資源簡介

(共30張PPT)
4.3.2線段的中線及線段的基本事實
第4章 幾何圖形初步
【2025-2026學年】2024滬科版 數(shù)學 七年級上冊
授課教師：********
班 級：********
時 間：********
4.3.2 線段的中線及線段的基本事實
匯報人：[教師姓名]
匯報班級：[具體班級]
知識回顧
上節(jié)課我們學習了比較線段長短的兩種方法 —— 疊合法和度量法，還掌握了線段的基本事實 “兩點之間，線段最短”，知道了兩點之間的距離是指兩點之間線段的長度。本節(jié)課我們將學習線段的一個重要概念 —— 線段的中點，以及由中點延伸出的線段中線，同時進一步鞏固線段的基本事實。
學習目標
理解線段中點的概念，能準確表述線段中點的性質。
掌握線段中線的含義，能結合圖形識別線段的中線。
能運用線段中點的性質解決線段長度的計算問題。
進一步鞏固 “兩點之間，線段最短” 這一基本事實，并能靈活運用。
培養(yǎng)邏輯推理能力和幾何語言表達能力，提高解決幾何問題的能力。
知識點：線段的中點
概念
把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做這條線段的中點。
圖形表示
如圖，點 M 是線段 AB 的中點，意味著 AM=MB，且 AM=MB=\(\frac{1}{2}\)AB，AB=2AM=2MB。
A——M——B
性質
若點 M 是線段 AB 的中點，則有：
AM=MB
AM=\(\frac{1}{2}\)AB
MB=\(\frac{1}{2}\)AB
AB=2AM=2MB
這些性質是解決線段長度計算問題的重要依據(jù)，在解題時可以根據(jù)需要靈活選用。
實例
生活中也有很多線段中點的例子，比如一根繩子的中點，將繩子對折后，兩端重合的點就是繩子的中點；一根直尺上刻度 5cm 的位置，是刻度 0cm 和刻度 10cm 之間線段的中點。
知識點：線段的中線
含義
在三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段叫做三角形的中線。
圖形表示
如圖，在△ABC 中，點 D 是 BC 邊的中點，那么線段 AD 就是△ABC 的一條中線。
A
/ \
/ \
B——D——C
特征
三角形的中線是一條線段，它的一個端點是三角形的頂點，另一個端點是該頂點所對邊的中點。
一個三角形有三條中線，這三條中線相交于一點，這個點叫做三角形的重心。
實例
在三角形框架中，連接一個頂點和對邊中點的線段就是該三角形的中線，它可以將三角形分成兩個面積相等的小三角形，這一性質在幾何圖形的面積計算中經(jīng)常用到。
知識點：線段基本事實的回顧與拓展
基本事實回顧
“兩點之間，線段最短”：兩點之間的所有連線中，線段的長度最短，這條線段的長度叫做這兩點之間的距離。
拓展應用
最短路徑問題：在平面圖形中，求從一個點到另一個點的最短路徑，通常可以利用 “兩點之間，線段最短” 來解決。例如，在一個長方形中，從一個頂點到對角頂點的最短路徑是長方形的對角線，因為對角線是連接這兩個頂點的線段。
距離的計算：根據(jù)兩點之間的距離是兩點之間線段的長度，我們可以通過測量線段的長度來得到兩點之間的距離，也可以根據(jù)線段的和差關系計算兩點之間的距離。
例題解析
例 1：已知線段 AB=8cm，點 C 是線段 AB 的中點，求 AC 和 BC 的長度。
解：因為點 C 是線段 AB 的中點，根據(jù)線段中點的性質，AC=BC=\(\frac{1}{2}\)AB。
已知 AB=8cm，所以 AC=BC=\(\frac{1}{2}\times8=4\)cm。
答：AC 的長度是 4cm，BC 的長度是 4cm。
例 2：如圖，在△ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，已知 BC=10cm，求 BD 和 DC 的長度。
A
/ \
/ \
B——D——C
解：因為 AD 是 BC 邊上的中線，所以點 D 是 BC 的中點，根據(jù)線段中點的性質，BD=DC=\(\frac{1}{2}\)BC。
已知 BC=10cm，所以 BD=DC=\(\frac{1}{2}\times10=5\)cm。
答：BD 的長度是 5cm，DC 的長度是 5cm。
例 3：如圖，點 M 是線段 AB 上的一點，AM=5cm，MB=3cm，點 N 是線段 AM 的中點，求線段 AN 和 NB 的長度。
A——N——M——B
解：因為點 N 是線段 AM 的中點，所以 AN=\(\frac{1}{2}\)AM。
已知 AM=5cm，所以 AN=\(\frac{1}{2}\times5=2.5\)cm。
又因為 NB=NM+MB，且 NM=AN=2.5cm，MB=3cm，所以 NB=2.5+3=5.5cm。
答：線段 AN 的長度是 2.5cm，線段 NB 的長度是 5.5cm。
例 4：如圖，從點 A 到點 B 有四條路線，分別是①A→C→B；②A→D→B；③A→E→B；④A→B。請指出最短的路線，并說明理由。
A
|
|
C D E
| | |
| | |
B
解：最短的路線是④A→B。
理由是根據(jù)線段的基本事實 “兩點之間，線段最短”，點 A 和點 B 之間的所有連線中，線段 AB 的長度最短，而其他三條路線都是折線，長度都大于線段 AB 的長度。
小練習
填空題：
（1）若點 M 是線段 AB 的中點，AB=12cm，則 AM=______cm，BM=______cm。
（2）在△ABC 中，BE 是 AC 邊上的中線，AC=8cm，則 AE=______cm，EC=______cm。
（3）兩點之間的所有連線中，最短，這條線段的長度叫做。
選擇題：
（1）下列說法正確的是（ ）
A. 線段的中點有兩個
B. 三角形的中線是射線
C. 若點 P 是線段 AB 的中點，則 AP=PB
D. 兩點之間的距離是指兩點之間的直線長度
（2）如圖，點 C 是線段 AB 上的一點，點 M 是 AC 的中點，點 N 是 BC 的中點，若 AB=10cm，則 MN 的長度是（ ）
A——M——C——N——B
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
解答題：
（1）已知線段 AB=16cm，點 C 在 AB 的延長線上，點 D 是線段 BC 的中點，且 CD=3cm，求線段 AC 的長度。
（2）在△ABC 中，AB=AC=10cm，AD 是 BC 邊上的中線，AD=8cm，求 BC 的長度。
思考討論
線段的中點一定在這條線段上嗎？為什么？
線段的中點一定在這條線段上。因為線段的中點是將線段分成兩條相等線段的點，只有在線段上才能滿足這一條件，如果點在線段的延長線上，就無法將線段分成兩條相等的線段，所以線段的中點必然在這條線段上。
一個三角形有幾條中線？這些中線有什么位置關系？
一個三角形有三條中線，分別連接三個頂點和它所對邊的中點。三角形的三條中線相交于一點，這個點叫做三角形的重心。重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的 2 倍，這是三角形重心的一個重要性質。
課堂小結
線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，具有 AM=MB=\(\frac{1}{2}\)AB，AB=2AM=2MB 等性質，是解決線段長度計算的關鍵。
線段的中線：在三角形中，連接一個頂點和它所對邊的中點的線段，一個三角形有三條中線，它們相交于三角形的重心。
線段的基本事實：“兩點之間，線段最短”，兩點之間的距離是指兩點之間線段的長度，在解決最短路徑和距離計算問題中有著重要應用。
通過本節(jié)課的學習，我們對線段的相關知識有了更深入的理解，掌握了線段中點和中線的概念及性質，能運用這些知識解決線段長度的計算問題，同時進一步鞏固了線段的基本事實，為后續(xù)學習更復雜的幾何知識打下了基礎。
5
課堂檢測
4
新知講解
6
變式訓練
7
中考考法
8
小結梳理
學習目錄
1
復習引入
2
新知講解
3
典例講解
情境導入
線段AB上有一點C，且點C到點A，B的距離相等，那么點C是線段AB的什么點呢？
C
B
A
如圖，點C在線段AB上，且AC=CB，
像這樣把一條線段分成兩條相等的線段的點，叫作線段的中點.
此時，AC=CB= AB 或 AB=2AC=2CB.
新知探究
知識點1
線段的中點
A
B
C
注意:（1）線段的中點一定在直線上，并且只有一個.
（2）若點C是線段AB的中點，則AC=CB；但反過來，若AC=CB , 點C不一定是AB的中點，如圖所示.
知識拓展:
線段的三等分點：如圖，若點C，D將線段AB分成相等的三條線段AC，CD，DB，則點C，D叫作線段AB的三等分點，這時AC=CD=DB= AB（類似地，還有四等分點、五等分點等）.
解：如圖，
因為AB=4，點D為AB的中點，所以AD= AB=2.
又因為AC=11，點E為AC中點，所以AE= AC =5.5.
所以DE=AE-AD =5.5-2 =3.5.
例 3 已知線段AB=4，延長AB至點C，使AC=11.點D是AB的中點，點E是AC的中點，求DE的長.
A
C
D
B
E
思考：1. 如圖，甲、乙兩地間有曲線、折線、線段等4條路線，其中哪一條路線最短？
甲
乙
線段的路線最短
知識點2
線段的基本事實
思考：2. 如圖，人們修建公路遇到大山阻隔時，常會打一條隧道直穿過去，為什么？
因為修隧道可以縮短兩地之間的路程， 實現(xiàn)路途近的目的。
線段有如下的基本事實：
兩點之間的所有連線中，線段最短.
兩點之間線段的長度，叫作這兩點之間的距離.
這5條線中，
線段AB最短.
線段AB的長度就是A，B兩點之間的距離.
A
B
注意:
（1）兩點間的距離是一個具體的數(shù)量，而線段是圖形，因此不能把A，B兩點間的距離說成線段AB;
（2）兩點間的連線是指以兩個點為端點的任意線，包括線段、折線和曲線，有無數(shù)條.
1. 如圖，P是線段MN的中點，那么MN=____MP=____PN，MP=PN=______MN.
練習
M
N
P
2
2
【教材P152 練習 第1題】
2. 如圖，用刻度尺量出AB，AC，BC的長度，并比較AB+AC與BC的長短．不通過測量，你能比較AB+AC與BC的長短嗎？依據(jù)是什么？
A
B
C
解:
AB+AC >BC.
能，依據(jù)是“兩點之間的所有連線中，線段最短”.
【教材P152 練習 第2題】
1.下列說法中正確的是（ ）
A.連結兩點的線段叫作兩點間的距離
B.在所有連接兩點的線中，直線最短
C.線段AB就是表示點A到點B的距離
D.點A到點B的距離就是線段AB的長度
D
隨堂練習
2.已知A、B、C三點在同一直線上，如果
線段AB=6cm，BC=3cm，A、C兩點的
距離為d，那么（ ）
A. d=9cm B. d=3cm
C. d=9cm或d=3cm D. d大小不確定
C
3.如圖，已知線段AB=6 cm，C是AB的中點，D是AC的中點，求線段BD的長.
A
B
C
D
解:因為AB=6 cm，C是AB的中點，
所以AC=BC= AB=3 cm.
因為D是AC的中點，所以AD=CD= AC=1.5 cm.
所以BD=BC+CD=3+1.5=4.5 （ cm ）.
1星題 基礎練
知識點1 線段的中點
1.［知識初練］下列條件中能確定是線段 的中點的是
( )
C
A. B.
C. D.
2.如圖，,，為線段的中點，則 的長度
為( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
3.如圖,是線段的中點,點,把線段三等分.已知 的
長為1,則線段 的長為___.
6
知識點2 線段的基本事實以及兩點間距離
4.， 兩點間的距離是( )
D
A.連接兩點的直線 B.連接兩點的線段
C.連接兩點的直線的長度 D.連接兩點的線段的長度
5.［2024·廈門十一中期末］如圖，一只螞蟻外出覓食，它與
食物間有三條路徑，從上到下依次記為①，②，③，則螞蟻
選擇第____條路徑最近，理由是__________________.
②
兩點之間線段最短
2星題 中檔練
6.分類討論思想 如圖，為線段的中點， ，若點
在直線上，且，則 的長為______.
3或7
7.(12分)［2025年1月安慶期末改編］如圖，已知點， 在線
段上，且 .
(1)比較線段的長度:___(填“ ”“”或“ ”);
(2)已知,,是的中點,是 的中點,求線
段 的長度；
解：由題意得.因為 是
的中點，是 的中點，所以
，所以
.
(3)在(2)中,如果,,其他條件不變,那么
_________(用含, 的式子表示).
8.(12分)［2025·佛山月考］平面上有， ，
， 四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府
準備投資修建一個蓄水池，不考慮其他因素，
請你畫圖確定蓄水池 的位置，使它與四個村莊的距離之和最
小，，，四個村莊的地理位置如圖所示 ，并說明理由.
解：如圖所示，連接，交于點，點 就是蓄水池的位
置，這一點到，，， 四個村莊的距離之和最小.理由：
兩點之間的所有連線中，線段最短.
1.線段的基本事實：
兩點之間的所有的連線中，線段最短.
2.兩點之間線段的長度，叫作這兩點之間的距離.
課堂小結
謝謝觀看！

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