲隊必答題答對的有18道，答錯或不答的有2道.
(2)搶答賽中,乙隊搶答對了第1道題,又搶到了第2道題,但還沒
作答，甲隊啦啦隊隊員小黃說:“我們甲隊輸了!”小汪說:“小
黃的話不一定對!”請你舉一例說明“小黃的話”有何不對.
舉例如下(答案不唯一) 甲隊現在得分為170分，乙隊現在得
分為 (分)，
若第2道題乙隊搶答錯，則乙隊得分為 (分)，
若第3道題甲隊搶答對，則甲隊最后得分為
(分)，故甲隊獲勝，所以“小黃的話”不一定對.
10.(8分),兩地相距，甲從地出發步行到 地，乙從
地出發騎自行車到 地，兩人同時出發，且速度均保持不
變，后兩人相遇，又經過 ，甲剩余路程為乙
剩余路程的3倍.
(1)求甲、乙每小時各行多少千米.
解：設甲每小時行，乙每小時行 .
根據題意，得
解得
答：甲每小時行，乙每小時行 .
(2)在他們出發后多長時間兩人相距 ？
相遇前： ；
相遇后： .
故在他們出發后或兩人相距 .
3星題 提升練
11.一人沿筆直的公路行走，每 迎面開過一輛公交車，
每 身后開過一輛公交車.若公路的兩端各有一個公交
車發車點，每過一段時間同時發車，且公交車和人的速度都
保持不變，則公交的發車間隔是___ .
6
課堂小結
列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
實際問題
數學問題
二元一次方程組
實際問題的答案
數學問題的解
二元一次方程組的解
解方
程組
代入法加減法
（消元）
設未知數、列方程組
轉化
檢驗
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