資源簡介

(共30張PPT)
3.6 三元一次方程組及其解法
第3章 一次方程與方程組
【2025-2026學年】2024滬科版 數學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
3.6 三元一次方程組及其解法
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
前面我們學習了二元一次方程組及其解法，知道了可以通過代入消元法或加減消元法將二元一次方程組轉化為一元一次方程來求解。在實際問題中，有時會涉及到三個未知數，這就需要我們學習三元一次方程組及其解法。三元一次方程組的解法與二元一次方程組的解法類似，核心思想仍然是 “消元”。
學習目標
理解三元一次方程、三元一次方程組的概念，知道三元一次方程組的解的含義。
掌握三元一次方程組的解法，能運用代入消元法和加減消元法將三元一次方程組逐步轉化為二元一次方程組，進而轉化為一元一次方程求解。
經歷用消元法解三元一次方程組的過程，進一步體會 “消元” 思想在解方程組中的作用。
提高分析問題和解決問題的能力，培養嚴謹的邏輯思維習慣。
知識點：三元一次方程和三元一次方程組的概念
三元一次方程
含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是 1 的整式方程，叫做三元一次方程。
例如：\(x + y + z = 5\)、\(2x - 3y + z = 7\)都是三元一次方程。
三元一次方程組
由三個一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組。
例如：\(\begin{cases}x + y + z = 6\\x - y + z = 2\\2x + y - z = 1\end{cases}\)就是一個三元一次方程組。
三元一次方程組的解
使三元一次方程組中三個方程都成立的三個未知數的值，叫做三元一次方程組的解。
例如：\(\begin{cases}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{cases}\)是方程組\(\begin{cases}x + y + z = 6\\x - y + z = 2\\2x + y - z = 1\end{cases}\)的解，因為將這三個值代入方程組中的每個方程，等式都成立。
知識點：三元一次方程組的解法
三元一次方程組的解法的基本思想是 “消元”，即通過代入消元法或加減消元法，逐步減少未知數的個數，把三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再把二元一次方程組轉化為一元一次方程，進而求解。
解三元一次方程組的步驟
消元：從三元一次方程組中選擇一個系數比較簡單的方程，將其中一個未知數用含另外兩個未知數的式子表示出來（代入消元法）；或者通過對方程組中的方程進行加減運算，消去一個未知數，得到一個二元一次方程組（加減消元法）。
求解二元一次方程組：按照解二元一次方程組的方法，求出兩個未知數的值。
回代：將求出的兩個未知數的值代入之前用含這兩個未知數的式子表示第三個未知數的方程中，求出第三個未知數的值。
檢驗：把求得的三個未知數的值代入原方程組中的三個方程，檢驗是否都是方程的解。
寫出答案：用大括號 “\(\begin{cases}\end{cases}\)” 把三個未知數的值括起來，作為方程組的解。
例題解析
例 1：解方程組\(\begin{cases}x + y + z = 6& \\x - y + z = 2& \\2x + y - z = 1& \end{cases}\)
解：消元：用① - ②消去\(x\)和\(z\)，得：\(
\begin{align*}
(x + y + z)-(x - y + z)&=6 - 2\\
x + y + z - x + y - z&=4\\
2y&=4\\
y&=2
\end{align*}
\)
用① + ③消去\(z\)，得：\(
\begin{align*}
(x + y + z)+(2x + y - z)&=6 + 1\\
x + y + z + 2x + y - z&=7\\
3x + 2y&=7&
\end{align*}
\)
求解二元一次方程組：把\(y = 2\)代入④，得：\(
\begin{align*}
3x + 2 2&=7\\
3x + 4&=7\\
3x&=3\\
x&=1
\end{align*}
\)
回代：把\(x = 1\)，\(y = 2\)代入①，得：\(
\begin{align*}
1 + 2 + z&=6\\
z&=3
\end{align*}
\)
檢驗：把\(x = 1\)，\(y = 2\)，\(z = 3\)代入原方程組：
①：左邊\(=1 + 2 + 3 = 6\)，右邊\(=6\)，左邊 = 右邊；
②：左邊\(=1 - 2 + 3 = 2\)，右邊\(=2\)，左邊 = 右邊；
③：左邊\(=2 1 + 2 - 3 = 1\)，右邊\(=1\)，左邊 = 右邊。
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{cases}\)。
例 2：解方程組\(\begin{cases}3x + 4z = 7& \\2x + 3y + z = 9& \\5x - 9y + 7z = 8& \end{cases}\)
解：消元：先消去\(y\)，②×3 + ③，得：\(
\begin{align*}
3(2x + 3y + z)+(5x - 9y + 7z)&=9 3 + 8\\
6x + 9y + 3z + 5x - 9y + 7z&=27 + 8\\
11x + 10z&=35&
\end{align*}
\)
由①得\(3x = 7 - 4z\)，即\(x=\frac{7 - 4z}{3}\) ⑤
把⑤代入④，得：\(
\begin{align*}
11 \frac{7 - 4z}{3}+10z&=35\\
\frac{77 - 44z}{3}+10z&=35\\
77 - 44z + 30z&=105\\
-14z&=28\\
z&=-2
\end{align*}
\)
求解二元一次方程組：把\(z = -2\)代入⑤，得\(x=\frac{7 - 4 (-2)}{3}=\frac{7 + 8}{3}=5\)。
回代：把\(x = 5\)，\(z = -2\)代入②，得：\(
\begin{align*}
2 5 + 3y + (-2)&=9\\
10 + 3y - 2&=9\\
3y + 8&=9\\
3y&=1\\
y&=\frac{1}{3}
\end{align*}
\)
檢驗：把\(x = 5\)，\(y=\frac{1}{3}\)，\(z = -2\)代入原方程組：
①：左邊\(=3 5 + 4 (-2)=15 - 8 = 7\)，右邊\(=7\)，左邊 = 右邊；
②：左邊\(=2 5 + 3 \frac{1}{3}+(-2)=10 + 1 - 2 = 9\)，右邊\(=9\)，左邊 = 右邊；
③：左邊\(=5 5 - 9 \frac{1}{3}+7 (-2)=25 - 3 - 14 = 8\)，右邊\(=8\)，左邊 = 右邊。
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 5\\y=\frac{1}{3}\\z = -2\end{cases}\)。
例 3：解方程組\(\begin{cases}x:y = 3:2& \\y:z = 5:4& \\x + y + z = 66& \end{cases}\)
解：消元：由①得\(x=\frac{3}{2}y\) ④；由②得\(z=\frac{4}{5}y\) ⑤。
把④、⑤代入③，得：\(
\begin{align*}
\frac{3}{2}y + y + \frac{4}{5}y&=66\\
\frac{15}{10}y + \frac{10}{10}y + \frac{8}{10}y&=66\\
\frac{33}{10}y&=66\\
y&=20
\end{align*}
\)
求解二元一次方程組：把\(y = 20\)代入④，得\(x=\frac{3}{2} 20 = 30\)；把\(y = 20\)代入⑤，得\(z=\frac{4}{5} 20 = 16\)。
檢驗：把\(x = 30\)，\(y = 20\)，\(z = 16\)代入③，左邊\(=30 + 20 + 16 = 66\)，右邊\(=66\)，左邊 = 右邊。且\(x:y = 30:20 = 3:2\)，\(y:z = 20:16 = 5:4\)，符合①②。
所以，方程組的解是\(\begin{cases}x = 30\\y = 20\\z = 16\end{cases}\)。
小練習
解下列三元一次方程組：
（1）\(\begin{cases}3x - y + z = 4& \\2x + 3y - z = 12& \\x + y + z = 6& \end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}a - b + c = 0& \\4a + 2b + c = 3& \\25a + 5b + c = 60& \end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}x + 2y = 3& \\y + 2z = 4& \\z + 2x = 5& \end{cases}\)。
已知方程組\(\begin{cases}x + y = 3\\y + z = -2\\z + x = 9\end{cases}\)，求\(x + y + z\)的值。
若\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\begin{cases}x + 2y - z = 4\\2x - y + z = 3\\3x + y - 2z = -1\end{cases}\)，求\(x\)、\(y\)、\(z\)的值。
思考討論
解三元一次方程組與解二元一次方程組有什么聯系和區別？
聯系：兩者的核心思想都是 “消元”，都是通過消去未知數，將方程組轉化為一元一次方程來求解。解三元一次方程組是在解二元一次方程組的基礎上進行的，當三元一次方程組轉化為二元一次方程組后，就可以按照解二元一次方程組的方法繼續求解。
區別：三元一次方程組含有三個未知數，需要消去兩個未知數才能轉化為一元一次方程；而二元一次方程組含有兩個未知數，只需消去一個未知數就能轉化為一元一次方程。此外，三元一次方程組消元的過程可能更復雜，需要選擇合適的消元方法和消元對象。
在解三元一次方程組時，如何選擇消去哪個未知數？
在解三元一次方程組時，選擇消去的未知數應遵循 “系數簡單、運算簡便” 的原則。一般來說，可以選擇系數絕對值較小的未知數，或者選擇在三個方程中出現次數較多且系數容易處理的未知數進行消去。例如，如果某個未知數在兩個方程中的系數互為相反數或相等，那么先消去這個未知數會比較簡便。
課堂小結
三元一次方程和三元一次方程組的概念：含有三個未知數，且含未知數的項的次數都是 1 的整式方程是三元一次方程；由三個這樣的方程組成的方程組是三元一次方程組。
三元一次方程組的解法：基本思想是 “消元”，步驟是先消去一個未知數得到二元一次方程組，再解二元一次方程組得到兩個未知數的值，然后回代求出第三個未知數的值，最后檢驗并寫出答案。
解三元一次方程組時，要靈活運用代入消元法和加減消元法，選擇合適的未知數進行消去，以簡化計算過程。同時，要注意每一步計算的準確性，避免出現錯誤。
課后作業
解下列三元一次方程組：
（1）\(\begin{cases}2x + 3y + z = 6\\x - y + 2z = -1\\x + 2y - z = 5\end{cases}\)；
（2）\(\begin{cases}3x + 4z = 14\\5x + 4y + z = 17\\4x - 5y + 8z = 36\end{cases}\)；
（3）\(\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\\x + y + z = 18\end{cases}\)。
已知\(x\)、\(y\)、\(z\)滿足\(\begin{cases}2x - 3y = 8\\3y + 2z = 0\\x - z = -2\end{cases}\)，求\(x + y + z\)的值。
一個三位數，個位、十位、百位上的數字之和為 12，個位數字與百位數字之和等于十位數字，百位數字的 3 倍比個位數字與十位數字的和大 2，求這個三位數。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
新課導入
5x + 4y = 18，
15x + 10y = 50.
3x + 2y + z = 39，
2x + 3y + z = 34，
x + 2y + 3z = 26.
二元一次方程組
？
由三個一次方程組成，且含三個未知數的方程組，叫作三元一次方程組.
探索新知
下列方程組是三元一次方程組的是（ ）
x + 2y = 1，
y + 2z = 2，
z + = 3.
a + b + c = 1，
a - b = 4，
4a – 2b + c = 7.
x2 - 4 = 0，
y + 1 = x，
x – z = -3.
-x + y + 3z = -1，
x – y + z = 3，
2x + m - z = 0.
A.
B.
C.
D.
B
三元一次方程組滿足的條件：
（1）方程組中一共含有三個未知數；
（2）每個方程必須是一次方程；
（3）含有三個方程；
（4）必須是整式方程.
解二元一次方程組的消元法（加減法和代入法）是否也能用來解三元一次方程組呢？
思 考
x + y + 2z = 3, ①
-2x - y + z = -3, ②
x + 2y - 4z = -5. ③
解方程組：
例
1
解: 先用加減消元法消去 x.
② + ①×2，得
y + 5z = 3. ④
③ - ①，得
y - 6z = -8. ⑤
④ - ⑤，得
11z = 11.
下面解由④⑤聯立成的二元一次方程組.
z = 1. ⑥
將⑥代入④，得
y = -2.
將 y，z 的值代入①，得
x = 3.
所以
x = 3，
y = -2，
z = 1.
y + 5z = 3. ④
y - 6z = -8. ⑤
鞏固練習
解下列三元一次方程組：
（1）
x + 3y + 2z = 2， ①
3x + 2y - 4z = 3，②
2x–y = 7. ③
解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④
③×8 + ④，得 21x = 63，
兩邊都除以 21，得 x = 3.
把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1.
把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①，
得 z = 1.
因此， 是原三元一次方程組
的解.
x = 3.
y = -1，
z = 1
（2）
x + y - z = 2， ①
2x - y + 3z = 2， ②
x–4y - 2z = -6. ③
① + ②，得 3x + 2z = 4. ④
①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤
④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1.
把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5.
把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①，
得 y = 1.5.
因此， 是原三元一次方程組
的解.
x = 1，
y = 1.5，
z = 0.5
解三元一次方程組的思路：
三元一次
方程組
二元一次
方程組
二元一次
方程組
消元
消元
解三元一次方程組的一般步驟：
（1）消元：利用代入消元法或加減消元法，把方程組中的一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數，得到關于另兩個未知數的二元一次方程組.
（2）求解：解這個二元一次方程組，求出兩個未知數的值.
（3）回代：將求得的兩個未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程.
（4）求解：解這個一元一次方程，求出第三個未知數的值.
（5）寫解：將求得的三個未知數的值用“{”寫在一起，即是三元一次方程組的解.
某營養餐應包含 35 單位的鐵、70 單位的鈣和 35 單位的維生素. 現有一營養師根據上面的標準配餐，其中包含 A，B，C 三種食物. 下表給出的是每份(50 g)食物分別所含的鐵、鈣和維生素的量.
例
2
食物 鐵/單位 鈣/單位 維生素/單位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）設配餐中 A，B，C 三種食物分別為 x，y，z 份，
請根據題意列出方程組；
（2）解該三元一次方程組，求出滿足要求的 A，B，C 的份數.
食物 鐵/單位 鈣/單位 維生素/單位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解：（1）設配餐中 A，B，C 三種食物分別為 x、y、z 份，由題意得
5x + 5y + 10z = 35， ①
20x + 10y + 10z = 70， ②
5x + 15y + 5z = 35. ③
食物 鐵/單位 鈣/單位 維生素/單位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（2）由①得 x = 7-y-2z. ④
將④代入②③，得
y + 3z = 7， ⑤
2y – z = 0. ⑥
解這個方程組，得
y = 1，
z = 2.
將 代入④，得 x = 2.
y = 1，
z = 2
所以
x = 2，
y = 1，
z = 2.
答：A 種食物 2 份，B 種食物 1 份，C 種食物 2 份.
食物 鐵/單位 鈣/單位 維生素/單位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
已知甲、乙兩數之和為 3，乙、丙兩數之和為 6，甲、丙兩數之和為 7，求這三個數.
例
3
解 設甲、乙、丙三數分別為 x，y，z，由題意得
x + y = 3， ①
y + z = 6， ②
x + z = 7. ③
①+②+③，兩邊同除以 2，得 x + y + z = 8. ④
④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1.
答：甲、乙、丙三數分別為 2，1，5.
練 習
【教材P127 練習 第1題】
1. 解下列方程組：
（1）
3x + y - 4z = 13，
5x - y + 3z = 5，
x + y–z = 3；
（2）
3x - y + z = 4，
2x + 3y - z = 12，
x + y + z = 6.
x = 2，
y = -1，
z = -2.
x = 2，
y = 3，
z = 1.
2. 某廠家生產甲、乙、丙三種型號的手機，出廠價分別為每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商場用 120 000 元購買上述三種型號手機共 40 部，其中甲型號手機比丙型號手機多 24 部. 求該商場購買上述三種型號手機各多少部.
【教材P127 練習 第2題】
解：設商場購買了甲型號手機 x 部，乙型號手機 y 部，丙型號手機 z 部.
x + y + z = 40，
3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000，
x - z = 24.
根據題意，得
x = 28，
y = 8，
z = 4.
解方程組，得
答：商場購買了甲型號手機 28 部，乙型號手機 8 部，丙型號手機 4 部.
1星題 基礎練
知識點1 三元一次方程組的概念
1.下列方程組是三元一次方程組的是( )
B
A. B.
C. D.
知識點2 三元一次方程組的解法
2.解方程組 最簡便的消元方法是( )
B
A.先消去 B.先消去
C.先消去 D.先消去常數項
3.(4分)解方程組：
解：由,得，由 ,得
，由,得，所以 ，
把代入①,得，把代入③,得 ，所以
方程組的解為
知識點3 三元一次方程組的簡單應用
4.(8分)今年小新一家三口的年齡總和是80歲,爸爸比媽媽大3
歲,媽媽的年齡恰好是小新年齡的5倍.問:今年爸爸、媽媽和
小新分別幾歲
解：設今年小新的年齡為歲，媽媽的年齡為 歲，爸爸的年
齡為 歲.
由題意,得解得
答：今年爸爸38歲，媽媽35歲，小新7歲.
2星題 中檔練
5.已知方程組 與方程組
有相同的解，則___,___, ____.
2
3
6.［2025·合肥月考］已知，， 滿足
，則 ___,
__, ___.
3
1
7.整 體 思 想 [2025年1月南京期末] 某商場出售甲、乙、
丙三種型號的商品，若購買甲2件，乙3件，丙1件，共需130
元；購買甲3件，乙5件，丙1件，共需205元.若購買甲、乙、
丙各1件，則需____元.
55
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