資源簡介

(共35張PPT)
3.5.2百分率與方案問題
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.5.2 百分率與方案問題
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上一節課我們學習了用二元一次方程組解決比賽得分與行程問題，體會到了方程組在解決實際問題中的作用。今天我們將繼續學習另外兩類重要的實際問題 —— 百分率問題和方案問題。百分率問題在經濟增長、濃度配比等場景中十分常見，方案問題則能幫助我們在多種選擇中找到最優解，掌握這兩類問題的解法對我們解決實際生活中的數學問題有著重要意義。
學習目標
理解百分率問題的含義，掌握增長率、濃度等問題的基本數量關系，能運用二元一次方程組解決相關問題。
學會分析方案問題中的數量關系，能根據不同的條件列出方程組，進而比較和選擇最優方案。
進一步提高從實際問題中抽象出數學模型的能力，增強運用數學知識解決實際問題的意識和能力。
知識點：百分率問題
百分率問題主要涉及增長率、下降率、濃度等，核心是圍繞 “基礎量 ×（1 + 百分率）= 增長后量”“基礎量 ×（1 - 百分率）= 下降后量” 等數量關系展開。
常見類型及數量關系
增長率問題：
原量 ×（1 + 增長率）= 新量
若涉及兩個連續增長階段，且增長率不同，設第一階段增長率為\(x\)，第二階段增長率為\(y\)，則原量 ×（1 + \(x\)）×（1 + \(y\)）= 最終量
濃度問題：
濃度 = \(\frac{ è ¨è ¨é }{ è ¨é }\)×100%
溶質質量 = 溶液質量 × 濃度
混合前溶質質量之和 = 混合后溶質質量
混合前溶液質量之和 = 混合后溶液質量
例題解析
例 1：某工廠去年的利潤（總收入 - 總支出）為 200 萬元，今年總收入比去年增加了 20%，總支出比去年減少了 10%，今年的利潤為 780 萬元，問去年的總收入、總支出各是多少萬元？
解：審：已知去年利潤 200 萬元，今年總收入增 20%，總支出減 10%，今年利潤 780 萬元，求去年的總收入和總支出。
設：設去年的總收入為\(x\)萬元，總支出為\(y\)萬元。
找：等量關系有兩個，一是 “去年總收入 - 去年總支出 = 去年利潤”，二是 “今年總收入 - 今年總支出 = 今年利潤”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}x - y = 200\\(1 + 20\%)x-(1 - 10\%)y = 780\end{cases}\)
化簡第二個方程：\(1.2x - 0.9y = 780\)
解：由第一個方程得\(x = y + 200\) ③，把③代入第二個方程：\(
\begin{align*}
1.2(y + 200)-0.9y&=780\\
1.2y + 240 - 0.9y&=780\\
0.3y&=540\\
y&=1800
\end{align*}
\)
把\(y = 1800\)代入③得：\(x = 1800 + 200 = 2000\)。
驗：去年總收入 2000 萬元，總支出 1800 萬元，利潤\(2000 - 1800 = 200\)萬元；今年總收入\(2000 1.2 = 2400\)萬元，總支出\(1800 0.9 = 1620\)萬元，利潤\(2400 - 1620 = 780\)萬元，符合題意。
答：去年的總收入是 2000 萬元，總支出是 1800 萬元。
例 2：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的濃度為 30%，乙種酒精溶液的濃度為 60%，現要配制濃度為 50% 的酒精溶液 300 克，問需要甲、乙兩種酒精溶液各多少克？
解：審：甲濃度 30%，乙濃度 60%，要配濃度 50% 的溶液 300 克，求甲、乙各需多少克。
設：設需要甲種酒精溶液\(x\)克，乙種酒精溶液\(y\)克。
找：等量關系有 “甲溶液質量 + 乙溶液質量 = 混合后溶液質量” 和 “甲溶液中溶質質量 + 乙溶液中溶質質量 = 混合后溶液中溶質質量”。
列：根據等量關系，列出方程組：\(\begin{cases}x + y = 300\\30\%x + 60\%y = 50\% 300\end{cases}\)
化簡第二個方程：\(0.3x + 0.6y = 150\)，兩邊同除以 0.3 得\(x + 2y = 500\) ②
解：用② - ①得：\(y = 200\)
把\(y = 200\)代入①得：\(x = 300 - 200 = 100\)。
驗：甲 100 克含溶質\(100 30\% = 30\)克，乙 200 克含溶質\(200 60\% = 120\)克，混合后溶質共 150 克，溶液 300 克，濃度\(\frac{150}{300} 100\% = 50\%\)，符合題意。
答：需要甲種酒精溶液 100 克，乙種酒精溶液 200 克。
知識點：方案問題
方案問題是指根據不同的條件設計多種解決方案，通過計算和比較，選擇最優方案（如成本最低、利潤最高、效率最高等）。解決這類問題的關鍵是列出每種方案的數量關系，通過方程組求解后進行對比。
解題步驟
分析題目，確定可能的方案種類。
設出未知數，根據每種方案的條件列出方程組。
解方程組，求出每種方案的相關數據（如成本、利潤等）。
比較各種方案的結果，選擇最優方案。
例題解析
例 3：某中學計劃購買 A、B 兩種型號的課桌凳共 200 套，經調查，購買一套 A 型號課桌凳比購買一套 B 型號課桌凳少用 40 元，且購買 4 套 A 型號和 5 套 B 型號課桌凳共需 1820 元。
（1）求購買一套 A 型號、一套 B 型號的課桌凳各需多少元？
（2）學校根據實際情況，要求購買這兩種課桌凳的總費用不超過 40880 元，并且購買 A 型號課桌凳的數量不能超過 B 型號課桌凳數量的\(\frac{2}{3}\)，求該校本次購買 A、B 兩種型號課桌凳共有幾種方案？哪種方案的總費用最低？
解：（1）審：A 比 B 每套少 40 元，4 套 A + 5 套 B = 1820 元，求 A、B 單價。
設：設購買一套 A 型號課桌凳需\(x\)元，一套 B 型號課桌凳需\(y\)元。
列：\(\begin{cases}y - x = 40\\4x + 5y = 1820\end{cases}\)
解：由①得\(y = x + 40\) ③，代入②得：\(
\begin{align*}
4x + 5(x + 40)&=1820\\
4x + 5x + 200&=1820\\
9x&=1620\\
x&=180
\end{align*}
\)
把\(x = 180\)代入③得\(y = 220\)。
答：購買一套 A 型號需 180 元，一套 B 型號需 220 元。
（2）審：共買 200 套，總費用≤40880 元，A 數量≤\(\frac{2}{3}\)B 數量，求方案及最低費用。
設：設購買 A 型號課桌凳\(a\)套，則購買 B 型號課桌凳\((200 - a)\)套。
列：根據條件列出不等式組：\(\begin{cases}180a + 220(200 - a) ¤40880\\a ¤\frac{2}{3}(200 - a)\end{cases}\)
解第一個不等式：\(
\begin{align*}
180a + 44000 - 220a& ¤40880\\
-40a& ¤-3120\\
a& 78
\end{align*}
\)
解第二個不等式：\(
\begin{align*}
3a& ¤2(200 - a)\\
3a& ¤400 - 2a\\
5a& ¤400\\
a& ¤80
\end{align*}
\)
所以\(78 ¤a ¤80\)，因為\(a\)為整數，所以\(a = 78\)、79、80，共 3 種方案。
方案一：A78 套，B122 套，費用\(180 78 + 220 122 = 14040 + 26840 = 40880\)元；
方案二：A79 套，B121 套，費用\(180 79 + 220 121 = 14220 + 26620 = 40840\)元；
方案三：A80 套，B120 套，費用\(180 80 + 220 120 = 14400 + 26400 = 40800\)元。
比較：40800＜40840＜40880，方案三費用最低。
答：共有 3 種方案，購買 A 型號 80 套、B 型號 120 套的總費用最低。
例 4：某商場計劃用 9 萬元從生產廠家購進 50 臺電視機，已知該廠家生產三種不同型號的電視機，出廠價分別為 A 種每臺 1500 元，B 種每臺 2100 元，C 種每臺 2500 元。
（1）若商場同時購進兩種不同型號的電視機共 50 臺，用去 9 萬元，研究一下商場的進貨方案；
（2）若商場銷售一臺 A 種電視機可獲利 150 元，銷售一臺 B 種電視機可獲利 200 元，銷售一臺 C 種電視機可獲利 250 元，在（1）的進貨方案中，哪種方案獲利最多？
解：（1）分三種情況討論：
情況一：購進 A、B 兩種型號
設購進 A 種\(x\)臺，B 種\(y\)臺，則\(\begin{cases}x + y = 50\\1500x + 2100y = 90000\end{cases}\)
化簡第二個方程：\(5x + 7y = 300\)，由①得\(x = 50 - y\)，代入得：\(
\begin{align*}
5(50 - y)+7y&=300\\
250 - 5y + 7y&=300\\
2y&=50\\
y&=25
\end{align*}
\)
則\(x = 25\)，即購進 A25 臺，B25 臺。
情況二：購進 A、C 兩種型號
設購進 A 種\(m\)臺，C 種\(n\)臺，則\(\begin{cases}m + n = 50\\1500m + 2500n = 90000\end{cases}\)
化簡第二個方程：\(3m + 5n = 180\)，由①得\(m = 50 - n\)，代入得：\(
\begin{align*}
3(50 - n)+5n&=180\\
150 - 3n + 5n&=180\\
2n&=30\\
n&=15
\end{align*}
\)
則\(m = 35\)，即購進 A35 臺，C15 臺。
情況三：購進 B、C 兩種型號
設購進 B 種\(p\)臺，C 種\(q\)臺，則\(\begin{cases}p + q = 50\\2100p + 2500q = 90000\end{cases}\)
化簡第二個方程：\(21p + 25q = 900\)，由①得\(p = 50 - q\)，代入得：\(
\begin{align*}
21(50 - q)+25q&=900\\
1050 - 21q + 25q&=900\\
4q&=-150\\
q&=-37.5
\end{align*}
\)
臺數不能為負數，此情況舍去。
答：進貨方案有兩種，一是購進 A25 臺、B25 臺；二是購進 A35 臺、C15 臺。
（2）計算各方案獲利：
方案一獲利：\(25 150 + 25 200 = 3750 + 5000 = 8750\)元；
方案二獲利：\(35 150 + 15 250 = 5250 + 3750 = 9000\)元。
比較：9000＞8750，方案二獲利最多。
答：購進 A35 臺、C15 臺的方案獲利最多。
小練習
某工廠第一季度生產甲、乙兩種機器共 480 臺，改進生產技術后，第二季度生產這兩種機器共 554 臺，其中甲種機器產量的增長率為 10%，乙種機器產量的增長率為 20%，問該工廠第一季度生產甲、乙兩種機器各多少臺？
現有含鹽 20% 的鹽水 500 克，要把它變成含鹽 15% 的鹽水，應加入含鹽 5% 的鹽水多少克？
某運輸公司有 A、B 兩種貨車，3 輛 A 貨車與 2 輛 B 貨車一次可以運貨 17 噸，5 輛 A 貨車與 4 輛 B 貨車一次可以運貨 31 噸。
（1）求每輛 A 貨車和每輛 B 貨車一次分別可以運貨多少噸？
（2）現有貨物 32 噸，計劃同時租用 A 貨車和 B 貨車，要求一次運完，且每輛車都裝滿貨物，試寫出所有的租車方案，并求出最少租車費（已知每輛 A 貨車租車費 200 元，每輛 B 貨車租車費 300 元）。
思考討論
解決百分率問題時，如何準確找到等量關系？
解決百分率問題，首先要明確題目中涉及的是哪種類型的百分率（如增長率、濃度等），然后根據對應的基本數量關系（如 “原量 ×（1 + 增長率）= 新量”“溶質質量 = 溶液質量 × 濃度”）來構建等量關系。對于涉及兩個未知量的問題，要從題目中找出兩個不同的等量關系，從而列出二元一次方程組。例如在增長率問題中，通常可以從 “增長前后的數量關系” 和 “兩個不同階段的增長結果” 這兩個角度尋找等量關系。
在方案問題中，如何確保不遺漏任何一種可能的方案？
在方案問題中，首先要明確題目中的限制條件（如數量范圍、費用上限等），這些條件往往會確定未知數的取值范圍。然后，根據未知數的實際意義（如必須為正整數），在取值范圍內找出所有可能的取值，進而確定所有的方案。例如在購買物品的方案問題中，設購買 A 物品\(x\)件，B 物品\(y\)件，根據總數量和總費用的
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導入
百分率一般表示某部分占總體的多少，由此可以求出該部分的數量，再根據“總量 ＝ 各部分量的和”，可以列出方程組后求解.
探索新知
例 3 玻璃廠熔煉玻璃液，原料是石英砂和長石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 已知石英砂中含二氧化硅 99%，長石粉中含二氧化硅 67%. 在 3.2 t 原料中，石英砂和長石粉各多少？
原料成分 石英砂 長石粉 總量
質量/t x y
含二氧化硅量/t 99%x 67%y
3.2
70%×3.2
解 設原料中石英砂 x t，長石粉有 y t. 根據題意，得
x + y = 3.2，
99%x + 67%y = 70%×3.2.
解方程組，得
x = 0.3，
y = 2.9.
答：在 3.2 t 原料中，石英砂有 0.3 t，長石粉有 2.9 t.
百分比問題中常見的是增長（下降）率問題、與濃度有關的問題等，其中增長（下降）率問題中的等量關系如下：
（1）增長率 = ×100%；
增長后的量 – 增長前的量
增長前的量
（2）增長后的量 = 增長前的量×（1 + 增長率）；
（3）下降率 = ×100%；
下降前的量 – 下降后的量
下降前的量
（4）下降后的量 = 下降前的量×（1 – 下降率）.
鞏固練習
某皮鞋廠前年的利潤為 100 萬元，去年的總產值比前年增加了 20％ ，總支出比前年減少了 5％ ，去年的利潤為 400 萬元，那么該皮鞋廠前年的總產值和總支出各是多少萬元？
分析:設該皮鞋廠前年的總產值是 x 萬元，總支出是 y 萬元，
總產值/萬元 總支出/萬元 利潤/萬元
前年 x y 100
去年 (1+20%)x (1-5%)y 400
解: 設該皮鞋廠前年的總產值是 x 萬元，總支出是 y 萬元.
根據題意，得
x - y = 100，
(1+20%)x - (1-5%)y = 400.
解方程組，得
x = 1220，
y = 1120.
答: 該皮鞋廠前年的總產值是 1220 萬元，總支出是 1120 萬元.
練 習
1. 某鄉今年春播作物的面積比秋播作物的面積多 630 hm2.
計劃明年春播作物的面積增加 20%，秋播作物的面積減少 10%，這樣明年春播、秋播作物的總面積將比今年增加 12%.這個鄉今年春播與秋播作物的面積各是多少？
【教材P121 練習 第1題】
解: 設這個鄉今年春播作物的面積為 x hm2，秋播作物的面積為 y hm2.
根據題意，得
x - y = 630，
x(1+20%) + y(1-10%) = (x+y)(1+12%).
解方程組，得
x = 990，
y = 360.
答: 這個鄉今年春播作物的面積為 990 hm2，秋播作物的面積為 360 hm2.
2. 石嶺村原有林地、旱地共 162 hm2. 村里把一部分旱地改造為林地，使旱地面積為林地面積的 20%.
求改造后的旱地面積和林地面積.
解: 設改造后的旱地面積為 x hm2，林地面積為 y hm2.
根據題意，得 解方程組，得
x + y = 162，
x = 20%y.
x = 27，
y = 135.
答: 改造后的旱地面積為 27 hm2，林地面積為 135 hm2.
【教材P121 練習 第2題】
1星題 基礎練
知識點1 百分率問題
1.真實情境 某地推廣智慧農業技術，將部分傳統農田改造為智
能溫室種植區.改造后，傳統農田面積是智能溫室面積的 ，
且傳統農田與智能溫室總面積為 .設改造后傳統農田面
積為，智能溫室面積為 ，則可列方程組為 ( )
B
A. B.
C. D.
2.有甲、乙兩種銅和銀的合金，甲種合金含銀 ，乙種合
金含銀，現在要熔制含銀的合金 ，設需甲
合金的質量為，乙合金的質量為 ，則可列方程組為
_ _____________________________.
3.甲倉庫和乙倉庫共存糧450噸，現從甲倉庫運出存糧的
，從乙倉庫運出存糧的 ，結果乙倉庫所余的糧食比
甲倉庫所余的糧食多30噸.則甲倉庫原來存糧_____噸,乙倉庫
原來存糧_____噸.
240
210
4.(8分)某校去年有學生1 000名，今年比去年增加了 ，
其中寄宿學生增加了，走讀學生減少了 ，問該校去年
有寄宿學生與走讀學生各多少名？
解：設該校去年有寄宿學生名，走讀學生 名.
根據題意，得
解得
答：該校去年有寄宿學生800名，走讀學生200名.
知識點2 方案問題
5.［2025年1月合肥期末］已知1輛 型車載滿貨物一次可運
貨1噸，1輛 型車載滿貨物一次可運貨4噸.某公司有14噸貨
物，計劃同時租用型車和 型車，一次運完，且每輛車都
裝滿貨物，共有租車方案( )
B
A.4種 B.3種 C.2種 D.1種
6.某校為加強愛讀書、讀好書、善讀書的閱讀氛圍，準備用
720元購買圖書展示架，可供選擇的有 種展示架120元/個，
種展示架180元/個，在資金用盡且可以只買其中一種展示
架的情況下，一共有___種購買方案.
3
7.(8分)［2025·廣州模擬］某公司組織員工去三星堆參觀，現
有，兩種客車可以租用.已知3輛種客車和2輛 種客車可
以坐260人，2輛種客車可坐的人數和3輛 種客車可坐的人
數一樣多.
(1)請問， 兩種客車每輛分別可坐多少人？
解：設種客車每輛可坐人，種客車每輛可坐 人，
根據題意，得解得
答：種客車每輛可坐60人， 種客車每輛可坐40人.
(2)已知該公司共有320名員工，請問如何安排租車方案，可
以使得所有員工恰好坐下？
設租用輛種客車，輛 種客車，根據題意，得
，所以 ，
又因為， 均為非負整數，
所以或或 所以共有3種租車方案，
方案1：租用8輛 種客車；
方案2：租用2輛種客車，5輛 種客車；
方案3：租用4輛種客車，2輛 種客車.
2星題 中檔練
8.［2025年1月蕪湖期末］某工程公司下屬的甲工程隊、乙工
程隊分別承包了工程、 工程，甲工程隊晴天需要14天完
成，雨天工作效率下降 ；乙工程隊晴天需要15天完成，
雨天工作效率下降 ，實際上兩個工程隊同時開工，同時
完工，兩個工程隊各工作了( )
C
A.15天 B.16天 C.17天 D.18天
設兩工程隊各工作了天，在施工期間有 天有雨，
由題意得，
解得 故兩個工程隊各工作了17天.
9.(8分) 真 實 情 境[2025 合肥月考] 點點學校引入 營養
師系統，為學生定制低碳環保早餐套餐.每 早餐套餐中，
蛋白質總含量為 ，包括一個谷物面包，一盒牛奶和一個
去殼雞蛋(一個去殼雞蛋的質量約為 ，其中蛋白質含量為
；谷物面包和牛奶的部分主要營養成分如表所示).
項目 谷物面包(含量) 牛奶(含量)
蛋白質
脂肪
碳水化合物
設該早餐套餐中每份有谷物面包，牛奶 .
(1)請補全表格(用含有， 的代數式表示)；
谷物面包 牛奶 去殼雞蛋 總量
50 400
_______ _____ 11
(2)求出， 的值.
解：由題意，得：
解得
3星題 提升練
10.(12分)應用意識 現有若干個體積相同的
大球和體積相同的小球,根據圖中的信息,
解答下面的問題:
(1)放入1個小球水面升高___,放入1個大球水面升高___ ;
2
3
(2)如果放入大球、小球共10個,要使水面
上升到 ,應放入大球、小球各多少
個
解：設應放入個大球， 個小球.
根據題意得 解得
答：應放入4個大球，6個小球.
(3)現有充足的大球和小球,要使水面上升到 ,你還有其
他方案嗎
設放入個大球， 個小球，根據題意得
,所以 .又
因為,均為非負整數，所以 或
或或或
所以還有4個其他方案，分別為
方案1：放入8個大球；
方案2：放入6個大球，3個小球；
方案3：放入2個大球，9個小球；
方案4：放入12個小球.
謝謝觀看！

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